Исследуются новые грани константы золотого сечения Ф в её необычном проявлении в двух функциональных уравнениях.

Одна из них связана с простейшей двучленно-аддитивной рекурсией с неоднородной частью. Другая грань открывается в функциональном уравнении ассоциативности общего вида в области комплексных чисел. Когда не важен порядок выполнения операций суммирования и умножения. Всё это вместе позволяет утверждать о важной роли золотой пропорции в синтезе-формировании природных живых систем. Она имеет формообразующий характер и вплетена в алгоритмы построения-развития синтезируемых живых объектов.

Но мы по-прежнему далеки от мысли, что золотое сечение (ЗС) представляет и/или олицетворяет некий закон красоты, мистическую тайну, подлинную загадку, божественность, научный феномен, этический принцип, гармонию природы и прочие подобные гуманитарные нарративы. С раздутым мифом о его надуманных проявлениях в изобразительном искусстве, литературе, музыке, архитектуре и т.п., безосновательно вкрапляя ЗС во что угодно и как угодно.

Вступление. Продолжаем начатую рубрику «Золотого калейдоскопа» [1], объединяющую разноплановые проявления золотой пропорции, в основе которой лежит уникальная числовая константа Ф = (1+√5)/2.

Калейдоскоп – это не только игрушка, в которой разноцветные кусочки стекла многократно отражаются в трех зеркалах и воссоздают тем самым красивейшие узоры.

Это и воспоминания незабываемого детства с его сказочно-очаровательным взглядом на мир.

Ну, и конечно обстоятельная математика. Ибо описание теоретически возможных калейдоскопов равносильно описанию многоугольников <многогранников> Кокстера, <двугранные> углы которых являются целыми частями π [2]. Хорошо известна незаурядная научно-популярная книга «Математический калейдоскоп» [3] польского математика Гуго Штейнгауза с её главной задачей – сделать математику видимой (иллюстрированной) и более понятной. Хотя в серьезной математической литературе вместо термина "калейдоскоп" говорят: дискретная группа, порожденная отражениями.

Во второй части нашего калейдоскопа новой блестящей гранью константы золотой пропорции Ф становится её неожиданное проявление в функциональном уравнении ассоциативности общего вида.

Но сначала несколько слов о математических понятиях функционального уравнения и свойствах ассоциативности.

Функциональное уравнение в математике выражает связь между значениями функции в разных точках.

Многие свойства такой функции как раз и определяются функциональным уравнением.

Данный термин обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость обычно обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые функции от них.

формате PDF (770Кб)