Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Дискуссии

С.Л. Василенко
О фантазиях вокруг фибоначчиевой темы

Oб авторе


Аннотация. Конспективно рассмотрена систематика последовательностей Фибоначчи и золотого сечения с примерами современных фантазий в данной области.


Фантазии непозволительно быть ложью.

Станислав Ежи Лец


Вступление.

Людям свойственны фантазии как особый, удивительный дар человека.

Они безмерны и безграничны в своем проявлении, во многом обогащает познавательную деятельность. По Канту формируют репродуктивную, продуктивную и трансцендентальную функции воображения.

Фантазии играют существенную роль в познании, являясь связующим звеном между чувственным восприятием и рассудочностью.

Без фантазий нет науки… Они сродни творческой поисковой деятельности, стремлению к новизне, необычным и заранее непредсказуемым результатам. Плюс мотив самовыражения и желание самоутверждения.

Тем не менее, научные фантазии, в отличие от безудержных аналогов, должны хоть как-то соприкасаться с действительностью, "дружить" со здравым смыслом и не отрываться далеко от реальности. При этом педантичное соблюдение установленных правил и/или ортодоксально-неукоснительное следование доминирующим воззрениям необязательно и даже вредит.

Всё новое рождается на стыке культур и научных областей, разных точек зрения и подходов. Так, ещё в античные времена строили правильный пятиугольник, а открыли геометрическое деление геометрического отрезка в крайнем и среднем отношении (золотую пропорцию). В древности исследовали развитие популяции кроликов и получили знаменитые числа Фибоначчи, основанные на двучленно-суммирующей рекурсии.


Систематика Фибоначчи и золотое сечение (ЗС).

Числовые ряды Фибоначчи рекуррентного вида gn = gn–1 + gn–2 = g1·Fn + g0·Fn–1 с произвольными начальными условиями g0, g1 (не равными одновременно нулю) тесно связаны с иррациональной константой золотого сечения Ф предельным соотношением

lim n→∞ gn/gn–1 = Ф = (√5 + 1)/2 ≈ 1,618;

Ф–1 = ф = (√5 – 1)/2 ≈ 0,618;,

где Fn – числа Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ….

Числа Фибоначчи и золотое сечение нашли применение в разных разделах прикладной математики.

Их широкое присутствие в окружающем мире и других науках остается под вопросом, несмотря на изобилие разного рода материалов.

Пока можно уверенно говорить о распространении ЗС в живых организмах (биологических образованиях) с их структурированием на основе поворотной симметрии пятого порядка.

Близким геометрическим аналогом здесь могут служить мозаики Пенроуза – непериодические разбиения плоскости на ряд геометрических фигур с отсутствием трансляционной симметрии (параллельных переносов), которые связаны с пентаграммой и золотым сечением.

Отличительная особенность мозаик состоит в наличии одного единственного центра вращения пятого порядка. Наподобие центра развития из яйцеклетки. При этом исходные геометрические формы дополняются правилами сочетаний, которые гарантируют отсутствие периодичности. Другой особенностью является повторяемость или самоподобие, когда любой сколь угодно большой фрагмент встречается в мозаике бесконечное число раз, но через неравные расстояния.

Такие свойства позволяет живому объекту сохранять живучесть-подвижность и не закостенеть как кристаллам, в которых не может осей симметрии порядка 5 или выше 6.

В неживой природе, архитектуре, искусстве говорить о строгом наличии ЗС не приходится. С таким же успехом могут быть иные закономерности, в своём выражении близкие к константе ЗС.

Возникает типичный случай возможного ситуативного выбора [1]: квазиЗС – модель, в основе которой лежит вполне конкретное число, близкое к константе золотой пропорции; псевдоЗС – модель, в основу которой нарочито искусственно и бездоказательно внедряется золотая пропорция. Это своего рода научная стерилизация ЗС, как процесс освобождения учения о золотой пропорции от всякого рода домыслов и фальсификаций.

В первом случае числа имеют четкое математическое происхождение (обоснование), и по своему значению весьма мало отличаются от констант ЗС.

Второй случай характеризует состояние, когда в модель нарочито и без должной аргументации насаждается ЗС. Он ближе всего к психотропному восприятию окружающего мира: повсеместно видеть отголоски навязчивой идеи, в данном случае, признаков золотой пропорции. Многие настойчиво стремятся отыскать ЗС во всём, что характеризуется числами между 1,5 и 2. Мы не против этого. Только, вынося подобные утверждения на всеобщее обозрение, следует упомянуть, что это только предположения, догадки и/или гипотезы.

Такая постановка вопроса обычно дополняется словами: возможно, вероятно, наверно, не исключено и т.п. Ведь нет гарантии, что мыслимая пропорциональность по золотому сечению на самом деле окажется совсем другой: близкой по значению, но отличной по происхождению, смыслу. В противном случае рождаются новоявленные мифы, небылицы, но только не научные ресурсы и новые знания.

Это даже не заблуждение, что вполне допустимо в науке. Это несколько хуже и ближе к понятию "фальсификации результатов". Таким способом реализуется искусственная подгонка результатов под заранее спланированную модель. То есть фактически дезинформация. О корректности говорить не приходится.

В стилистический ряд квази-псевдо-ЗС заложена следующая смысловая теза научного подхода: «Хочется верить, но нет оснований». Слова "нет оснований" означают, что вопрос изучен слабо. А результаты исследования показывают отсутствие обоснованных аргументов, чтобы доверять первоначальным гипотезам-утверждениям.


Формула Бине.

Вместо утомительных расчетов по рекуррентным равенствам часто можно вывести аналитические соотношения, в которых переменной является только порядковый номер элементов числовой последовательности.

Для чисел Фибоначчи таковой является формула Бине Fn = [Фn – (–ф)n]/√5, которая приведена в его диссертации по интегрированию линейных уравнений с конечными разностями (1843), а ранее была получена де Муавром (1718) и Эйлером (1765).

Числа Фибоначчи описываются линейным разностным (возвратным) уравнением второго порядка Fn = Fn–1 + Fn–2 с характеристическим квадратным уравнением x2 = x + 1, корни которого λ1,2 выражаются константами золотого сечения: λ1 = Ф, λ2 = –ф = –Ф–1.

Корни различны λ1 ≠ λ2, поэтому решение разностного уравнения Фибоначчи находится в явном виде через целые степени n этих корней Fn = αФn + βφn, где константы α и β определяются из начальных условий F0 = 0, F1 = 1: α + β = 0 и α – β = 2/√5.

Отсюда получаем α = 1/√5, β = –1/√5 или Fn = [Фn – (–ф)n]/√5.

Другая пара начальных условий (2, 1) дает равенство α = β = 1 и приводит к числам Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... с аналитической формулой Ln = Фn + (–ф)n.

Довольно несложно и доказательно.

Но человек просто не может удержаться и не пофантазировать.

Так, в недавней работе [2] автор демонстрирует собственные формы

√5 = [Фn – (–ф)n]/Fn и 1 = [Фn + (–ф)n]/Ln,

и на 4 страницах показывает их справедливость для значений n = 1÷5, откуда делает вывод об их правильности для любых n. Хотя поди знай, а вдруг после n ≥ 100 всё нарушится.

Понятно, что набор частных примеров не может служить доказательством, и как минимум следует применять метод математической индукции. Собственно и доказывать здесь ничего не надо, поскольку авторские формы являются элементарным преобразованием уже готовой и многократно раз проверенной формулы Бине.

Всё бы ничего. Но полет фантазии способен будоражить умонастроение, устремляя мысль за неизведанные горизонты. Вдаль от реалий нашей грешной земли...


Деление на ноль…

Записав формулу Бине Fn = [Фn – (–ф)n]/√5 в форме √5 = [Фn – (–ф)n]/Fn, которая справедлива только для Fn, ≠ 0, автор применяет её при n = F0 = 0 и конечно приходит к несуразице 0/0 = √5 – «разность нулевых степеней большой и малой классической золотой константы, делится на ноль с результатом корня из пяти» [2].

Что сказать на этот счет? – Имеет место распространенный математический софизм (уловка) – неверное утверждение, полученное в результате рассуждений, которые лишь внешне кажутся правильными, но в действительности содержат принципиальную ошибку.

В данном случае деление на ноль, которое и приводит к абсурдным заключениям.

Например, пусть a, b – произвольные числа. c = ab.

Умножим их разность c = ab на себя же: c·(ab) = (ab)2.

Или после преобразования a·(ab c) = b·(ab c).

Выполнив запрещенное сокращение (деление) на ноль (ab c) = 0, получаем бессмыслицу a = b, то есть все числа равны.

Авторский софизм 0/0 = √5 можно продемонстрировать на других рекуррентных последовательностях с начальными условиями f0 = 0, f1 = 1, соответствующими характеристическими уравнениями от x и их корнями λ1,2:


fn+2 = 2·fn+1 + fn, x2 = 2·x + 1, λ1,2 = 1 ± √2,

fn = (λ1n – λ1n)/√8 → (λ1n – λ1n)/fn = √8, 0/0 = √8;


fn+2 = fn+1 + 2·fn, x2 = x + 2, λ1,2 = 2, –1,

fn = (2n – (–1)n)/3 → (2n – (–1)n)/fn = 3, 0/0 = 3;


fn+2 = 4·fn+1 + fn, x2 = 4·x + 1, λ1,2 = 2 ± √5,

fn = (λ1n – λ1n)/(2·√5) → (λ1n – λ1n)/fn = 2·√5, 0/0 = 2·√5.


К слову, последний ряд выражается через числа Фибоначчи fn = F3n/2.

Как видно, применяемый софизм [2] через деление на ноль приводит к ложному уравниванию совершенно разных чисел:

0/0 = √5 =√8 = 3 = 2·√5 = …


Бесконечность…

Как категория человеческого мышления, бесконечность характеризует безграничные, беспредельные, неисчерпаемые предметы и явления, для которых невозможно указать границы или количественную меру.

Бесконечность в математике – это не число, а специальный математический символ ∞ текстового типа. Также как стрелка, точка и т.п.

Бесконечность буквально означает "отсутствие конца", "неограниченность". Это условная величина, которая больше любого наперед заданного значения. Используется для вычисления пределов, чаще конечных, исчисляемых, для суммирования рядов и др.

Например, бесконечная сумма геометрической прогрессии (c < 1) дает конечный результат 1 + c + c2 + c3 + … = (1 – с)–1.

В частности, для констант золотого сечения 1 + ф +ф2 + ф3 + … = Ф2 = 1 + Ф.

Бесконечность – не есть число, поэтому операции типа [2] ∞n/0 = ∞n+1, 1/0n = ∞n, 0·∞n+1 = ∞n не имеют смысла. В теории множеств сопоставимые бесконечные множества различают по их мощности и определению трансфинитных ординалов.

Многие математические выражения могут содержать неопределенности вида ∞/∞ или 0/0, которые в ряде случаев раскрываются и дают вещественные числа, например, по правилу Лопиталя.

Двучленно-аддитивные последовательности Фибоначчи gn+1 = gn + gn–1 с парой произвольных начальных условий g0, g1 приводят с ростом n к неограниченному возрастанию их элементов и неопределенности отношения соседних членов gn+1/gn = ∞/∞, которая сравнительно легко разрешается с использованием формулы Бине и в пределе n→∞ дает золотую константу Ф.

Достоверно неизвестно кто, но ученые мужи ещё до Муавра (1718) обнаружили в числах Фибоначчи (1202 г.) то, что сегодня называется «золотым сечением».

Логика их рассуждений могла базироваться на решениях квадратных уравнений, известных со времен античности, примерно в такой современной трактовке.

Разделим исходное уравнение рекурсии на gn

gn+1/gn = 1 + gn–1/gn.

При больших значениях n отношения gn+1/gn, gn/gn–1 становятся практически неразличимыми. Обозначив их через x, получаем равенство x = 1 + 1/x или x2 = x + 1 с положительным корнем x = (1 + √5)/2 = Ф – константой золотого сечения.

Исходных предположений о "затравочных" числах g0, g1 не было, следовательно, они могут быть произвольными, за исключением формирования нулевой последовательности при g0 = g1 = 0.


Целостность.

В работе [2] речь идет об иррациональности и целостности чисел Фибоначчи.

Якобы корень из пяти «является функцией от Ф2 и (√2)2 , т.е. основывается на константах Ф и √2» и «трансформирует иррациональные (?) значения чисел Фибоначчи в традиционные классические привычные целые числа Фибоначчи» [3].

Заметим, что корень √5 не является функцией, а выражается посредством тождества. Кроме того, константа Ф вычисляется через √5, то есть √5 определяется через самоё себя. Да и корень √2 здесь явно излишний, поскольку возводится в квадрат.

Числа Фибоначчи – целые и были открыты в обычной «штучно-кроличьей» метрике.

Присутствие корня из пяти в аналитической формуле Бине не дает оснований для рассуждений о некоей иррациональной природе чисел Фибоначчи.

Часто сложение иррациональных чисел дает целые числа. Равно как и произведение, например, 4 = 2·2 = 2 + 2 = (√5 – 1)(√5 + 1).

Само понятие целостности чисел [2] в математике отсутствует.

Но есть область целостности – коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, и без делителей нуля [4, с. 78].

Так, кольцо целых чисел является областью целостности. Всякое поле есть областью целостности. В то же время не является областью целостности, например, кольцо четных целых чисел, поскольку оно не содержит единицы.

Примечательно, что нулевое кольцо – это единственное кольцо, в котором нуль равен единице! – Одна из форм мира математических объектов, существующая независимо от сознания познающих её субъектов. Она подтверждает возможность существования символически-метафорического тождества "0 ≡ 1", как универсальная неортодоксальная формула Бога [5] или обобщенная модель функционирования божественного универсума, невидимого и неосязаемого (0) абсолюта (1).


Гармоничный и гармонический.

Эти слова относятся к гармонии, но составляют пару паронимов, то есть сходны по звучанию и морфемному составу, но различаются лексическим значением.

Гармонический ряд, диссонанс, гармоническое построение, гармонические колебания и т.п. Как специальные термины, понятия, которые можно описать средствами математики.

Гармоничный голос, тембр, человек, гармоничная личность, фигура, музыка и др. Имеют отношение к предметам и явлениям, обладающим согласованностью, слаженностью и взаимным соответствием разных качеств.

Деление отрезка или разложение числа c на два слагаемых c = a + b в геометрической пропорции с/a = a/b называется золотым сечением (ЗС) и является гармоническим делением.

Отсюда среднее геометрическое (в математике) a = √(c·b). Хотя оно не обязательно относится к ЗС. Например, высота любого прямоугольного треугольника является средним геометрическим двух отрезков, на которые она разбивает гипотенузу.

В работе [6, с. 8] автор ошибочно отмечает, что «понятие "гармонические числа" в Википедии отсутствует» и строит собственный «гармонический ряд чисел, расположенных в порядке возрастания: √4 , √5 , √8 , √13 , …, √(n2+4)». В их основе лежат радикалы в значениях корней λ1,2 = [n ± √(n2 + 4)]/2 квадратного уравнения x2n·x – 1 = 0, которые провозглашаются обобщением (?) золотой пропорции – одного из знаковых заблуждений адептов ЗС.

В действительности гармонические числа известны давно, изучаются со времен античности: гармоническое n-е число (harmonic number) [7] – сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n.

Гармонические числа – частичные суммы бесконечного гармонического ряда.

Термин обязан свойству скрипичной струны: извлекаемая из nгармоника – это основной тон, производимый струной длиной 1/n от длины исходной струны. При этом каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.


О современной мифологии ЗС.

В своем проявлении золоте сечение уникально и единственно, со своими математическими константами Ф, ф = Ф–1.

Никакому обобщению не подлежит!

Всякие p-, s- обобщенные золотые сечения – не более чем терминологически-бессодержательные и надуманные словоблудия, ибо по логической цепочке их "создателей" золотыми становятся вещественные корни практически всех полиномов n-го порядка, что изначально алогично и псевдонаучно. Нечто из современной мифологии

ЗС – «есть целое, неизменно остающееся одним и тем же, и строго тем же, соединяющим свои родные части. Отношения же частей внутри него всегда универсально. Поэтому ЗС всегда остается одинаковым для каждой из частей» [8].

Естественно некорректными являются такие словесные образования [6]: нулевая и бесконечная золотая пропорция (с. 15), золотые пропорции (большие и малые) и т.п.

В литературе часто встречаются утверждения, что ЗС – некое высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей, универсальное проявление структурной гармонии, критерий гармонии и красоты и проч.

Конечно, ЗС имеет ряд замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных, с желанием подгонки под нужный результат [9]. Достаточно привести пример со спиралью раковин моллюсков, которая якобы с каждой четвертью оборота становится шире в Ф раз. В действительности каждая раковина имеет свою форму из множества логарифмических (изогональных) спиралей с отличительным радиус-вектором в полярных координатах r = a·ebθ.

Такие категории как система, структура, целое отражают отношения между совокупностью предметов, их элементов и связей, которые редко сводятся к двум аддитивным составляющим, как в золотой пропорции.

«Золотосеченцы заваливают Интернет статьями, в которых стараются быть умнее ЗС. Но нельзя быть умнее своих книг. А они очень стараются быть умнее ЗС, хотя их статьи в большинстве своем выглядят результатом искусственного зачатия. Они лишены созидательной энергии… Математический аппарат ЗС довольно примитивный, а его влияние на развитие науки ничтожно» [8]. – Суждение резкое и небесспорное, но в целом недалеко от истины. Рьяным адептам ЗС остается приписывать не существующее, отвергать очевидное, преувеличивать имеющееся. – Elephantem ex muscafacis…

И с обидой надувать губы перед оппонентами…


Литература:

  1. Василенко С.Л. Квазизолотая пропорция в структурированных системах // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 16054, 30.08.2010. – trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161694.htm.
  2. Шенягин В.П. Иррациональность и целостность чисел Фибоначчи и Люка // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 27580, 23.01.2022. – trinitas.ru/rus/doc/0232/009b/02321322.htm.
  3. Шенягин В.П. Корень из пяти и закон согласия // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ. 20349, 13.03.2015. – trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/00162443.htm.
  4. Ларин С.В. Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля: учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Юрайт, 2018. – 160 с.
  5. Василенко С.Л. Неортодоксальная метафорическая формула Бога и парадоксы веры // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 26837, 17.12.2020. –trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00164571.htm.
  6. Шенягин В.П. Рациональная и иррациональная составляющие золотых пропорций. М.: АТ, Ин-т золотого сечения, 2014. – 67 с. – trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321289.htm.
  7. Harmonic number. – From Wikipedia, the free encyclopedia. – en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number.
  8. Белянин В.С. Эссе на тему золотого сечения // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 21.08.2011. – artmatlab.ru/assets/img/articles/ac37/ezs.pdf.
  9. Де Касто В. Золотой стандарт. – СПб.: Страта, 2016. – 140 с.



С.Л. Василенко, О фантазиях вокруг фибоначчиевой темы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.27604, 01.02.2022

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru