Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Дискуссии

А.П. Стахов
Мордухай-Болтовский о «золотом сечении» в «Началах» Евклида

Oб авторе


Комментарий выдающегося историка математики Мордухай-Болтовского, переводчика «Начал» Евклида на русский язык и его комментатора, звучит следующим образом:

«Теперь посмотрим, какое место занимает золотое сечение в Началах Евклида. Прежде всего, нужно отметить, что оно встречается в двух формах, разница между которыми почти неощутима для нас, но была очень существенной в глазах греческого математика VI–V веков до н. э. Первая форма, прототип которой мы видели в Египте, является в Книге II «Начал», а именно в Предложении 11 вместе с вводящими его предложениями 5 и 6; здесь золотое сечение определяется как такое, в котором квадрат, построенный на большем отрезке, равняется прямоугольнику на всей прямой и меньшем отрезке. Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему – и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен Евдокса. Интересно отметить, что предложениям 5, 6 и 11 книги II соответствуют предложения 27, 28 и 30 – шестой. Затем, предложения 5 и 6 книги II разорвали связь между предложениями 4 и 7, соответствующим нашим формулам квадратов суммы и разности; «та же фигура», о которой упоминается в предложении 7, строится в 4-м.

В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1–5 и во второй – в предложениях 8–10. Правда, в формулировке и тексте доказательства 1–5 предложений встречаются слова «в крайнем и среднем отношении», в доказательствах есть некоторые следы пользования пропорциями, но при внимательном чтении нетрудно заметить, что все эти места не связаны органически с общим текстом и легко из него могут быть исключены; все доказательство по существу ведётся, исходя из равенства на большем отрезке прямоугольнику ... Более того, предложение 2 книги XIII по существу равнозначно геометрическому построению предложения 11 книги II.

Все это позволяет думать, что предложения 4, 7, 8 книги II и предложения 1–5 книги XIII представляют остатки одного из самых древних в истории греческой геометрии документов, восходящего, по всей вероятности, к первой половине V века и возникшего в пифагорейской школе на основании того материала, который был привезен из Египта. Сравнительную древность этого документа можно установить из того обстоятельства, что предложения 4 и 7 книги II служат в ней для доказательства обобщенной теоремы Пифагора [квадрат стороны против острого и тупого угла (предложения 12 и 13 книги II)], которая, несомненно, была известна Гиппократу Хиосскому ... Несмотря на то, что первые пять предложений книги XIII составляют одно целое с рядом предложений книги II , нужно отметить, что при непосредственном использовании предложений книги II (в особенности предложения 11, которое и даёт построение золотого сечения) доказательства были бы в отдельных случаях значительно проще»

Мы можем сделать следующие выводы из этого комментария:

1. Во-первых, в «Началах» Евклида имеется не одна (Предложение II.11), а, по крайней мере, две различные формулировки задачи о «золотом сечении». Приведем ещё раз цитату Мордухай-Болтовского: «Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему – и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен Евдокса». И далее: «В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1–5 и во второй – в предложениях 8–10». То есть, Евклид широко использует в своих «Началах» как первую форму (Предложение II.11 и предложения 1–5 книги XIII), так и вторую форму как представление золотого сечения в виде пропорции (предложение 3 книги VI и предложения 8–10 книги XIII).

3. В задаче о золотом сечении Мордухай-Болтовский видит «египетский след» и явно намекает на Пифагора, который, по преданию, 22 года провел в Египте и привез оттуда огромное количество египетских математических знаний, включая теорему Пифагора и золотое сечение. Отсюда вытекает, что Мордухай-Болтовский не сомневался в том, что не только Евклид, но и Пифагор (а отсюда следует, что и Платон, который был пифагорейцем), а также и древние египтяне знали о золотом сечении и широко его использовали.


Высказывания Алексея Лосева и Иоганна Кеплера.

Какая главная идея лежала в основе древнегреческой науки? Подавляющее число исследователей дают следующий ответ: идея Гармонии, связанная с «золотым сечением». Как известно, в древнегреческой философии Гармония противостояла Хаосу и означала организованность Вселенной, Космоса. Выдающийся русский философ Алексей Лосев, исследователь эстетики античности и эпохи Возрождения, так оценивает основные достижения древних греков в этой области:

«Космос античным мыслителям периода зрелой классики представляется не просто некоей отвлеченной неопределенностью, (в таком случае он был бы только чистой мыслью), но совершенно живым и единораздельным телом, содержащим в себе нерушимую цельность, несмотря на бесконечные различия всех его проявлений. С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения (то есть, целое относится в нем к большей части, как большая часть к меньшей). Этому закону, кстати сказать, древние греки подчиняли и свои архитектурные сооружения. Их систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

В этом высказывании Алексей Лосев достаточно убедительно сформулировал «золотую» парадигму античной космологии. В ее основе лежат важнейшие идеи античной науки, которые в современной науке иногда трактуются как «курьезный результат безудержной и дикой фантазии». Прежде всего – это пифагорейская идея о числовой гармонии мироздания и космология Платона, основанная на Платоновых телах. Обратившись к геометрической структуре мироздания и арифметическим отношениям, выражающим гармонию, пифагорейцы предвосхитили возникновение математического естествознания, которое начало стремительно развиваться в 20-м веке. Идея Пифагора и Платона о всеобщей гармонии мироздания оказалась бессмертной.

Таким образом, в центре созданного древними греками математического учения о природе стояла «концепция гармонии», а сама математика древних греков и была «математикой гармонии» (“the mathematics of harmony”), которая непосредственно связана с золотым сечением - важнейшим математическим открытием античной науки в области гармонии.

А вот еще одно широко известное высказывание, касающееся золотого сечения. Оно принадлежит гениальному астроному Иоганну Кеплеру, автору трех знаменитых «Законов Кеплера». Свое восхищение золотым сечением Кеплер выразил в следующих словах:

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Напомним, что, согласно Мордухай-Болтовскому, старинная «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которая упоминается в этом высказывании, – это и есть знаменитое золотое сечение!

Я считаю, что какой-либо анализ «золотого сечения» в «Началах» Евклида необходимо проводить с учетом мнений Мордухай-Болтовского, Иоганна Кеплера и Алексея Лосева.


А.П. Стахов, Мордухай-Болтовский о «золотом сечении» в «Началах» Евклида // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.18131, 14.08.2013

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru