Примерно так может начинаться современное изложение апокалипсиса и крушение некогда целого, символизируемого единицей и связанной с нею золотой пропорцией...

Возникновение понятия, которое сегодня именуется золотым сечением (ЗС), а точнее – золотым отношением (golden ratio), исторически связано с пропорцией (отношениями) частей объекта, процесса или величины, которые обычно отражаются в категории некоторого целого и представляются единицей. Это придает математической константе ЗС четкую обоснованность, ясное понимание и геометрическое толкование.

Размышляя над воззрениями древнегреческого философа Протагора, можно сказать, что по отношению к общему единичное является мерой всех вещей.

Хотя в оригинале: «Человек есть мера всех вещей: существующих, что они существуют, и не существующих, что они не существуют» (Платон, «Теэтет», 152а).

При всех элементах софизма не следует забывать, что именно Протагор образовал дискуссионное поле и наметил полемические тональности Сократу, Платону, Аристотелю и многим другим великим мыслителям.

Начало физической единичности – материя.

Числовая единица – абстракция в чистом виде.

Не все единичные вещи возникают необходимо, некоторые происходят случайно.

Единичные вещи могут быть ничтожны.

Но все они потенциально бесконечны. Как незримое воплощение Логоса...

1. В одном из диспутов ненавязчиво прозвучала весьма показательная и "дальнобойная" реплика Ю.Н. Забродоцкого: «Что за наука, если Ф∙ф = 1 и то же как Ф – ф = 1. Умножение и вычитание дают одинаковый результат. Правильно так: Ф∙ф = 1²… Здесь нет никакой философии. Только констатация ложной аксиоматики даже в математике».

Примечание: Ф = ф^–1 – константа золотой пропорции.

2. Или другой "единичный" аспект, затронутый им на страницах АТ в статье с любопытным дидактическим названием «Слепым в назидание зрячим» [1]:

«Она <единица> нигде не заканчивается, ибо 1 = 1/1/1/1/... = 1∙1∙1∙1∙... Также, когда она минус единица».

Замечательно. – Немного слов, но с глубинным смыслом. Изменяется рефракция, усиливается дальнозоркость: «и слепой увидит <единицу> сквозь мрак и туман» (Ис. 29:18).

В основном, подмечено правильно. Только с минус единицей подобные вещи не столь очевидны и авансом не проходят!

Так, бесконечное произведение ряда чисел определяется как предел частичных произведений, и называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю.

Произведение «минус единиц» поочередно принимает значения ± 1, поэтому ряд не имеет предела в виде конечного значения и, следовательно, расходится.

То есть, в обычном понимании бесконечное произведение не равно ±1:

c = (–1)∙(–1)∙(–1)∙(–1)∙... ≠ ±1,

в отличие, например, от бесконечно-растущего возведения в степень (–1)^(–1)… = –1.

Тем не менее, расходящемуся ряду можно и весьма полезно назначить-присвоить (!) некоторое конкретное число [2]. Для этого в математике разработаны специальные методы регуляризации (Р.Абель, С.Рамануджан и др.), которые используются при решении физических задач. Суть регуляризации – "приручить" бесконечность и назначить-соотнести расходящемуся ряду определенное фиксированное значение.

Регуляризация бесконечного произведения «минус единиц» дает ноль!

Нестрогое доказательство

c: = (–1)∙ c → c = – c → c = 0 (R).

Присвоение нулевого значения математически обоснованно, представляется вполне ожидаемым и разумным, поскольку является средней величиной из двух значений ±1, которые принимает ряд частичных произведений.

То же самое относится и к бесконечному делению «минус единиц».

Как говорил некогда футбольный комментатор, матч закончился со счетом "два – ноль": там ноль, и там ноль.

Или как отмечает сам автор [1]: «По первым слогам РАЗделить-УМмножить, можно образовать понятие РАЗУМ».

С простой арифметической параллелью: если убить убийцу, количество убийц (Y) не изменится (У.Черчиль) или "Y – 1 ≡ Y".

По первой части Забродоцкого, дабы не попадать в изощренный капкан, на который способна великая и многоликая единица, необходимо четко размежевывать сопоставление-уравнивание абстрактно-числовых выражений и величин, имеющих размерность, как в физике и/или геометрии.

Обычно это видно из контекста и специально не оговаривается.

а) Найти два <безразмерных> числа x и y такие, что x∙y = 1 и x – y = 1.

Решая уравнение x² – x – 1 = 0, получаем два пары чисел (x, y): (Ф, ф) и (–ф, –Ф).

Более того, единицу можно заменить любым положительным числом m:

x∙y = x – y = m – (то есть "умножение и вычитание дают одинаковый результат m").

Тогда x² – mx – m = 0, откуда следует бесчисленное множество других решений, но уже отличающихся от золотой константы. Некоторые склонны считать данную операцию «обобщением золотого сечения (ЗС)». Увы, ошибочно и неразумно. Константа ЗС – единственна и неповторима в безбрежном океане всевозможных пропорций и сечений.

б) Для физических величин (например, в метрах) x∙y ≠ x – y, то есть м² ≠ м.

Чтобы их как-то сравнивать, разность можно возвести в квадрат, и рассматривать равновеликие фигуры: прямоугольник размером x×y и квадрат со стороной x–y.

Итак, найти две <размерные> величины x > 0 и y > 0 такие, что x∙y = 1 и (x – y)² = 1.

Решая уравнение x⁴ – 3x² + 1 = 0, получаем пару величин (Ф, ф) > 0, но уже с принятой физической размерностью.

Как видим, математическая аксиоматика выдерживает испытание.

формате PDF (984Кб)