Натуральные числа n = 1, 2, 3, …, N используем в нумерации членов последовательностей Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, …, F_n и Люка 1, 3, 2², 7, 11, …, L_n где первые рекурсии 1 + 1 = 2 и 1 + 3 = 2² построены из элементов 1, 2 и 3, общих для рядов {F_n} и {L_n}.

Заметим, что единая нумерация возрастающих чисел 1) F_n = F_n+1 - F_n-1 и 2) L_n = L_n+1 - L_n+1 равенством 3) L_n = F_n+1 + F_n-1 указывает на сопряжение целочисленных рядов {F_n} и {L_n}. И при этом 1^*) F_n=[Фⁿ – (-1)^kφⁿ]/√5 и 2^*) L_n=[Фⁿ +(-1)^kφⁿ]. То есть, люка-фибоначчиевы члены натурального ряда тесно связаны с константами φ = 0,618 и Ф = 1,618…, каждая из которых в формулах Бине (1^*) и (2^*) умножена на себя столько раз, сколько единиц нужно сложить, чтобы получить n как степень дробных Ф и φ и как номер целых F_n и L_n, образующих пару (F,L)_N=n.

Как видно, натуральное n ≡ N, являясь нижним индексом при F и L и верхним индексом у Ф и φ , «работает» в двух местах: а) показателем автомультипликации основания φ = F ^-1 в тождествах (1^*) и (2^*) и б) порядковым номером дублета (F,L)_N=n. При этом в (1^*) и (2^*) степень k минусовой единицы равна +1 при нечётном n = N и k = +2 при чётном.

Казалось бы, в формулах (1^*) и (2^*) обозначения «+» и «-» арифметических действий как бы противоположны по смыслу. И действительно символы сложения (аддиции) и вычитания (субстракции) позволяют различать двучлены Фⁿ – (-1)^kφⁿ и Фⁿ +(-1)^kφⁿ не по значению суммы или разности взаимно обратных чисел Фⁿ и φⁿ, а качественно, то есть по сигнатуре, разной до противоположности. При этом зависимая от чётности или нечётности n расстановка знаков в квадратных скобках [Фⁿ±φ ⁿ]=F_n√5 и [Фⁿφⁿ]=L_n имеет две степени свободы и этим напоминает реверс. Так что смену сигнатуры, вызываемую взаимной перестановкой степеней k = 1 и k = 2 посредника-модератора (-1)^k назовём реверсом.

Как видно, особые члены L_n и F_n натурального ряда можно представить двумя способами:

• соответственно суммой и разностью фибоначчиевых чисел F_n-1 и F_n+1 ;
• суммой или разностью n-ных степеней взаимно обратных оснований Ф и j .

формате PDF (1244Кб)