Долгое время не утихали споры по поводу так называемых «обобщенных золотых сечений». Можно ли как-то обобщить ЗС? – Однозначно, нет. Хотя бы потому, что термин "золотое сечение" (более точно золотое отношение) – это также название математической константы. Никто же не обобщает числа π или e.

Бесконечность – удобная концепция человеческого разума. Перестала быть чем-то пугающим и превратилась в полноценный математический объект, подобно числам и геометрическим фигурам. Как ни удивительно, но её легче вообразить, "прикоснуться и потрогать", чем число ноль или абсолютную пустоту.

В настоящей работе рассматриваются определенные и неопределенные интегралы, которые содержат золотую константу в разных вариациях: пределы интегрирования, подынтегральная функция и/или собственно решение.

В работе показано, что пространство некоторых объектов неоднородно по отношению к скорости протекания различных биологических и физических процессов. В этом плане выделяются края объектов и точки их деления в пропорции классического золотого сечения.

Статья написана ко дню Фибоначчи (23 ноября) и 820-летию издания главного труда выдающегося математика средневековой Европы Леонардо Фибоначчи трактата «Liber abaci» («Книга абака», 1202). По ясности, полноте и глубине изложения трактат сразу стал выше всех античных и исламских прототипов, и в течение нескольких столетий был непревзойдённым источником арифметических и алгебраических сведений по математике того времени.

Тождество Кассини – одно из замечательных свойств последовательностей рекуррентных чисел Фибоначчи и др. Его исследованиям посвящены работы многих авторов. В статье рассмотрены гиперболических функций и их взаимосвязи с тождествами последовательностей чисел Фибоначчи и Якобсталя.

Конспективно рассмотрена систематика последовательностей Фибоначчи и золотого сечения с примерами современных фантазий в данной области.

Приведен ряд чисел Фибоначчи 0; 2,236; 2,236; 4,472; 6,708; 11,180; 17,888; 29,068; …; F_n(1). Многие возразят, что это не числа Фибоначчи. Числа Фибоначчи это 0, 1, 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, …, F_n. И то, и другое верно. Второй ряд получен из первого нормированием его иррациональных чисел корнем из пяти, что следует записать символом F_n(√₅₎. А что же с рядом Люка? Он рационален в алгебраических суммах степеней золотых констант в единичной мере изначально в виде натуральных чисел.

Статья посвящена гиперболической функциям чисел Фибоначчи начала исследования которых были положены в работах Н. Ф. Семенюты, А. П. Стахова и И. С. Ткаченко, С.Л. Василенко, О. С. Боднара, С. П. Ясинского и др., а также работах зарубежных ученых Z. Trzaska и др.

Натуральные числа n = 1, 2, 3, …, N используем в нумерации членов последовательностей Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, …, F_n и Люка 1, 3, 2², 7, 11, …, L_n где первые рекурсии 1 + 1 = 2 и 1 + 3 = 2² построены из элементов 1, 2 и 3, общих для рядов {F_n} и {L_n}

В статье систематизированы вопросы, связанные с использованием матричного исчисления в общей тематике золотого сечения. Представлены рекуренты, 3-диагональные матрицы, континуанты, перманенты и др. На основе матричного подхода показана бессодержательность и терминологическая безграмотность «обобщенных золотых сечений»

На основе математических вычислений можно сделать вывод о том, что именно жизнь и есть первопричина, а не следствие всех процессов во Вселенной, и «неживой» материи не существует

Показано, что современные системы счисления (в отличие от Фибоначиевой) имеют существенный недостаток в виде нулевой избыточности кода. Но избыточность кода Фибоначчи не является постоянной: избыточность кода для отдельных чисел существенно различается.

Американские нейрохирурги обнаружили в черепе человека признаки, которые укладываются в соотношение золотого сечения. Это дуга от переносицы до конца затылка, на ней расположена точка пересечения двух теменных швов, которая делит дугу на две неравные части.

В настоящей статье рассмотрены «золотые» уравнений типа Люка х² – L_n х + (–1)ⁿ = 0 и Фибоначчи х² – F_n х + (–1)ⁿ = 0, а также уравнения с иррациональными коэффициентами, корни которых приближаются или равны «золотому» сечению. Показаны их связи с золотым сечением Ф = 1,618 и 1/Ф = 0,618.

Наиболее исследованной целочисленной последовательностью являются натуральные числа, которые изучаются с древнегреческого периода. Как известно, «весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел».

Недавно на сайте АТ опубликована статья В.Б. Кудрина. Я полностью разделяю идеи этой статьи. Идеи, изложенные в ней, пронизывает все мое научное творчество, начиная с моих русскоязычных книг и заканчивая англоязычными книгами

На сайте АТ без какого-либо рецензирования опубликован очередной опус доктора технических наук С.Л. Василенко. Статья направлена против новых научных результатов в области «гиперболических функций Фибоначчи и Люка», полученных мною совместно с моими коллегами Иваном Ткаченко и Борисом Розиным и опубликованными в «Докладах Академии наук Украины» и международном журнале “Chaos, Solitons and Fractals”.

Показано, что организация развития компании, фирмы, региона или страны в соответствии с правилом "золотого сечения" позволяет выработать пути гармоничного и устойчивого развития. Приведены примеры применения технологии золотого сечения в управлении бизнесом, для определения оптимальной зарплаты сотрудников, в рыночной экономике и других областях и рассмотрены ее преимущества для обеспечения стабильности, устойчивости и гармонии природных и общественных систем

Решая математическую задачу о сфере и касательной к ней наклонной плоскости, автору удалось сформулировать и доказать теорему о новом свойстве правильной пирамиды с точки зрения практического смысла, изначально руководствуясь которым можно обосновать принципы золотой пропорции

Дискуссию по «компьютерам Фибоначчи» можно считать завершенной. Хотя, возможно, не все участники дискуссии с этим согласны. Окончательно она завершится только тогда, когда Фибоначчи-компьютеры, Фибоначчи-процессоры, и другие фибоначчиевые информационные системы войдут в широкое практическое употребление для «критически важных приложений».

Представляем вашему вниманию новую статью А.П. Стахова, опубликованную в «British Journal of Mathematics and Compter Science». В статье изложены научные основы  компьютерной науки и цифровой метрологии, которые были представлены А.П. Стаховым в его первых книгах «Введение в алгоритмическую теорию измерения» и «Коды золотой пропорции» и затем продолжены в Канаде.

Настоящее статья является продолжением работ автора по электрическим моделям последовательностей чисел Фибоначчи. Основной ее целью является показать новые свойства электрических моделей, их связи с числами Фибоначчи.

Целью настоящей работы является исследование некоторых свойств обобщенных рекуррентных числовых последовательностей, их взаимосвязи между собой, а также решение обобщенных рекуррентных соотношений на основе последовательности Фибоначчи.

Недавно British Journal of Mathematics and Computer Science опубликовал статью Alexey Stakhov, Samuil Aranson. Hilbert's Fourth Problem as a Possible Candidate on the MILLENNIUM PROBLEM in Geometry (British Journal of Mathematics and Computer Science, 12(4), 1-25, 2016)

Статья решает следующую научную проблему: как изменяется главная константа физического мира – постоянная тонкой структуры a - в зависимости от возраста Вселенной. Эта проблема относится к разряду Физических Проблем Тысячелетия. Математическая модель эволюции Вселенной (начиная с момента "Большого Взрыва"), названная авторами Фибоначчиевой специальной теорией относительности и основанная на Математике Гармонии, лежит в основе этого исследования

По исследованиям истории, толкованию смысла и математическим методам решения древнейшей фундаментальной задачи «ПРЕДЛОЖЕНИЕ II.11» НАЧАЛ Евклида в течение двух тысяч лет написаны многие книги сотни научных статей. В настоящей статье рассматривается математический алгоритм решения данной задачи в согласии с «Русским проектом» понимания ее мировоззренческого смысла

Приращение к целому является фактором развития, показателем роста целого. Наиболее гармонично проявляется это в золотых пропорциях, характеризуясь золотыми константами. Приращение единицы к гармоничному целому, выраженному золотыми константами, также является показателем роста.

В течение пяти веков со времён Леонардо да Вннчи и Луки Пачоли, назвававших деление отрезка в среднем и крайнем отношении Божественной пропорцией, существовала единственная, причём статичная, геометрическая интерпретация этой пропорции или золотого сечения, как деления отрезка длиной a+b на 2 части a, b, связанные соотношением: (a+b)/b = b/a при b > a или (a+b)/a = a/b при b < a.

В XXI веке, используя возможности мировой библиотеки, задав поисковой системе вопрос: "Что такое ряд Фибоначчи?", все представленные ответы будут похожи друг на друга и представлять собой объяснения с точки зрения математики или знаков/законов природы. Проанализировав полученные данные, у человека сложится общее мнение, которого он станет придерживаться в своих дальнейших исследованиях, будет считать эти знания идеальными, и постарается преодолеть барьеры непознанного

Ранее золотые константы рассмотрены в виде гармоничного роста. Приращение малой золотой константы происходит к отрезку (целому числу, состоящему из n единиц), и характеризует золотые константы с целым номером. Показано, что возможен прирост, образующий гармонию, и не к целому числу, но мантиссы инверсных большой и малой величин не будут равными. Это присуще золотым константам с нецелым номером.

Эта статья имеет длинную историю. Впервые результат этой статьи был получен мною еще в Ливии, где я работал 2,5 года профессором кафедры компьютерной техники Университета Аль Фатех (1995-1997).Сейчас она существенно переработана и содержит новый и необычный математический результат: обнаружены новые свойства натуральных чисел, связанные с «золотым сечением», числами Фибоначчи и Люка, спустя 2,5 тысячелетий с момента начала теоретического изучения свойств натуральных чисел!

Золотое сечение – удивительный феномен Природы и Мироздания. Феномен золотого сечения владел мыслью и чувствами многих мыслителей прошлого и продолжает волновать умы многих современных исследователей. Его сущность может быть осмыслена и понята только в объединении усилий специалистов различных направлений науки, техники, философии и др.

Наш моральный долг как ученых, продолжить исследования по математике гармонии, в том числе по гармонии общества. Нельзя останавливаться на достигнутом, наши потомки нам не простят этого, тем более, что за рубежом эти исследования продолжаются и внедряются в практику.

Известны различные условия, задачи и процессы, порождающие золотые (металлические) пропорции. В их числе отношение частей и целого, отношение соседних членов рекуррентной последовательности, непрерывные цепные дроби, повторные корни и другое.

Рассмотрим новые условия, приводящее к золотым пропорциям

В работе модифицированы понятия сущности и тождественности (тождества) числа по сравнению с пифагорейской трактовкой. В дополнение к ней разработаны новые модели триады "число - сущность числа - тождество числа". Сущность числа представлена не только корневой, но и квадратичной и в целом степенной функцией числа.

На основании разработанной кинематической теории наложенного эпигенеза и определения его интенсивности обоснован квазидискретный характер распределения содержания вторичных минералов, обусловленный пропорциональным и стабильным процессами геохимических состояний. Закономерности изменения геохимических состояний можно описать с помощью «золотого сечения» на основе решения квадратного уравнения в системе ортогональных временных координат, а именно времени преобразования вещества и времени течения флюида.

Цель исследования - разработать методику обобщения результатов наблюдений за природными системами разного генезиса с использованием некоторых формул, и продемонстрировать ее возможности и универсальный характер.

Наша область («золотое сечение» и числа Фибоначчи) является одной из самых древних в математике. Достоверно известно, что «золотое сечение» было введено в Книге II «Начал» Евклида (Предложение II.11). Ну а числа Фибоначчи берут свое начало в 13 в. в книге Фибоначчи «Liber abaci” (1202). Хотя и первенсто Фибоначчи в открытии чисел Фибоначчи тоже может быть подвергнуто сомнению.

Установлена арифметическая связь е^2m = φ^-3 и e^-2m = φ³ чисел Фидия φ = 0.618… и Непера e = 2.718… Cформулированы основные положения теории системных скаляров. Показан двойственный характер чисел 1 и 2. Аксиоме непрерывности в теории действительных чисел противопоставлена арифметическая система с дискретными элементами.

С помощью аналитических оценок и компьютерного моделирования найдены различные типы рекуррентных функций на основе бесконечных цепных дробей и бесконечных вложенных радикалов, обладающие следующим важным свойством: их действительные или мнимые части в некоторых областях аргументов с высокой точностью равны константам золотого сечения

В настоящей статье представление единицы золотой пропорцией дополним моделями, основанными на возведении в степень.

Фрактальный итерационный вариант операции возведения в степень позволил с помощью золотой пропорции также целостно выразить двоицу и собственно большую и малую золотую пропорцию взаимно.

Понятие золотых пропорций (металлических пропорций, мантиссовых пропорций) пополняется новым качеством.Выявлена взаимосвязь рациональной и иррациональной составляющих золотых пропорций. Заострено внимание на особенностях и свойствах разности и суммы больших и малых золотых пропорций.Приведен оптимальный алгоритм геометрического нахождения тетрады золотых констант на числовой оси с применением циркуля и линейки. Дано новое прочтение золотых пропорций как четырех констант с равными мантиссами.

Разработана новая модель статистического равновесия на основе введения новых функций (мер хаоса и порядка) и трёх классов переменных. С помощью этой модели описано «разделение» энергии противоположных процессов на три неравные части по золотой пропорции, выведены впервые уравнения, описывающие акты творения Бытия и феномен самоуправления, формирующие развитие организаций по тройной золотой спирали или их разрушение.

На примере плоских и объёмных самоподобных геометрическо-физических структур, образованных бесконечными наборами постоянных омических сопротивлений, показано, что реализующиеся в них золотые сечения и иные нетривиальные соотношения гармонии не зависят от числа элементов в структуре и от величины сопротивлений в бесконечно удалённых элементах.

Автором предлагается оригинальный метод вычисления коэффициентов при аппроксимации кубическими сплайнами функции одной переменной, заданной в виде сетки значений с равномерным или неравномерным шагом.

Англоязычный журнал «Applied Mathematics” опубликовал мою научно-популярную статью  A.P. Stakhov. A History, the Main Mathematical Results and Applications for the Mathematics of Harmony (Applied Mathematics, 2014, Vol.3, 5, 363-387).

В этой статье я хотел бы сравнить «Неймановские компьютеры» с «компьютерами Фибоначчи» и осветить современное состояние дел с разработкой «компьютеров Фибоначчи».

Цель данной статьи — показать, в каких режимах функционирования системы кровообращения и для каких гемодинамических показателей, из числа доступных исследованию в кардиохирургической клинике, наблюдаются стабильные соотношения золотого сечения.

Настоящий материал – предельно краткое изложение содержания книги автора «Фрактальная Вселенная и золотое отношение», вышедшей в 2008 году в научном издательстве ЛИБРОКОМ (бывш. URSS, или УРСС). Книга – итог 25-летней давности исследования, проделанного автором как астрономом (и, главным образом, адресованного астрономам), а потом уже осмысленного с точки зрения теософского знания.

Масштабы использования математико-гармонических структур в прикладных исследованиях непрерывно возрастают. Речь идет не только о классическом золотом сечении и хрестоматийных числах Фибоначчи, но и их многочисленных обобщениях и вариациях: числах Трибоначчи, уравнении Падована-Газале, обобщении А. П. Стахова и др. (Газале, 2002; Стахов, 1912; Григорьев, Мартыненко, 2012).

В продолжение работы автора статьи «Соотношения гармонии для условия существования», в которой было впервые начато исследование эффекта Мейснера - перехода сверхпроводник-проводник в магнитном поле на системную гармонию, в данной статье найдены новые соотношения гармонии, точно выражающиеся через константы золотого сечения

Для параметров базовых объектов термодинамики – прямого и обратного циклов Карно, состоящих из двух изотерм и двух адиабат, найдены важные соотношения гармонии, точно выражающиеся через константы золотого сечения Ф = Ф = (-1+√5)/2 ≈ 0,618 и φ = (1+√5)/2 = 1+Ф = 1/φ ≈ 1,618. Установлен физический смысл этих соотношений.

С позиций отношений симметрии рассмотрены острые воспалительные заболевания парных внутренних органов (легких, почек, уха, придаточных пазух носа), лейкоцитарный состав крови, величины интервалов между сердечными сокращениями при экстрасистолической аритмии.

Установлена закономерность нахождения относительных величин предэкстрасистолического интервала в числовых значениях, близких отношениям пропорций золотого сечения и связь этого показателя с клинической симптоматикой и течением ишемической болезни сердца.

В работе представлены матрицы, которые являются генераторами числовых последовательностей типа Фибоначчи и Люка как для любых действительных так мнимых чисел, а также служить основой для кодирования информации в компьютерных сетях.

«Начала» Евклида – величайшее математическое сочинение древнегреческой эпохи. В настоящее время каждый школьник знает, кто такой Евклид, который написал самое значительное математическое сочинение греческой эпохи – «Начала» Евклида.

В природе, науке, искусстве широкое использование получили рекуррентные числовые последовательности в основе которых лежат последовательности чисел Фибоначчи, Люка и др. Они же, как простейшие числовые последовательности, более всего исследованы. Целью настоящей статьи является исследование основных теоретико-числовых свойств обобщенной числовой последовательности с более высокой степенью абстракции.

Какая главная идея лежала в основе древнегреческой науки? Подавляющее число исследователей дают следующий ответ: идея Гармонии, связанная с «золотым сечением». Как известно, в древнегреческой философии Гармония противостояла Хаосу и означала организованность Вселенной, Космоса.

Многие математические результаты, возникшие в рамках «математики гармонии», оказались весьма спорными, впрочем, как и сама «математика гармонии». Дискуссия по этому поводу продолжается до сих пор.

Соотношение Кассини привлекало умы многих исследователей и ученых прошлых лет и наших современников. Так в работе в ряде работ приведены общие сведения о соотношении Кассини, в других выполнено обобщение соотношения Кассини для последовательности чисел Фибоначчи и Люка, в третьих - установлена связь соотношения Кассини и уравнения передачи электрических цепей.

В лекции «Математические проблемы", представленной на 2-м Международном конгрессе математиков (Париж, 1900), выдающийся математик Давид Гильберт (1862-1943) сформулировал свои знаменитые 23 математические проблемы, которые в значительной степени определили развитие математики в 20-м веке.

Цель настоящей статьи – обсудить роль «теории чисел Фибоначчи» и «математики гармонии» при решении 10-й и 4-й проблем Гильберта.

Статья Денеша Надя представляет огромную ценность для ученых в области золотого сечения, пишущих на русском и украинском языках. Историческое значение статьи состоит в том, что в ней впервые изложена обстоятельная история развития «золотосеченского направления» в России, Советском Союзе и на постсоветском пространстве, начиная с 19 в. и до настоящего времени.

Человеку очень важно не только знать, но и хорошо понимать законы природы. Особенно необходимы ясное представление о глубинных философских основах и математическом обосновании самых разнообразных природных процессов и явлений и возможность взгляда на них как бы со стороны.

Автор настоятельно рекомендует читателям ознакомиться с так называемой русской матрицей как математическим аппаратом для физических исследований

Настоящая статья задумывалась как реплика на статьи В.П. Шенягина и Н.Ф. Семенюты, но в процессе ее написания она превратилась в некоторое эссе-размышление, касающееся новых горизонтов «математики гармонии». При написании данного эссе использованы материалы книги и новых статей автора, опубликованных в известных электронных журналах.

С точки зрения автора связь соотношения Кассини с основным уравнением передачи электрических четырехполюсников неожиданна и удивительна, так как установлена через сотни лет, она подтверждает фундаментальность электрической модели последовательности Фибоначчи в природе, обществе, науке и технике.

Гармоничных соотношений множество. Их взаимодействия и сочетания должны характеризоваться определенной оптимальностью, что и выявлено в настоящей работе, опираясь на правило Парето 80/20. Главная тайна принципа Парето, видимо, в том, что он и является моделью оптимальности, согласованности гармоничных соотношений, т. е. оптимальностью в гармонии или гармонией гармонии.

Именно фраза «В продолжение работы [3], полученное соотношение вполне подходит под категорию обобщённого квадратичного уравнения (модели) золотого сечения <второго порядка>» привела меня в полнейшее недоумение.

Долина Нила, отображающая Млечный Путь, плато Гизе, созданное Богом для имитации пояса Ориона, пирамиды по западному берегу, частично окантуривающие на поверхности звездный Орион и Гиады созвездия Тельца, Летополь и Гелиополь, как бы спроектированные с неба звезды Сириус и Процион, достаточно определенно подтверждают связь между созданным на Земле и сотворенным на небе.

Данная работа является откликом на статью А.П. Стахова «Родовые признаки» для обобщенных золотых сечений» [1].

В этой статье рассмотрены родовые признаки золотых р-пропорций, которые при р=1 сводятся к классической золотой пропорции, и «металлических пропорций» (или l –пропорций), которые при l =1 совпадают с классической «золотой пропорцией».

С интересом ознакомился со статьей, в которой ставится вопрос о возможностях и допустимых пределах обобщения теории золотого сечения (ТЗС). В статье упомянута и моя работа в связи с тремя правилами, введёнными в ней для того, чтобы не заходить слишком далеко по пути обобщений и не отрываться от “золотого домена”.

Дискуссия о том, позволительно ли обобщать «золотое сечение» напомнила спор Антисфена с Зеноном Элейским, утверждавшим при помощи апорий, что никакого движения не существует, что движение – это название иллюзии, соответствующей «целому ряду одинаковых положений, каждое из которых отдельно взятое есть покой».

Можно ли обобщать «золотое сечение»? В некоторых статьях, касающихся обобщений «золотого сечения» и «золотой пропорции» делаются категорические утверждения, что нельзя обобщать эти понятия, потому что они уникальны и неповторимы.

Из классического квадратичного тождества Ф² – Ф – 1 = 0 непосредственно следуют рекурсивные представления константы золотого сечения Ф в виде бесконечного вложенного радикала и бесконечной непрерывной (цепной) дроби, которые состоят только из единиц

Обобщённая геометрическая модель золотых сечений - окружности золотых сечений была введена автором статьи в ряде статей. В работе "Соотношения гармонии для электростатической модели обобщённых золотых сечений - длинных параллельных противоположно-заряженных тел" найдена физическая интерпретация окружностей золотых сечений и функций средних значений как эквипотенциальных линий длинных тонких параллельных противоположно-заряженных тел. В данной работе проводится детальный анализ предложенной автором электростатической модели.

В статье предложены основы ФК – анализа ресурсораспределения в организмах различной природы (природной, социальной, человеко-машинной, биологической). В результате анализа получено ФК соотношение, представляющее собой долю ресурсов организма, выраженную в виде экстенсивных параметров (масса, время, деньги и т.д.), идущих на уровне базовых потребностей организма: потребность в энергетике, транспорте, экологии, технике, информации. Показана связь фрактально-кластерного соотношения и «золотого сечения».

Зачем строить модели представления «Единицы» золотой пропорцией? В настоящей статье делается попытка ответить на этот вопрос, исходя из истории культуры и математики. Ее главная цель - обсудить некоторые «космологические следствия» статьи Шенягина, касающиеся механизма функционирования (и сотворения) Мироздания

В ряде работ автором статьи показано, что появлению в некоторых математических и физических объектах соотношений гармонии, выражающихся через константы золотого сечения ф = (1+√5)/2 ≈0,618, φ = (1+√5)/2 = ф+1 = 1/ф ≈ 1,618 и другие фундаментальные математические константы могут соответствовать экстремумы некоторых, характерных для данного объекта функций средних значений.

Стало классическим представление золотой пропорции с участием единицы, принимаемой за исходную величину, в виде непрерывного повторного корня и непрерывной цепной дроби. Изменим задачу на обратную. Найдем модели выражения именно единицы с помощью золотой пропорции, принимаемой за исходную заданную величину и процесс.

Как говорят предания, в древности вся дельта была покрыта озерами и болотами. В период ежегодных наводнений она полностью заливалась водами, превращаясь в единое море, в океан, в котором в ночное время отражалось и переливалось звездное небо со своей «звездной рекой» – Млечным Путем.

Данная статья является вводной статьёй по теории системной гармонии в математических и физических объектах, развиваемой автором статьи. Под системной гармонией понимается совокупность соотношений для данного объекта, выражающихся, как правило, красиво и изящно через фундаментальные математические и физические константы, в том числе через константы золотого сечения.

Целью данной работы является доказательство и демонстрация того, что формулы Кассини можно обобщить на любую рекурсию 2-го порядка. При условии, что начальные условия («затравочные числа») унифицированы таким образом, как это сделано в работе "Об унификации числовых рядов рекурсий второго порядка" ("Академия Тринитаризма", М.,Эл № 77-6567, публ.17350, 07.03.2012).

Числовые последовательности, названные λ -числами Фибоначчи, привели к открытию нового класса математических констант, названных Верой Шпинадель «металлическими пропорциями». Количество металлических пропорций теоретически бесконечно, а их частным случаем является классическая золотая пропорция.

Данная статья является продолжением начатых нами исследований о корнях приведенного квадратного уравнения, опубликованных в работе "Теорема о n-х степенях приведенного квадратного уравнения"(«АкадемияТринитаризма», М.Эл.№77-6567,публ.17312. 14.02.2012)

В предыдущей статье, с использованием древнерусской системы саженей, было показано, что плато Гизе не является некрополем фараонов, а представляет собой культовый государственный центр Древнего Египта. Может показаться, что применённая система доказательств недостаточна для того, чтобы оспорить исторически принятую версию пирамид как усыпальниц фараонов.

Последние годы активизировались научные исследования о месте и роли золотого сечения (хрусотомии) в природе и обществе. Это привело к появлению новых видов сечений, определяемых, как серебренное, бронзовое, железное, медное и т.п., что, по нашему мнению, является отдельными частными случаями, вытекающими из свойств обобщающих гиперболических функций, суть и особенности которых нами предлагается рассмотреть в данной работе.

Точно на широте Золотого сечения стоит Москва (золотая параллель проходит по южным окрестностям города). Но это не всё - скорее, начало. В узкой полосе 55.6 плюс-минус полградуса северной широты расположены: Казань, Н.Новгород, Челябинск, Омск, Новосибирск, Красноярск.

Цели данной работы: по-новому взглянуть на причины соотношений, полученных И.С. Ткаченко, а так же сделать попытку унификации числовых рекуррентных рядов и отношений двух соседних элементов в этих рядах.

Недавно проф. Олег Боднар, создатель уникальной геометрической теории филлотаксиса, основанной на «золотых» гиперболических функциях, в развитие своих «золотых» гиперболических функций опубликовал довольно интересную, с моей точки зрения, статью Серебряные функции и обобщение теории гиперболических функций

Математика гармонии динамично развивается. Это с воодушевлением констатирует А.П. Стахов в итоговом материале о результатах завершенного Международного online семинара по Математике Гармонии.

Гармония мира многообразна, как и сам мир. А точнее, мир разнообразен из-за многоликости гармонии.

Из-за того, что по данным измерений атомы углерода ¹³С в молекуле бакминстерфуллерена не находятся в равном положении, а попарно принадлежат к пяти- и шестиугольным кластерам, соответственно правильной и измененной формы, выполнен уточненный расчет нанообразования С₆₀. Обнаружено, что метрические модули первого и второго порядка, как элементы нестандартной метрологии, содержат слагаемое, близкое к величине постоянной тонкой структуры, найденной экспериментальным путем.

В работе "Физическая трактовка "золотой константы" число Фидия (Ф) рассматривается как необходимый атрибут математической модели конкретного физического объекта – лестничной электрической схемы. Отмечено также, что это число характеризует определенный тип симметрии.

На сайте академии АТ (http://www.trinitas.ru) состоялся весьма примечательный заочный on-line-семинар по математизации гармонии (2011–2012).

Каждый без исключения материал семинара по математизации гармонии чем-то интересен или отличим. Любой фрагмент в целом способствует развитию научных знаний, связанных с золотой пропорцией, гармонией и её математическим описанием (представлением).

8 - 10 октября 2012 года состоится 3-й Международный Конгресс на тему:«Проектирование гармоничных систем: инновационная сложность и конструктивная методология, управление и синергия, мера и качество». Цель Конгресса - дальнейшая системная разработка научной парадигмы Гармоничного развития и внедрение идеологии Гармоничного развития во все сферы жизни общества.

Известно, что π = 3,141592654; e = 2,718221828; γ = 0,577216649; ф = 1,61803989 (φ =0,618033989); 10 – основание арабской позиционной системы счисления; используются как определённые постоянные величины, между которыми существуют достаточно интересные связи, на которые мы хотели бы обратить внимание читателя.

В работе вводятся понятия целого и отдельного как доли целого и показано, что «отдельное» является базой возникновения математического качества, основой счисления. Проводится диалектический анализ математических понятий и делается вывод о том, что разделы математики в целом являются и качественными и количественными науками. Показано применение законов диалектики в математике и пространственной бесконечности как бесконечного – безначального. Отмечено, что ряды Фибоначчи вырождаются в геометрические прогрессии, которые обобщаются в класс русских матриц, являющихся основой теории физической размерности. Русские матрицы обладают высшей степенью гармонии и обусловливают степенную комбинаторику своих членов.

В статье "Множественность взаимосвязей констант π, φ, е в представлении комплексного числа" («Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16719,03.08.2011) Иван Семенович Ткаченко представил формулы, содержащие константы φ, ф, е, π с применением мнимой единицы i и натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 10.

Редакция АТ объявляет о проведении с 31 октября по 31 декабря 2011 г. МЕЖДУНАРОДНОГО ONLINE СЕМИНАРА ПО МАТЕМАТИКЕ ГАРМОНИИ по теме "Математизация гармонии и гармонизация математики современной науки и образования"

Мы приглашаем ученых различных специальностей, а также преподавателей университетов, колледжей и школ принять участие в работе нашего семинара. Мы будем размещать статьи участников семинара в рамках специальной рубрики «Международный семинар по Математике Гармонии», которая будет открыта в Институте Золотого Сечения.

Открытие квазикристаллов является революционным открытием в области химии и кристаллографии, потому что оно экспериментально показало существование кристаллических структур, в которых проявляется икосаэдрическая или пентагональная симметрия, основанная на «золотом сечении». Это опровергает законы классической кристаллографии, согласно которым пентагональная симметрия запрещена в неживой природе.

Настоящая лекция является третьей и последней и ее основная цель – показать на конкретных примерах проявления золотого сечения и гармонических пропорций в экономике. Гармонизация экономики и управления одна из актуальных задач современности.

Завершив в предыдущих трёх главах Части II анализ и рассмотрение всевозможных граней многоликой константы ф, можно наконец приступить к решению основной задачи – построению ОТЗС как приложения теории ЛМФ.

В настоящей главе – последней перед представлением обобщённой теории золотого сечения – будет продолжен начатый в предыдущей главе обзор более и менее известных примеров поиска и применения принципа золотого сечения в разных областях, дополненный нами рассмотрением его роли в исследовании стабильности атомных ядер.

Настоящая лекция является продолжением первой и ее основная цель – показать на конкретных примерах проявления золотого сечения и гармонические пропорций в науке и технике

Число золотого сечения является, вероятно, наиболее популярной после константы π математической константой. Путь к пониманию выделенности той или иной константы лежит через анализ её формальных особенностей, потому и были рассмотрены в предыдущей главе важнейшие арифметические характеристики константы ф и чисел Фибоначчи, их удивительные особенности.

Числа и величины играют первостепенную роль в понимании и объяснении окружающего нас мира, его прошлого, настоящего и будущего, структуры и механизмов развития. С помощью числовых моделей и абстрактных математических систем выявляются и порой удивительно хорошо описываются присущие природе гармония и простота.

Во второй половине 20-го века в рамках так называемой «математики гармонии» было получено ряд фундаментальных математических результатов (система Бергмана, коды Фибоначчи, коды золотой пропорции и др.), касающиеся теории систем счисления.

Пока писал ответ на вопросы А.П.Стахова, появилась реплика А.А.Борисенко. И половина ответов стала просто не нужна. Да, стареют идеи…

В большинстве случаев я могу только согласиться с выводами и определениями А.А.Борисенко. И в части избранной когда-то стратегии, и в тактических действиях по её технической и организационной реализации.

В дискуссию по микропроцессорам Фибоначчи подключились профессионалы. Проф. А.А. Борисенко – доктор технических наук в области компьютерной техники, действующий зав. кафедрой электроники и вычислительной техники Сумского государственного университета. В настоящее время он является, без сомнения, ведущим ученым Украины в области теории избыточных кодов и систем счисления.

Уважаемый Алексей Петрович!

Прочитав Ваши статьи и А.В. Никитина о фибоначчиевых микропроцессорах с вашими комментариями, я понял, что Вы решили вернуться к технической стороне фибоначчиевых систем счисления. Безусловно, сегодня появились новые технические возможности для реализации фибоначчиевых схем и даже компьютеров. Об этом я неоднократно говорил вашему ученику доктору технических наук Лужецкому В. А.

В «золотом» коде мы можем выполнять те же операции, что и в классическом двоичном коде, то есть, сдвигать код, представлять числа с плавающей запятой, выполнять над числами все арифметические операции. При этом, как и в случае классического двоичного кода возникает ПОГРЕШНОСТЬ ОКРУГЛЕНИЯ. Но если погрешность округления нас не смущает в классическом двоичном компьютере, то почему она нас должна смущать нас в «компьютере Фибоначчи»?

«Элементарная теория чисел», описанная в «Началах» Евклида, начинается с Евклидового определения натурального числа, которое порождает как сами натуральные числа, так и всю проблематику их теории. В настоящей работе предлагается обоснование «золотой» теории чисел, основанной на системе Бергмана и его обобщении – кодах золотой пропорции.

Хотел бы выразить благодарность А.П. Стахову за предоставленную информацию.

Оказалось, что информация есть, зачем тогда нужна была столь резкая реплика на очень технические вопросы, непонятно. А теперь к делу…

В микропроцессоре Фибоначчи, описанном в статье "Микропроцессоры Фибоначчи - как одна из базисных инноваций будущего технологического уклада, изменяющих уровень информационной безопасности систем"( "Академия Тринитаризма", М., Эл № 77-6567, публ.16759, 16.08.2011), для представления чисел используется два кода – код Фибоначчи и «золотой» код (система Бергмана)

Инженерные разработки с использованием «кодов Фибоначчи» и «золотой пропорции», которые были выполнены под моим научным руководством в Винницком политехническом институте в 80-е годы 20-го века, показали высокую эффективность этих кодов в информационных системах. Свойства этих кодов не изменились.

Возможность представления некоторых иррациональных чисел (степеней «золотой пропорции» и их сумм), а также, как будет показано ниже, всех натуральных чисел с использованием конечной совокупности двоичных цифр есть первый неожиданный результат системы Бергмана, который вступает в противоречие с нашими традиционными представлениями о системах счисления.

Публикация книги "The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science" вызвала довольно бурную и неоднозначную реакцию научного сообщества – от восторженных публикаций до обвинений в некорректности использования словосочетания «математика гармонии» и даже в лженауке. Новая атака на «математику гармонии», которую начал всем известный «доктор тех. наук», ведется под лозунгом: никаких новых научных результатов в рамках «математики гармонии» не получено, все эти результаты давно известны в рамках «классической математики».

Сомнения в правильности понимания этой теоремы из Начал Евклида стали появляться по мере ознакомления с материалами о ЗС в различных источниках.

Есть одно обстоятельство, обратившее на себя пристальное внимание.

Главная идея статьи Дениса Клещева «О былых и грядущих богах, жрецах и пророках науки» [1] состоит в том, что процессы научных парадигм в математике и физике тесно взаимосвязаны: вслед за сменой парадигмы в математике следует смена парадигмы в физике

Физические постоянные многолики, многофункциональны, далеко не в последнюю, если не в первую очередь это экстремальные величины, вехи, которыми природа очертила границы физической реальности. Подробное обсуждение допустимых границ изменения и применимости различных физических величин призвано завершить обсуждение всех фрагментов универсума физических чисел.

В статье излагаются теоретические основы «микропроцессоров Фибоначчи» как нового направления в повышении информационной надежности микропроцессоров. «Троянским конем» двоичной системы, используемой в микропроцессорах, является ее НУЛЕВАЯ ИЗБЫТОЧНОСТЬ, что не позволяет осуществлять контроль преобразований информации в микропроцессоре.

Согласно предыдущим главам переход от логики к математике осуществляется добавлением к постулатам для логических “величин” – высказываний, предикатов, термов – аксиом для величин математических, в частности для чисел. Реальное же построение числового континуума и множества функций осуществляется посредством выделенных чисел, фундаментальных математических констант, задаваемых выделенными материнскими функциями ψ и α.

Начнем с бесспорного факта существования исторически сформировавшейся концепции бесконечного континуума как и его составных частей, с фиксированными правилами оперирования, определёнными принципами упорядочивания, характерными особенностями отдельных подмножеств или даже отдельных чисел и т.д.

Конечно, тема Гармонии и Золотого Сечения бесконечна в своем разнообразии. Каждый эту тему понимает по-своему в зависимости от своего научного пристрастия. И обсуждение этой темы не имеет конца. Я придерживаюсь точки зрения, изложенной Шестаковым в его замечательной книге «Гармония как эстетическая категория (1973). Пифагорейцы занимались, прежде всего, «математической гармонией», которую они наблюдали в окружающей природе.

Краеугольным камнем мировой гармонии, без веры в которую естественнонаучное мышление лишилось бы большей части своей привлекательности, является математика. Известно, что путь от общих положений до конкретной их реализации часто долог, извилист и неоднозначен. Потому-то так труден вопрос, каким всё же образом математическая первооснова приобретает характер селективного формообразующего принципа для живой и неживой природы. Принцип золотого сечения предоставляет, быть может, наилучшую возможность для анализа подобных проблем.

Широко распространены p-константы (p-пропорции, p-коды, p-числа, p-коэффициенты, p-аттракторы), открытые А.П. Стаховым и И.В.Витенько.

Эти константы обладают многочисленными уникальными свойствами, к которым добавим их представление корнями собственной степени и степени х из числа х .

Настоящая статья преследует две цели. Первая – изложить новый подход к Платоновым телам (ПТ), основанный на понятиях энтропии и рекурсии. Наилучшими (близкими к характеристикам «золотого сечения») энтропийными характеристиками среди ПТ обладают додекаэдр и дуальный к нему икосаэдр. Вторая цель – осветить роль ПТ в контексте развития математики и науки в целом. Необычной является оценка роли ПТ в создании «Начал» Евклида.

22.05.2011 на сайте АТ была опубликована статья В.Л. Владимирова, А.П. Стахова «ЭНТРОПИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ (РАСКРЫТА ЕЩЕ ОДНА ТАЙНА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ)» (далее для краткости – статья). Через месяц, 21.06.2011, на сайте АТ была опубликована полемическая статья С.Л. Василенко, В.С. Белянина «ЗОЛОТОНОСНЫЕ НАНОСЫ (СОКРЫТИЕ ТАЙНЫ «ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ» ЭНТРОПИИ)» с рецензией на статью В.Л. Владимирова, А.П. Стахова (далее для краткости – рецензия).

Число Фидия иногда обнаруживают при анализе некоторых математических моделей, но почти всегда остается определенное сомнение в достоверности такой находки. Предпримем попытку установить замечательное число как необходимый атрибут математической модели конкретного физического объекта.

Итак, словосочетания «золотое сечение» и «золотая пропорция» не равноценны семантически, поскольку первое относится к геометрии, где измерениям предшествует выбор масштаба, а второе принадлежит арифметике, где единица вводится аксиоматически и деление чисел не эквивалентно измерению.

В философии естествознания и связанных с ней математики, физики, химии и других науках одной из фундаментальных постоянных является золотое сечение (золотая пропорция, «божественная» пропорция) и связанные с ним рекуррентные последовательности Фибоначчи, Люка и др.

Концепция фрактальности мироздания и отдельных его элементов возникла во второй половине ХХ века в рамках новой научной парадигмы, объединяющей синергетику, кибернетику, информатику и другие теории, имеющие универсальное значение для любых явлений бытия.

Как известно, гипербола – это геометрическое место точек, координаты которых выражены значениями гиперболических функций (ГФ). Но есть ли среди этих точек та, которую следует называть точкой ЗC? Какими функциями выражаются её координаты?

Можно ли учесть «энтропийный» подход при дальнейшем исследовании гиперболических функций Фибоначчи и Люка и ГФ?

Существуют ли гиперболические уравнения, решения которых относятся только к режиму ЗС? Каковы перспективы применения таких уравнений?

Цель данной работы – попытаться ответить на поставленные вопросы.

Каждому из бесконечных вариантов деления произвольного отрезка на части «а» и «b≥а» соответствует своя «гармоническая пропорция» и своя рекурсия. Если разность b–а равна половине гармонического среднего h чисел «а» и «b», получаем «гармоническое золотое сечение». Доказано, что такому сечению (частный его случай – классическое золотое сечение, h=2) соответствует максимальная энтропия суммы двух слагаемых разностного уравнения (иначе: системы, синтезированной из двух элементов).

В 2009 г. международное издательство “World Scientific” опубликовало книгу Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009. Эта книга подводит итог развитию «теории золотого сечения» от Евклида до современной науки с учетом современных достижений в этой области. Большую роль в развитии этого научного направления сыграла так называемая «Славянская «Золотая» Группа» (1992), которая в 2003 г. была преобразована в Международный Клуб Золотого Сечения. Освещению деятельности этого необычного Клуба и посвящена настоящая статья.

Вера в то, что Вселенская система, от движения электрона до галактик включительно, обустроена согласно предустановленной гармонии со временем крепнет и ширится. А где доказательства? Я попытаюсь заполнить это белое пятно.

Общепринятый символ либо изобразительный (иконический) знак самого ЗС пока как-то не прижился. В литературе встречаются некие предметы (растения, морские раковины и др.), как-то связанные и ассоциирующие с золотой пропорцией. Однако в них порой трудно распознать визуально наличие строгой математической закономерности.

В конце 80-х годов 20 в. украинскими учеными Алексеем Стаховым и Иваном Ткаченко и Олегом Боднаром независимо друг от друга был введен новый класс гиперболических функций.

Что касается формулы Бине, которая играет в математике гармонии важную роль, то ее настоящим автором является выдающийся математик Де Муавр, предложивший эту формулу за 100 лет до Бине, причем в более широком математическом контексте.

Любая научная теория должна исходить из фактов, логически их объяснять и на этой основе как вывод предсказывать и открывать новые факты. Поэтому эта статья начинается в факта соотношения периодов обращения планет солнечной системы по золотой пропорции или ее гармоникам. Отношению чисел Фибоначчи удаленных друг от друга на несколько шагов.

Для представления последовательности Фибоначчи и его «дочерних» и «внучатых» вариантов могут использоваться различные варианты визуализации: треугольник Паскаля, диаграммы Венна, матрицы Стахова, треугольники Мартыненко, фигурные числа (Стахов, 2003; Газале, 2002; Абачиев, 2009; Мартыненко, 2009 а–в) и др.

В связи с публикацией статьи «О понятии «Математика Гармонии» (The Mathematics of Harmony) (реплика на статью С.К. Абачиева «Математика гармонии: от разработки «по горизонтали» к разработке «по вертикали»)» ко мне поступило письмо с просьбой более детально прокомментировать следующую цитату из этой статьи:

Недавно в Академии Тринитаризма была опубликована принципиально важная статья С. К. Абачиева (Абачиев, 2010) , в которой обсуждается научный статус, генезис и перспективы математики гармонии – междисциплинарной области, рождающейся на пересечении практически всех дисциплин гуманитарного и естественнонаучного профиля, а также различных видов искусств.

Я убежден, что очень удачно выбрал название для моей англоязычной книги. Оно сразу же привлекло внимание всей мировой научной общественности. Но самое главное, что название «математика гармонии» очень четко подчеркивает область притязаний автора. Эта научная дисциплина направлена на изучение «математического понимания гармонии».

Данная статья развивает и детализирует одну из тем предыдущей статьи. Это по-прежнему делается в ключе специфически прогностичного анализа с позиций современной эволюционной теории познания.

В недавней статье проф. С.К.Абачиева, посвященной фундаментальному труду А.П.Стахова «The Mathematics of Harmony», изданному издательством World Scientific, был поставлен вопрос о методологических проблемах, связанных с математикой гармонии, которая в некотором смысле, действительно, не сформирована до такого уровня, чтобы принять канонические формы.

С первых же слов хочу выразить благодарность профессору Абачиеву за работу «Математика гармонии глазами историка и методолога науки»

Научное направление, которому посвящён данная статья, я представлю как специалист по логике и методологии науки, гносеологическим аспектам труда и техники.

Одесский Национальный Университет им. И.И. Мечникова проводит 1-й Международный Конгресс на тему "СОВРЕМЕННЫЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИКИ ГАРМОНИИ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ, ЕСТЕСТВОЗНАНИИ, ТЕХНОЛОГИИ, СОЦИУМЕ И ОБРАЗОВАНИИ".

Время проведения Конгресса - 8-10 октября 2010 года.

Каждая система лишь частично заполнена массой вещества. Остальная часть остается условно пустой. Условно потому, что на самом деле в ней “растворены” (взвешены) мельчайшие частицы, размеры, масса и время жизни которых суммарно меньше одной частицы, принятой за элементарную (наименьшую из установленных).

Вот уже 37 лет автором развивается оригинальный вариант общей теории систем, или ОТСУ, как его именуют в литературе. Сначала ОТСУ разрабатывалась как теория возникновения, сохранения, преобразования систем природы, общества и мышления.

До сих пор не утихают споры о решении 23 математических проблем, сформулированных выдающимся математиком Давидом Гильбертом в докладе «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. на 2-м Международном Конгрессе математиков в Париже.

Ответы на эти вопросы содержится в комментарии Мордухай-Болтовского, авторитет которого не вызывает сомнений (у меня, по крайней мере)

Многое в поведении современного человека определяется системой формирования знаний.

Почему же все-таки «теория чисел Фибоначчи и золотого сечения» продолжает развиваться? Начиная с 1984 г., Фибоначчи-Ассоциация проводит регулярно (1 раз в 2 года) международные конференции «Числа Фибоначчи и их приложения», публикуются книги и многочисленные статьи по этой проблеме, делаются обобщения в этой области и т.д. Все дело – в приложениях.