1. О работах Н.В. Косинова

С работами Н.В. Косинова я был знаком и раньше и высоко их оцениваю. Особенно мне нравятся те его исследования, где он доказывает связь «золотой пропорции» с фундаментальными физическими константами. В рассаматриваемой статье Косинова речь идет о серьезном научном открытии в области теории «золотого сечения», которое до бесконечности расширяет число новых рекурсивных числовых последовательностей, подобных числам Фибоначчи и Люка, и новых математических констант, подобных классической «золотой пропорции» и обладающих всеми хорошо известными свойствами «золотой пропорции».

К сожалению, новые «золотые пропорции» в статье Косинова преподносятся как открытие, принадлежащее исключительно автору. Это подтверждается регистрацией многих математических констант в международной энциклопедии Нейла Слоэна. Однако, в статье Косинова отсутствуют ссылки на работы других авторов, которые пришли к этим же научным результатам раньше Косинова. И на этом мне и хотелось бы остановиться подробнее.

2. Встреча с Александром Татаренко

Начну с истории. В 2001 г. Таганрогский радиотехнический университет пригласил меня выступить с докладами и лекциями по «золотому сечению» и «Математике Гармонии» перед учеными, аспирантами и студентами университета. Именно в этот период я познакомился с Александром Татаренко, который очень увлеченно рассказал мне о так называемых Т_m – гармониях, которые с математической точки зрения ничем не отличаются от обобщенных золотых пропорций Н.В. Косинова. К сожалению, присущий Татаренко способ преподнесения своих Т_m – гармоний меня насторожил, на что я и обратил его внимание при встрече. В 2003 г. Александр Татаренко выступил с докладом «На пороге первого тысячелетия эры полигармонии мира» на Международной конференции «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве», которая была проведена в Виннице 22-25-го октября 2003 г. Хотя в докладе содержалась интересная математическая идея, но доклад был встречен участниками конференции с настороженностью.

3. «Металлические пропорции» Веры Шпинадель

Позже на страницах Института Золотого Сечения была опубликовано несколько статей Александра Татаренко на эту тему [1-3]. Статьи вызвали неоднозначную реакцию научного сообщества и по этим статьям была проведена научная дискуссия. Я тоже принял участие в этой дискуссии и опубликовал статью «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель [4]. Изучая научную литературу на эту тему, я неожиданно вышел на работы аргентинского математика Веры Шпинадель, а затем вступил в контакт с ней. Вера Шпинадель прислала мне по электронной почте несколько своих статей и после их изучения я пришел к заключению, что «металлические пропорции» Веры Шпинадель и Т_m – гармонии Татаренко с математической точки зрения одно и то же понятие (как впрочем и новые «золотые константы» Косинова). Поэтому в заключение статьи [4] я написал следующее:

«В конце 20-го века сразу трое ученых Вера Шпинадель (Аргентина), А.А. Татаренко и Н.В. Косинов (Россия), исследуя квадратичное уравнение типа x² – px — q = 0, которое является обобщением «уравнения золотой пропорции» x² — x – 1 = 0, независимо друг от друга пришли к открытию одного и того же класса числовых констант, которые они назвали по-разному: «металлические средние» («metallic means») или «металличческие пропорции» (Вера Шпинадель), T_m-гармонии (А.А. Татаренко), новые «золотые» константы (Н.В. Косинов). Однако первая статья по новым числовым константам была опубликована в 1997 г. аргентинским математиком Верой Шпинадель [5], что, однако, не умаляет оригинальных исследований А.А. Татаренко и Н.В. Косинова».

Важно подчеркнуть, что в 1999 г. Вера Шпинадель опубликовала книгу [6], посвященную своим «металлическим пропорциям».

Понимая, что в квадратном уравнении x² – px — q = 0 заложена довольно глубокая математическая идея, которая до сих пор не раскрыта в математике, я заинтересовался таким направлением обобщения «золотой пропорции» и сам начал размышлять над новыми числовыми пропорциями, вытекающими из этого квадратного уравнения. Позже я обнаружил, что кроме Шпинадель, Татаренко и Косинова еще несколько ученых пришли к этой же идее. В этой связи, прежде всего, необходимо упомянуть о работах известного американского исследователя Джея Каппрафа, автора двух замечательных книг [7, 8], получивших широкую известность в западной науке. В книге [8] новым золотым пропорциям, которые Каппрафф назвал «серебряными пропорциями», посвящена целая глава.

4. Формулы Газале

Но наибольшее впечатление на меня произвели работы египетского математика Мидхата Газале, который в 1999 г. опубликовал книгу «Gnomon. From Pharaohs to Fractals» [9], которая в 2002 г. была переведена на русский язык.

Газале берет за основу следующее рекуррентное соотношение:

Fm(n+2) = mFm(n+1) + Fm(n)

(1)

Здесь коэффициент m представляет собой заданное положительное действительное число.

Заметим, что при начальных условиях

Fm(0)=0 и Fm(1)=1

(2)

и заданном m рекуррентная формула (1) задает бесконечное число рекурсивных числовых последовательностей, частными случаями которых являются числа Фибоначчи (m=1) и числа Пелли (m=2).

Далее Газале выводит из (1) следующее квадратное уравнение

x2 – mx – 1 = 0,

(3)

которое при m = 1 сводится к классическому «золотому» уравнению.

Будем называть положительный корень уравнения (3) обобщенным золотым сечением порядка m, которое задается следующей формулой:

(4)

Эта формула порождает бесконечное число «золотых констант» Косинова, так как каждому m соответствует своя константа. Но главным результатом Газале следует считать следующую замечательную формулу:

(5)

которая задает все обобщенные числа Фибоначчи, задаваемые (1), (2)

Следует отметить, что выведенная формула задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, подобных числам Фибоначчи, так как каждому m соответствует своя числовая последовательность. Некоторые из них приведены в таблице ниже:

Обобщенные числа Фибоначчи порядка m=1, 2, 3, 4

Заметим, что второй ряд этой таблицы (m=1) задает классические числа Фибоначчи, в то время как третий ряд (m=2) задает еще один замечательный числовой ряд, известный под названием числа Пелли.

Эта формула по праву может быть отнесена к разряду выдающихся математических формул наряду с формулами Эйлера, формулами Муавра, формулами Бине и т.д. Эта формула, которую я назвал формулой Газале, меня просто заворожила и натолкнула меня на новый научный результат, который был опубликован в статье [10].

5. Общая теория гиперболических функций

Основываясь на формуле Газале (5), в статье [10] я вывел следующие общие формулы, которые задают гиперболические функции Фибоначчи порядка

Гиперболический синус Фибоначчи порядка m

(6)

Гиперболический косинус Фибоначчи порядка m

(7)

Трудно вообразить, что количество новых гиперболических функций, задаваемых (6), (7), бесконечно, так как каждому m (m – положительное действительное число) соответствует свой вариант гиперболических функций. Новый класс гиперболических функций представляет собой фундаментальный интерес для гиперболической геометрии и теоретической физики и может привести к переосмысливанию «гиперболической геометрии Лобачевского» и «пространства Минковского» (гиперболической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна).

6. Заключение

Таким образом, в развитие своей статьи [4] я хотел бы сделать следующее заключение. В конце 20-го века сразу несколько ученых Вера Шпинадель (Аргентина), Мидхат Газале (Египет), Джей Каппрафф (США), Александр Татаренко и Николай Косинов (Россия), исследуя квадратное уравнение типа x² – mx — 1 = 0 независимо друг от друга пришли к открытию одного и того же класса числовых констант, которые они назвали по-разному: «металлические средние» («metallic means») или «металличческие пропорции» (Шпинадель), T_m-гармонии (Татаренко), «серебрянные пропорции» (Каппрафф), новые «золотые» константы (Косинов). Однако первая статья по новым числовым константам была опубликована в 1997 г. аргентинским математиком Верой Шпинадель [5], что, однако, не умаляет результатов других исследователей.

Что касается Международной энциклопедии Нейла Слоэна, в которой «патентуются» новые числовые константы, что сделал Николай Косинов, то, как вытекает из формулы (4), количество таких констант бесконечно (их столько же, сколько существует действительных чисел) и их невозможно даже перечислить, не то, что запатентовать. Поэтому патентование отдельных констант занятие бессмысленное, проще запатентовать эти константы в формульном виде (4). Но автором этой формулы Косинов не является. Скорее приоритет в выведении этой формулы мы должны приписать Шпинадель, Газале, Каппраффу или Татаренко, а если углубиться в историю математики, то первому математику, который решил простейшее квадратное уравнение.

1. Литература

• [1] Татаренко А.А. «Т_m — принцип» — всемирный закон гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12575, 10.11.2005
  http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320002.htm
  
• [2] Татаренко А.А. На пороге первого тысячелетия эры полигармонии Мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12658, 04.12.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320005.htm
  
• [3] Татаренко А.А. Золотые Тm – гармонии и Dm – фракталы — суть солитоно-подобного Тm – cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320010.htm
  
• [4] Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005
  http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm
  
• [5] Vera W. de Spinadel, On characterization of the onset to chaos. Chaos, Solitons and Fractals, vol. 8, Nr 10, pp. 1631-1643, 1997.
  
• [6] Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).
  
• [7] Kappraff Jay. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. World Scientific, 2001.
  
• [8] Kappraff Jay. Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth, and Number. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2002.
  
• [9] Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Russian translation, 2002).
  
• [10] А.П. Стахов, Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006
  http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm