|
|
С.Л. Василенко
Аннотация.
В статье систематизированы вопросы, связанные с использованием матричного исчисления в общей тематике золотого сечения. Представлены рекуренты, 3-диагональные матрицы, континуанты, перманенты и др. На основе матричного подхода показана бессодержательность и терминологическая безграмотность «обобщенных золотых сечений».
Одним безразличны ортогональные
квадраты, другим – матрицы Адамара.
Матрица все зеркала обманывает.
В своей основе статья имеет обзорно-аналитический характер.
Матрица (лат. matrix первопричина, matricis матка) – широкое понятие. Рассматривается как источник и начало, образец и модель, штамп и шаблон.
В математике прямоугольная таблица, в программировании двумерный массив и.т.д.
Известны словесные образы, например аксиома всеобщности [1]: вода – матрица жизненных свойств, универсальная структурно-постоянная часть живой природы. Всеобщий элемент жизни, основа жизненных процессов в биосфере. Одним словом, матрица.
Некоторые авторы (С.Петухов и др.) даже полагают, что «многие реализации золотого сечения в живой и неживой природе связаны именно с матричной сущностью и матричным представлением золотого сечения» [2]. – Не беремся судить. При большом желании в любом утверждении можно найти логические двоично-бинарные элементы истины (1) и лжи (0).
Матрицы являются важным инструментом в различных разделах математики.
Вместе с тем матричное представление – слабо освещаемая форма. Хотя с точки зрения машинно-вычислительной реализации, во многих случаях именно матрицы дают наиболее рациональные решения, которые оптимально используют время и память ЭВМ, расширяясь на любую гомогенную линейную последовательность.
В частности, известно матричное тождество для чисел Фибоначчи, которое приводит Д.Кнут [3, с. 112]: (Fn+1, Fn; Fn, Fn–1) = (1, 1; 1, 0)n.
В работах [4, 5] рассмотрена матрица золотого сечения G10 – симметричная квадратная матрица 10-го порядка, содержащая только элементы ±1 и Ф–1. С ней тесно связаны составленные из чисел ±1 квадратные матрицы Белевича (с ортогональными столбцами) и Адамара (с нулевой диагональю), расширяя в целом представление о модульно двухуровневых квазиортогональных матрицах Мерсенна и Эйлера.
Золотое сечение возникает в задаче пропорционального деления <единичного> целого на две непересекающиеся части. Целое и его части уравновешиваются согласно пропорции 1 / b = b / (1 – b), образуя уникальную геометрическую прогрессию 1, b, b2 с аддитивным свойством 1 = b + b2, где b – большая часть целого.
Числа Фибоначчи и золотое сечение – разные математические объекты, но органично связаны и взаимно дополняют друг друга. Их объединяет двучленно-аддитивная рекурсия Fn = Fn–1 + Fn–2 с её характеристическим квадратным уравнением x2 = x + 1, положительный корень которого равен константе золотого сечения Ф = 1 / b = (1 + √5) / 2.
Эти объекты можно изучать самостоятельно.
Однако их матричные вариации целесообразнее исследовать совместно, логико-методологическим методом дедукции, от общего к частному. – Начиная с общего представления линейных рекурсий, теория которых разработана достаточно хорошо.
Полный текст доступен в формате PDF (905Кб)
С.Л. Василенко, Матричные формы последовательностей Фибоначчи и золотого сечения // «Академия Тринитаризма», М.,
 |