Аннотация

Выявлено большое семейство чисел, которые имеют свойства, присущие золотой пропорции (Ф=1,618…). Эти числа являются константами целочисленных последовательностей, члены которых заданы рекуррентными соотношениями a(n)=±ka(n–1)±a(n–2). Золотая пропорция является одним из представителей найденного семейства. Предельное значение отношений соседних членов в таких последовательностях порождает две группы золотых констант, имеющих свойства золотой пропорции. К выявленному классу последовательностей принадлежат последовательности Фибоначчи и Люка. У найденных новых последовательностей открыты такие же законы и свойства, какими обладают числа Фибоначчи и числа Люка. Новые целочисленные последовательности зарегистрированы и внесены в международную энциклопедию Нейла Слоэна.

1. Введение

Принято считать, что золотая пропорция (Ф=1,618) была известна еще Пифагору (VI в. до н. э.). Есть мнение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Золотая пропорция присутствует в произведениях древнегреческих скульпторов. Обозначение «Ф» связано с именем Фидия – древнегреческого скульптора (5 в.до н.э.), в произведениях которого обнаружена золотая пропорция. Задача о золотом сечении пришла к нам из древних времен, — она описана в «Началах» Евклида. С золотой пропорцией связаны числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, открытые в 13-м веке знаменитым итальянским математиком Фибоначчи. Отношение соседних чисел Фибоначчи по мере удаления от начала последовательности в пределе стремится к золотой пропорции. В эпоху Возрождения возрос интерес к золотой пропорции среди ученых и художников. Лука Пачоли назвал ее «Божественной» и посвятил золотой пропорции восторженную книгу «Божественная пропорция». Считают, что прекрасные иллюстрации к книге были выполнены Леонардо да Винчи. В этой книге Лука Пачоли обожествил золотую пропорцию, сравнивал ее со Святой Троицей [4] и считал эту пропорцию «орудием мышления» и «принципом мира и природы». Вслед за Пачоли великий астроном ХVI в. Иоганн Кеплер свое восхищение золотым сечением выразил в словах: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в крайнем и среднем отношении…Первое можно сравнить с ценностью золота, второе больше напоминает драгоценный камень». Кеплер обратил внимание на проявление золотого сечения в растительном мире.

Французский математик Люка впервые назвал числовую последовательность1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…числами Фибоначчи и открыл новую, не менее фундаментальную последовательность 2, 1, 3, 4, 7, 11…, которая тоже связана с золотой пропорцией. Отношение соседних чисел Люка по мере удаления от начала последовательности в пределе стремится к золотой пропорции.

Последовательности чисел Фибоначчи F(n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… и чисел Люка: L(n)= 2, 1, 3, 4, 7, 11,… ученые все чаще встречают во многих явлениях окружающего мира. Это в значительной мере стимулирует интерес к золотой пропорции в настоящее время. В работе [3] мной установлено, что существует большой класс целочисленных последовательностей с однотипными свойствами, к которому принадлежат последовательности чисел Фибоначчи и Люка. Замечательной особенностью новых последовательностей является то, что константы целочисленных последовательностей этого класса обладают теми же свойствами, что и золотая пропорция. Для этого класса последовательностей справедлива обобщенная рекуррентная формула: a(n)=±ka(n–1)±a(n–2). Последовательности Фибоначчи и Люка представлены рекуррентной формулой a(n)=a(n–1)+a(n–2), которая является частным случаем рекуррентной формулы a(n)=ka(n–1)+a(n–2) при k =1.

С последовательностями Фибоначчи и Люка непосредственно связаны два числа: Ф=1,618… и φ =1/Ф=0,618... Они являются константами последовательностей Фибоначчи и Люка. Золотая пропорция (Ф=1,618) появляется как предел отношения соседних членов последовательности:

Золотое сечение (φ =0,618) появляется как предел отношения соседних членов последовательности:

.

Ниже представлены результаты исследований нового класса целочисленных последовательностей.

формате PDF (337Кб)