|
Посвящается светлой памяти нашего товарища и друга Григория Яковлевича Мартыненко (14 февраля 1936, с. Акимовка Запорожской области УССР — 5 апреля 2019, Санкт-Петербург), доктора филологических наук, профессор кафедры математической лингвистики Филологического факультета Санкт-Петербургского государственного университета; исследователя золотого сечения и гармонических последовательностей чисел Фибоначчи, Люка и др., числовой гармонии текстов художественной литературы (романов, рассказов, сонет и др.), популяризатора и исполнителя, русских и украинских песен и романсов, лауреата Международных конкурсов русского романса.
Труды Г. Я. Мартынеко и монографии «История математико-гармонических представлений: от Пифагора до наших дней» (2016), «Методы математической лингвистики в стилистических исследованиях» (2019) и другие, являются значительными вкладами в историю математической теории гармонии и математической лингвистики. По инициативе и под редакцией Г. Я. Мартынеко в Санкт-Петербургским государственном университете выпущена серия авторских словарей выдающихся русских писателей.
Аннотация: Тождество Кассини – одно из замечательных свойств последовательностей рекуррентных чисел Фибоначчи и др. Его исследованиям посвящены работы многих авторов. В статье рассмотрены гиперболических функций и их взаимосвязи с тождествами последовательностей чисел Фибоначчи и Якобсталя. Из полученных результатов обратим внимание на впервые полученные рекуррентные последовательности гиперболических функций. Эти последовательности позволяют по-новому решить ряд задач математической теории гармонии в науке и технике и др.
Ключевые слова: Числа Фибоначчи, Люка, числа Пелля, числа Пелля-Люка, числа Якобсталя, числа Люка-Якобсталя, золотое сечение, гиперболические функции.
Содержание
Введение
1. Тождество Кассини последовательности чисел Фибоначчи
2. Тождество Кассини обобщенных последовательностей чисел Фибоначчи
3. Тождество Кассини последовательности чисел Якобсталя
4. Взаимосвязь последовательностей чисел Якобсталя и Фибоначчи
Заключение
Литература
Введение
Тождество Кассини – одно из замечательных свойств последовательностей рекуррент- ных чисел Фибоначчи и др. Тождество было установлено в 1680 году Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории и доказано Робертом Симсоном в 1753 году и обобщено в 1879 году Эжен Каталани [1].
Cвойствам тождества Кассини посвящены многие работы современных исследователей числовых последовательностей, в которых рассмотрены как общие сведения о тождества, так и обобщения тождества для последовательности чисел Фибоначчи и Люка [2 – 5]. В работах Г. Я. Мартыненко приведены обобщения тождества Кассини для зеркальной симметрии чисел Фибоначчи и Люка [6, 7]. Связь тождества Кассини-Каталани с гиперболическими функциями рассмотрена в работе [8]. Аналогия основного уравнения передачи лестничных электрических цепей и тождества Кассини и установлена в работах [9, 10, 11]. Обратим внимание, что установление аналогии тождества и уравнения передачи электрических цепей произошло более чем через триста лет после появления тождества Кассини в 1680 г. Здесь можно выразить удивление столь запоздалому открытию. Такое запоздалое открытие аналогии можно объяснить только тем, что исследователи «золотого сечения» ничего не ведали о развивающейся новой науке того времени – электрической связи, где уже на начальном этапе было установлено фундаментальное условие теории гармонии электрических цепей – согласованость, основу которой составляет «золотое сечение» («золотая пропорция») В то же время исследователи электрической связи ничего не ведали о «золотом сечении». Поэтому такое открытие произошло только с появлением работ по электрическим моделям гармонических последовательностей чисел Фибоначчи, Люка и др. [12, 13, 14].
Настоящая статья посвящена анализу тождества Кассини последовательностей чисел Фибоначчи и его взаимосвязи с последовательностями обобщенных чисел Фибоначчи, взаимосвязи чисел Фибоначчи и Якобсталя и гиперболическими функциями.