Институт Золотого Сечения - Дискуссии

Грант Аракелян

Введение

Часть I. Теория ЛМФ

Глава 1. Логика и формальная математика

Глава 2. Физическая математика

Глава 3. Основания физической теории

Глава 4. Границы физического мира. Обобщённые физические законы

Часть II. Принцип золотого сечения

Глава 5. Принцип золотого сечения и числа Фибоначчи

Глава 6. Принцип золотого сечения в природе и искусстве

Глава 7. “Золотая” смесь

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

Заключение. Теория ЛМФ и ОТЗС: основные положения, формулы, графики

Краеугольным камнем мировой гармонии, без веры в которую естественнонаучное мышление лишилось бы большей части своей привлекательности, является математика. Известно, что путь от общих положений до конкретной их реализации часто долог, извилист и неоднозначен. Потому-то так труден вопрос, каким всё же образом математическая первооснова приобретает характер селективного формообразующего принципа для живой и неживой природы. Принцип золотого сечения предоставляет, быть может, наилучшую возможность для анализа подобных проблем. В силу его совершенно особого статуса, а главным образом из-за соотнесённости с фундаментальными математическими константами (ФМК), с положениями теории ЛМФ, вкратце представленной во Введении и Части I настоящей работы, подробное обсуждение этого принципа и всего, что с ним связано, представляется существенным и важным.

Фундаментальная физическая теория - мечта многих поколений исследователей. ЛМФ - попытка осуществить эту мечту в виде логически строгой, математически завершенной системы, соответствующей имеющимся экспериментальным данным и допускающей (частично уже подтвердившиеся) прогнозы и эмпирическую верификацию. Это базисная теория физического мира, реализующая идею единства математической логики (Л), числовой математики (М) и фундаментальной физики (Ф). Её корневая структура начинается с логических атомов и завершается обобщёнными физическими законами сохранения, изменения и квантования. В рамках теории ЛМФ получен удивительный результат для постоянной Ферми. Решается ряд важнейших задач, в частности определение численного значения постоянной тонкой структуры, времени жизни мюона и других физических констант, выявление границ физического мира с использованием нового космического параметра — безразмерной константы порядка 10¹²⁵, получение массовой формулы для частиц определённого типа, обобщение принципа золотого сечения.

Теория ЛМФ по идее не только снабжает необходимым инструментарием для теоретического определения любой известной физической постоянной и не только приписывает с ограниченной или неограниченной точностью истинное числовое значение каждой величине. В свете теории ЛМФ некоторые изученные казалось бы вдоль и поперек математические величины предстают в новом качестве, приобретают дополнительные, ранее не известные характеристики. В этом назначение Части II настоящей работы, где изложение исторических фактов и подробное рассмотрение формальных свойств числа Ф носит иллюстративный характер и подчинено решению основной задачи: выявлению связей между Ф и исходными ФМК, анализу принципа золотого сечения с точки зрения общих принципов и идей, изложенных в Части I. По сути ставится задача построения нетрадиционной математической теории золотой пропорции. Это построение должно быть ответвлением теории ЛМФ и призвано не только подтвердить её возможности, но и осветить некоторые ключевые вопросы, которые в обычной трактовке золотого сечения кажутся загадочными.

 

Введение

Глава 1. Формальная логика и математика

1.1. Основные элементы исчисления предикатов

1.2. Логические постулаты системы ЛМФ

1.3. Почему математика не может начаться с единицы

1.4. Формальные системы G и AG

Введение

Теория ЛМФ это фундаментальная теория физического мира начала ХХI века, охватывающая все области физической реальности. В своем окончательном виде она изложена в капитальной монографии “Фундаментальная теория ЛМФ”, её сокращенный примерно в четыре раза вариант представлен в книге “От логических атомов к физическим законам”, а ещё более сжатое изложение – в изданной в конце 2010 г книге “LMP Fundamental Theory”. Название теории составлено из начальных букв слов “логика”, “математика” и “физика”. Стало быть ЛМФ – теория единства логики, математики и физики и задумана она как базисная, материнская теория физического мира. Можно сказать, что это в некотором роде общая теория всех физических теорий, физическая “теория всего”, возведенная на фундаменте математической логики и чистой математики. В рамках теории ЛМФ решается ряд важнейших задач, среди которых можно последовательно выделить следующие:

• составление набора исходных логических и математических операций, понятий функции и переменной, терма и формулы, полного алфавита формальной структуры теории ЛМФ
• построение, с использованием первичных элементов и операций, формальной логико-математической системы, охватывающей множество всех чисел
• вывод в рамках этой системы, состоящей из логических постулатов и математических аксиом, исходных математических функций и начальных чисел – фундаментальных математических констант (ФМК) включая две новые
• построение множества всех чисел с помощью исходных операций аксиоматической системы и начальных чисел
• переход от математических переменных и фундаментальных констант к фундаментальным физическим величинам
• получение в закодированном виде основных физических уравнений – законов сохранения, изменения и квантования фундаментальных физических величин
• построение безразмерной системы измерения физических величин, или А-системы, в которой каждая величина приобретает свое истинное числовое значение
• верификация А-системы, а косвенно формализма теории ЛМФ в целом, на основе удивительного результата для константы Ферми GF
• решение проблемы теоретического определения численных значений для таких физических констант как постоянная тонкой структуры (постоянная Зоммерфельда), время жизни мюона, масс заряженных лептонов и нуклонов
• экспоненциальное обобщение математической теории золотого сечения
• определение экстремальных значений физических величин, границ физической реальности
• введение новой космологической постоянной NU, равной отношению максимальных и минимальных параметров Вселенной и вообще отношению экстремальных значений физических величин
• объединение посредством константы NU основных физических законов сохранения, изменения и квантования в единые обобщённые законы

О попытках создания ФФТ. Основные причины неудач

Фундаментальную физическую теорию (ФФТ) называют также единой теорией или (физической) теорией всего. В самых общих чертах ФФТ призвана свести всё многообразие физического мира к единой основе. Из истории науки прошлого века хорошо известно, что вслед за созданием теории относительности и квантовой механики предпринимались многочисленные попытки создания теории, охватывающей все или почти все основные разделы физической теории, различные области физической реальности. Далеко не полный перечень таких попыток включает “Фундаментальную теорию” [Eddington], “Теорию материи” [Mie], единые теории [Вейль; Эйнштейн; Гильберт; Калуца], теорию нелинейного спинорного поля [Гейзенберг], различные варианты аксиоматической квантовой теории поля [Боголюбов, Логунов, Тодоров], суперсимметрии и супергравитации [Wess, Zumino; Фридман, Ньювенхёйзен], см. также [Введение в супергравитацию; Уэст], суперструн – см. [Davies, Brown; Green, Schwarz, Witten] и др.; см. также [Бергман; Weinberg]. Известно также, что вопреки всем усилиям и надеждам атаки на эту научную твердыню успехом не увенчались: крепость под названием “фундаментальная физическая теория” взять никому не удалось. Ретроспективно, с высоты физических знаний начала нового тысячелетия, а также с позиций концепции ЛМФ можно указать на некоторые обстоятельства и причины, ставшие тогда непреодолимой преградой на пути к желанной цели.

• Создание ФФТ возможно лишь на определённом уровне развития физической теории и эксперимента, при наличии особых условий. В частности необходимы обширная база данных по элементарным частицам и достаточно полный набор измеренных с высокой точностью фундаментальных физических постоянных (ФФП). Кроме того необходимы знание и хотя бы приблизительная оценка таких космологических параметров как масса, плотность, радиус кривизны Вселенной.
• Для построения ФФТ нужны свежие идеи, новое понимание основ физической теории, новая методология, способная прежде всего обеспечить правильный выбор первичных объектов теории. Это одно из наиболее серьёзных препятствий, поскольку едва ли можно рассчитывать на успех опираясь на одни лишь метафизические рассуждения, без однозначного вывода исходного базиса теории на основе универсальных принципов.
• Математический аппарат, используемый в различных попытках построения ФФТ, недостаточен для решения задачи в полном объёме, поскольку содержит серьёзные пробелы. Скрытыми параметрами математики и оснований физической теории, необходимыми для достижения поставленной цели, являются две новые фундаментальные математические константы.

Все необходимые предпосылки построения последовательной, цельной фундаментальной теории сегодня уже имеются.

Определение физики и физической теории. Схема дерева

Любое суждение о физической реальности есть с необходимостью суждение о физических величинах, любое физическое уравнение, формула или соотношение устанавливает аналитическую связь между физическими величинами, любое физическое измерение, эксперимент, эмпирическое исследование сводится к получению конкретной информации о физических величинах. Даже в тех предложениях физики, где нет прямого упоминания физических величин, они в слегка завуалированной форме всё равно фактически присутствуют. Такое, например, стандартное предложение как “система находится в состоянии термодинамического равновесия” – это всего лишь сокращенная запись утверждения о сохранении численных значений некоторых характеризующих систему физических величин. Таким образом, есть все основания полагать, что вся тонкая специфика физики как отрасли естествознания однозначно выражается понятием физической величины. Отсюда вытекает определение:

физика – наука о физических величинах

Следовательно,

фундаментальная физическая теория – теория фундаментальных физических величин

Очевидно, что проблема выбора первичных объектов – фундаментальных физических величин имеет здесь, как впрочем и при любом другом подходе, первостепенное значение. От такого выбора зависит если не всё, то очень многое и неверное решение – ложный путь, который к заветной цели привести не может. Обращаясь к истории физики заметим, что в классической электродинамике исходными могут считаться четыре полевые величины для вакуума и среды; в специальной теории относительности – скорость света в вакууме и четырёхмерные инварианты, обычно выражаемые через пространственно-временные и энерго-импульсные переменные; в квантовой механике – комплексная ψ-функция; в различных вариантах аксиоматического подхода к теории поля – S-матрица Гейзенберга либо ненаблюдаемое квантовое поле либо совокупность всех физических величин. Вариантов много, но как, спрашивается, реально осуществить выбор таких исходных величин, которые бы в полной мере соответствовали требованиям и предназначению современной ФФТ? Это очень непростая задача, выходящая во всех случаях за рамки самой физической теории. Чтобы понять, как будет решаться этот ключевой вопрос в концепции ЛМФ, следует вначале разобраться с окружением фундаментальной физической теории, которое удобно представить с помощью традиционного образа дерева [Аракелян 1992, 11–12]:

атмосфера – философия

почва – методология

корни – логика (Л)

ствол – чистая математика (М)

ветви – фундаментальная физика (Ф)

крона – остальная физика

плоды – приложения физики в науке и технике

Уточним, что приложений физики касаться не будем. Философские, гносеологические, методологические вопросы наряду со многими физическими, математическими и логическими проблемами подробно обсуждаются в монографиях [Аракелян 1979; 1981; 1989; 1997; 2007a; Arakelian 2010] и в ряде публикаций, среди которых выделим работы [Аракелян 1984; 1992; 1994; 2009; Arakelian 1993; 1995], статьи [Аракелян1;2] на сайте Академии тринитаризма, а самое полное, завершённое представление теории ЛМФ можно найти в капитальной монографии “Фундаментальная теория ЛМФ”.

Концепция ЛМФ – единство логики, математики и физики

Данная схема дерева призвана наглядно показать, что согласно предлагаемой концепции фундаментальная физическая теория вырастает поддерживаемая математическим стволом из чистой математики, корнями уходящей в логику. Таким образом, речь идёт о математике и логике (а не только математике) как не просто о языке физической теории, методе, средстве описания физической реальности и т.п., а об их единстве в более сильном смысле, о целостной системе со строгими естественными связями между отдельными её частями. Единство логики, математики и физики, точнее, оснований фундаментальной физической теории, понимаемой как теория фундаментальных физических величин, отражено и в самом названии. Словом, ЛМФ задумана как базисная теория физического мира, общая теория всех физических теорий, взращенная на почве математической логики и чистой математики. При этом каждая из трёх частей системы ЛМФ, особенно первая (Л) и в меньшей мере вторая (М), представляет собой относительно самостоятельные конструкции, подчинённые вместе с тем единству общего замысла, так что каждая последующая ступень восхождения покоится на предыдущей, задающей в определённой степени её структуру и основные параметры. В конструктивном плане главная цель исследования состоит в нахождении и использовании той “пуповины”, которая помогает выявлению основных характеристик фундаментальной физической теории, соединяя ядро, сердцевину физической теории с её логико-математической основой. Другими словами, нужна такая логика и нужна такая основанная на ней математика, естественное продолжение которых приведёт к переходу от выделенных математических величин к фундаментальным физическим величинам, к основным физическим принципам и законам.

Наиболее рациональный, строгий и логически надёжный способ представления естественнонаучной теории состоит в её аксиоматизации. Аксиоматический метод, прекрасно себя зарекомендовавший в логике и математике, хотя в последнем случае возможности его, как выяснилось (К.Гёдель), не беспредельны, имеет однако ограниченную сферу применения в других областях науки, в том числе в физике. Вообще этот метод больше подходит для упорядочения уже устоявшейся теории и менее пригоден для представления новой теории, ещё не устоявшейся, формирующейся, а следовательно не доведенной ещё до той кондиции, когда можно уже наводить аксиоматический глянец. Принимая это во внимание, мы ограничили строгое применение аксиоматического метода системой AG, составляющей первые две части формализма теории ЛМФ и включающей известные разделы формальной логики и менее известную математическую аксиоматику.

 

Глава 1. Логика и формальная математика

1.1. Основные элементы исчисления предикатов

1.2. Логические постулаты системы ЛМФ

1.3. Почему математика не может начаться с единицы

1.4. Формальные системы G и AG

Именно в логике, притом математической, можно видеть корни математики, во всяком случае формализованной. Это значит, что если исходить из существующих стандартов строгости, то формально-аксиоматическое построение такой базисной теории математики как арифметика должно начинаться с логических атомов – высказываний и других базисных логических элементов, образующих исчисление высказываний, на котором строится исчисление предикатов с исходным понятием предиката, или логической функции. Только после этого к построенному подобным образом логико-дедуктивному формализму добавляется та или иная система математических аксиом с новыми элементами, интерпретируемая на том или ином множестве объектов, не обязательно числовой природы. Выбор адекватной логикo-математической основы фундаментальной физической теории ЛМФ, призванной обеспечить единство трёх частей системы, практически безальтернативен относительно формальной логики. Дело в том, что классическое исчисление предикатов (без равенства), включающее исчисление высказываний в качестве составной части, может служить при соответствующих модификациях формальной основой множества самых различных математических систем и вполне подходит для наших целей. Такая особенность свидетельствует об универсальности логики, которая в исчислении предикатов предстаёт в виде математизированной системы, предшествующей системам чистой математики.

Помимо необходимости представить логику и математику в формальном единстве мы крайне заинтересованы в получении исчерпывающего набора основных, исходных компонентов всей системы, в связи с чем стоит непростая проблема выбора системы математических аксиом. Для решения этого важнейшего для всего построения вопроса требуется критическое рассмотрение тысячелетней концепции первичности натуральных чисел, выступающей сегодня под знаменем аксиоматических систем арифметики натуральных чисел типа известной системы N. Всесторонний анализ ситуации выявляет полную непригодность данной концепции для решения поставленной задачи. Единственно приемлемой альтернативой является формализм универсальной математики, имеющий наряду с прочими интерпретацию на множестве всех действительных и комплексных чисел, включая, что особенно важно, нуль. В конечном счёте восемнадцать логических постулатов L1–L18, состоящих из пятнадцати аксиомных схем и трёх правил вывода, и семь математических аксиом М1–М7 вместе с неотрывными от них основными понятиями и исходными элементами образуют аксиоматическую, логико-математическую основу теории ЛМФ. Эта формальная система, обычно обозначаемая AG, представляет собой первые две части всей системы, необходимые и достаточные для всех дальнейших построений.

1.1. Основные элементы исчисления предикатов

Исходя из отмеченной выше безальтернативности выбора исчисления предикатов в качестве логикo-математической основы фундаментальной физической теории и не вдаваясь в детали последовательно перечислим все основные элементы этой формальной системы, называемой также логикой первого порядка: логические и математические функции и переменные, операции, термы и формулы, индивидуальный объект нуль (подробнее см. Фундаментальная теория ЛМФ, Гл.1).

а) Логическая пропозициональная функция, или предикат, предельный случай которого есть единичное высказывание

Математические (числовые) функции:

б) простые функции, являющиеся в частности постоянными величинами, или просто постоянными (константами)

в) сложные функции, образуемые посредством суперпозиции

г) функционалы

д) операторы

Им соответствуют четыре потенциально бесконечных множества переменных:

1) предметные (индивидные) переменные

2) предикатные логические переменные

3) числовые переменные

4) операторные функции-аргументы математики

Понятия переменной и функции естественным образом объединяются в фундаментальном понятии величины. Принимая во внимание имеющиеся возможности, необходимо различать два типа величин, при этом постоянные (константы) будут частным случаем переменных величин. Следует заметить, что понятие величины, привычное для физики и считающееся одним из основных в математике, см. [Колмогоров], редко встречается в логике. Можно, однако, думать, что это всего лишь чисто лингвистическая, так сказать, дискриминация, обусловленная исторически сложившейся и достаточно устойчивой традицией употребления тех или иных терминов и понятий. Основополагающая для данной работы идея единства трёх фундаментальных областей знания и приведённый выше способ определения логических и математических переменных и функций даёт полное право говорить в частности о высказываниях и предикатах как о логических величинах, к тому же первичных в определённом смысле по отношению к остальным величинам.

---

Полный текст доступен в формате PDF (1001Кб)

---

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]