Троичная связь чисел Фибоначчи F_n = F_n-2 + F_n–1 изначально объединяет их в рекуррентную последовательность:

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇  F₈ F₉…,

1,  1,  2,  3,  5, 8, 13, 21, 34…          (1)

с начальными числами F₁ = 1 и F₂ = 1.

Более сложную троичную связь чисел последовательности Фибоначчи (1), установил в 1680 г. французский астроном Жан-Доменик Кассини:

F²_п – F_п-1F_{п + 1} = (–1)^п+1          (2)

или соответственно для нечетных и четных членов:

F²_2n-1– F_2n-2F_2n = +1, F²_2n – F_2n-1F_{2n + 1} = –1.          (3)

Для последовательности Фибоначчи с начальными числами F₁ = 1 и F₂ = 2

F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆  F₇  F₈ F₉…,

1,  2,  3,  5,  8, 13, 21. 34 55          (4)

соотношение типа Кассини имеет вид:

F²_п – F_п-1F_{п + 1} = (–1)^п           (5)

или соответственно для нечетных и четных членов:

F²_2n-1 – F_2n-2F_2n = –1, F²_2n – F_2n-1F_{2n + 1} = +1.          (6)

За счет изменения начальных чисел последовательности (4) произошла смена знаков разности (6) по сравнению с (3).

Для последовательности чисел Люка L_n = L_n-2 + L_n–1 с начальные числами L₁ = 1 и L₂ = 3

L₁ L₂ L₃ L₄ L₅ L₆ L₇  L₈ L₉ …,

1   3  4   7  11 18 29 47 76 …,          (7)

соотношение типа Кассини имеет вид

L²_n – L_n-1L_{п + 1} = (–5)^п           (8)

или соответственно для нечетных и четных членов

L²_2n-1 – L_2n-2L_2n = – 5, L²_2n – L_2n-1L_{2n + 1} = 5.          (9)

Соотношение Кассини привлекало умы многих исследователей и ученых прошлых лет и наших современников. Так в работе [1, 2, 3] приведены общие сведения о соотношении Кассини, в [4, 5, 6] выполнено обобщение соотношения Кассини для последовательности чисел Фибоначчи и Люка, в [7] установлена связь соотношения Кассини и уравнения передачи электрических цепей.

При исследовании гармонических пропорций в электрических цепях и моделях, возник вопрос, – почему Кассини рассмотрел только случай разности F²_п – F_п-1F_{п + 1}, а случай суммы F²_п + F_п-1F_п+1, выпал из поля зрения как Кассини, так и других исследователей рекуррентных последовательностей чисел (может я ошибаюсь?) [8, 9]. Почему это произошло автору неизвестно. Как и неизвестно происхождение соотношения Кассини (2). Поэтому было выполнено исследование свойств суммы F²_п + F_п-1F_п+1 для последовательностей (1), (4) и L²_n + L_n-1L_n+1 для последовательности (7).

формате PDF (78Кб)