Масштабы использования математико-гармонических структур в прикладных исследованиях непрерывно возрастают. Речь идет не только о классическом золотом сечении и хрестоматийных числах Фибоначчи, но и их многочисленных обобщениях и вариациях: числах Трибоначчи, уравнении Падована-Газале, обобщении А. П. Стахова и др. (Газале, 2002; Стахов, 1912; Григорьев, Мартыненко, 2012).

В статье, опубликованной ранее (Мартыненко, 2009), предложена систематика «золотых» неполных (трехчленных) уравнений Фибоначчи произвольной степени, имеющая вид треугольника, вершиной которого являются классическое уравнение золотого сечения. Корнем всех этих уравнений является золотое число φ. Треугольник предсказывает все уравнения с таким решением. Число их бесконечно. Эта числовая фигура обладает рядом дополнительных замечательных свойств, Примечательно, что коэффициенты при первом, втором члене и значения свободного члена также выстраиваются в свои треугольники, отличающихся удивительной регулярностью, но каждый своей.

В данной статье рассматриваются четырехчленные уравнения такого типа. В этих уравнениях первый член (вершина треугольника) реализуется в степени не ниже третьей, а второй имеет фиксированную степень, которая ниже первой. Эти члены образуют сумму или разность. Остальные два члены «подстраиваются» под первые два, но так, чтобы решением уравнения было золотое число.

Можно предположить, что существует универсальное уравнение с произвольным числом членов, корнем которых будет золотое число. Пока такое уравнение нам найти не удалось. Но на этом пути мы попытались кое-что сделать, построив систему из 18 (!) треугольников, в клетках которых представлены четырехчленные уравнения, корнем которых является число Фидия. Эта система дает исчерпывающее описание четырехчленных уравнений.

Теперь рассмотрим, как строится эта 18-членная система.

1. Минимальная степень первого члена равна 3.

2. В первой триаде треугольников степень второго члена постоянна (она равна единице и более)

3. В первой девятке берем разность между первым и вторым членом

4. Во второй триаде степень второго члена возрастает на единицу. И далее прирост тот же.

5. Коэффициенты при втором члене в каждой триаде увеличиваются в соответствии с числами натурального ряда.

6. Остальные коэффициенты подбирались интуитивно. В начале были трудности, но затем по мере прорисовывания закономерностей в таблице коэффициенты проставлялись автоматически.

формате PDF (369Кб)