Введение

Часть I. Теория ЛМФ

Глава 1. Логика и формальная математика

Глава 2. Физическая математика

Глава 3. Основания физической теории

Глава 4.Границы физического мира. Обобщённые физические законы

Часть II. Принцип золотого сечения

Глава 5. Принцип золотого сечения и числа Фибоначчи

Глава 6. Принцип золотого сечения в природе и искусстве

Глава 7.“Золотая” смесь

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

Заключение. Теория ЛМФ и ОТЗС: основные положения, формулы, графики

Глава 5. Принцип золотого сечения

5.1. Традиционное понимание золотого сечения

5.2. Арифметика золотого сечения. Бесконечные дроби

5.3. Цепные и подходящие дроби

5.4. Формула Леви, ФМК, число ф и константа да Винчи

5.5. Числа Фибоначчи. Из истории вопроса

5.6. Обобщённый ряд Фибоначчи

5.7. Свойства чисел Fn в зависимости от n

5.8. Формула Бине. Золотые числа как ФК теории чисел

5.9. Формула Бине, число ф, числа Фибоначчи и Люка

Глава 5. Принцип золотого сечения

Числа и величины играют первостепенную роль в понимании и объяснении окружающего нас мира, его прошлого, настоящего и будущего, структуры и механизмов развития. С помощью числовых моделей и абстрактных математических систем выявляются и порой удивительно хорошо описываются присущие природе гармония и простота. Характерно, что на всех этапах истории человеческого познания отчётливо проступает стремление к выделению определённых чисел как наиболее значимых. Если говорить о целых числах, то чаще других, вероятно, встречаются числа от 1 до 13 включительно, кроме того 40, степени десяти, 108 – сакральное число буддизма и других религиозно-философских учений, числа с повторяющимися знаками типа 33 или 666 и некоторые другие. Многие из этих чисел считались священными у народов древнего мира, им придавалось сакральное значение, приписывалась мистическая сила, на них строилась числовая магия, они иногда отождествлялись с богами, а боги отождествлялись с ними [Аристотель; Ван дер Варден; Thorndike; Menninger]. Современный исследователь в своем поклонении числам редко так далеко заходит. Вместе с тем в наши дни математика и её приложения занимают более значительное место в жизни общества чем допустим при вавилонских магах или Пифагоре. А главное – мощь аппарата современной математики даёт несравненно бóльшие возможности не только для решения теоретических и практических задач, но и для более глубокого проникновения в природу вещей, для истинного постижения мира посредством чисел и числовых моделей. В этом отношении современная математика более плодотворна и эффективна, чем её античная предшественница, хотя не так громко заявляет о своих притязаниях.

Уже в древнем мире наряду с целыми числами выделяются в качестве значимых и некоторые нецелые числа. Число золотого сечения ф, история которой тянется из глубокой древности в современность, это – одна из немногих известных нам величин, которой по всей видимости можно приписать выходящее за рамки земного космологическое, вселенское содержание. Часть II настоящей работы целиком посвящена рассмотрению разных сторон многоликой и представляющей большой самостоятельный интерес константы ф и принципа золотого сечения с акцентом на их отношении к формализму теории ЛМФ, представленному в Части I. Будут главным образом рассмотрены следующие вопросы:

• математические свойства числа ф и связанных с ним величин
• отношение к реальности
• связь с фундаментальными математическими константами (ФМК) и некоторыми математическими константами (МК)
• обобщённая теория золотой пропорции как приложение теории ЛМФ

Попутно будут затронуты другие вопросы и приведены различные данные с тем чтобы составить более полное представление о константе ф. В главах 5–7 в качестве обширного введения, необходимого для понимания всей важности и тонкости вопроса, и в преддверии основного изложения, связанного с пониманием принципа золотой пропорции как одного из приложений теории ЛМФ, мы старались прежде всего представить иллюстрированную соответствующими построениями, рисунками, графиками и т.п. историческую и современную “классику” принципа золотого сечения. В настоящей главе приведены многие формулы и результаты конкретных математических исследований, а в двух последующих главах – множество более или менее известных значимых и доступных фактов самого разного свойства и степени правдоподобия.

5.1. Традиционное понимание золотого сечения

Последовательное изложение истории вопроса не входит в нашу задачу, см. [Тимердинг; Гика; Стахов; Huntley; Grunbaum and Shephard; Kappraff], поэтому ограничимся для начала перечислением лишь некоторых фактов, свидетельствующих о повышенном интересе к тайнам золотого сечения у разных народов и в разные эпохи. Геометрические построения, равносильные нахождению золотого сечения, встречаются уже в “Началах” Евклида. Простейшее геометрическое построение золотого сечения даётся во II книге; в IV и XIV книгах оно применяется при построении плоских фигур – правильных пяти- и десятиугольников; начиная с книги XI в разделах, посвящённых стереометрии, золотое сечение используется при построении пространственных тел – правильных двенадцати- и двадцатиугольников. Но задолго до Евклида о золотом сечении судя по всему знали ещё в древнем Египте, Вавилоне и Китае. Помимо геометрии принцип золотого сечения осознанно или бессознательно широко использовался в живописи, скульптуре, декоративно-прикладном искусстве, при изготовлении музыкальных инструментов и особенно в архитектуре. Строители египетских пирамид, Парфенона, средневековых соборов, Витрувий и Ле Корбюзье, Поликлет, Фидий, Леонардо да Винчи и Дюрер, Пифагор, Евдокс, Евклид, Платон, Кеплер и Пачоли, скрипичный мастер Страдивари и психолог Фехнер – вот лишь малая, но представительная часть списка тех, чьи имена так или иначе связаны с историей золотого сечения. Магия золотого сечения возникла ещё в древности, сохранилась в средние века и усилилась в эпоху Возрождения. Тогда же, как считают, Леонардо да Винчи ввел в употребление эмоционально окрашенный термин “Sectio aurea” – “золотое сечение”, сохранившийся и поныне. Впрочем, некоторые полагают, что термин goldener Schnitt – золотое сечение был введён в обиход в середине XIX в. в Германии младшим братом известного Георга Ома математиком Мартином Омом (Martin Ohm, 1792–1872) в 1835 г., см. [Dudley, 245; Пидоу, 139; Fowler]. В 1497 г. Лука Пачоли написал позже иллюстрированный Леонардо трактат “О божественной пропорции” с описанием тринадцати – по числу Христа и двенадцати апостолов – свойств золотого сечения. А употребляемый с прошлого века символ ф обычно связывают с первой буквой имени древнегреческого скульптора Фидия (V в. до н.э.), который согласно легенде и исследованиям некоторых современных авторов сознательно и часто использовал принцип золотого сечения в своем творчестве, в том числе при строительстве Парфенона, см. [Ogden; Huntley]. Впрочем, встречаются и два других вида буквы фи – большое Ф и малое φ, причём нередко полагают φ равным Ф^–1, а порой, особенно в математических текстах, используется буква τ.

Как бы то ни было, после довольно продолжительного периода забвения с середины прошлого столетия, начиная с Цейзинга [Zeising] интерес к использованию золотого сечения в искусстве ещё более возрос и кое-кто провозгласил его универсальной для всего совершенного и прекрасного в природе и искусстве пропорцией. Велик, отметим ещё раз, интерес и в наши дни, о чём свидетельствует внушительное множество публикаций разного уровня и толка, появившихся в печати только за последние два десятилетия, а также огромное количество активно посещаемых сайтов в Интернете; список наиболее известных из них можно найти например в [Knott⁶; Merrill; The Fibonacci Association; Стахов; Phi: The Golden Number].

формате PDF (2044Кб)