Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого Сечения - Дискуссии

Н.Ф. Семенюта
Еще немного о соотношении Кассини

Oб авторе


Троичная связь чисел Фибоначчи Fn = Fn-2 + Fn–1 изначально объединяет их в рекуррентную последовательность:


F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7  F8 F9…,

1,  1,  2,  3,  5, 8, 13, 21, 34…          (1)


с начальными числами F1 = 1 и F2 = 1.

Более сложную троичную связь чисел последовательности Фибоначчи (1), установил в 1680 г. французский астроном Жан-Доменик Кассини:


F2п Fп-1Fп + 1 = (–1)п+1          (2)


или соответственно для нечетных и четных членов:


F22n-1F2n-2F2n = +1, F22nF2n-1F2n + 1 = –1.          (3)


Для последовательности Фибоначчи с начальными числами F1 = 1 и F2 = 2


F1 F2 F3 F4 F5 F6  F7  F8 F9…,

1,  2,  3,  5,  8, 13, 21. 34 55          (4)


соотношение типа Кассини имеет вид:


F2пFп-1Fп + 1 = (–1)п           (5)


или соответственно для нечетных и четных членов:


F22n-1 F2n-2F2n = –1, F22nF2n-1F2n + 1 = +1.          (6)


За счет изменения начальных чисел последовательности (4) произошла смена знаков разности (6) по сравнению с (3).

Для последовательности чисел Люка Ln = Ln-2 + Ln–1 с начальные числами L1 = 1 и L2 = 3

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7  L8 L9 …,

1   3  4   7  11 18 29 47 76 …,          (7)


соотношение типа Кассини имеет вид


L2n Ln-1Lп + 1 = (–5)п           (8)


или соответственно для нечетных и четных членов


L22n-1L2n-2L2n = – 5, L22n L2n-1L2n + 1 = 5.          (9)


Соотношение Кассини привлекало умы многих исследователей и ученых прошлых лет и наших современников. Так в работе [1, 2, 3] приведены общие сведения о соотношении Кассини, в [4, 5, 6] выполнено обобщение соотношения Кассини для последовательности чисел Фибоначчи и Люка, в [7] установлена связь соотношения Кассини и уравнения передачи электрических цепей.

При исследовании гармонических пропорций в электрических цепях и моделях, возник вопрос, – почему Кассини рассмотрел только случай разности F2пFп-1Fп + 1, а случай суммы F2п + Fп-1Fп+1, выпал из поля зрения как Кассини, так и других исследователей рекуррентных последовательностей чисел (может я ошибаюсь?) [8, 9]. Почему это произошло автору неизвестно. Как и неизвестно происхождение соотношения Кассини (2). Поэтому было выполнено исследование свойств суммы F2п + Fп-1Fп+1 для последовательностей (1), (4) и L2n + Ln-1Ln+1 для последовательности (7).


Полный текст доступен в формате PDF (78Кб)


Н.Ф. Семенюта, Еще немного о соотношении Кассини // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.18105, 16.07.2013

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru