|
Введение
В лекции «Математические проблемы", представленной на 2-м Международном конгрессе математиков (Париж, 1900), выдающийся математик Давид Гильберт (1862-1943) сформулировал свои знаменитые 23 математические проблемы, которые в значительной степени определили развитие математики в 20-м веке [1 - 6].
Цель настоящей статьи – обсудить роль «теории чисел Фибоначчи» [7, 8] и «математики гармонии» [9] при решении 10-й и 4-й проблем Гильберта.
Десятая проблема Гильберта
В 1970 г. советский математик Юрий Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта [3,4]. Мы не будем рассматривать существо этого достаточно сложного решения, но в то же время остановимся на оценке роли «теории чисел Фибоначчи» в решении этой задачи, данной самим Матиясевичем. В одной из своих публикаций Матиясевич написал:
«Мое оригинальное доказательство ... основывалось на теореме, доказанной в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым, но опубликованной только в третьем расширенном издании его популярной книги.... После того, как я прочитал статью Джулии Робинзон, я сразу же увидел, что теорема Воробьева может быть очень полезной. Джулия Робинзон не видела 3-го издания книги Воробьева до тех пор, пока она не получила копию от меня в 1970 г. Кто мог сказать, что бы случилось, если бы Воробьев включил свою теорему в первое издание своей книги? Возможно, что 10-я проблема Гильберта была решена на десять лет раньше!»
В развитие вопроса Юрия Матиясевича, мы вправе поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 в.? Возможно, 10-я проблема Гильберта не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является важным математическим результатом, но все же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Еще в 1202 г. он опубликовал книгу “Liber abaci”, в которой ввел новую числовую последовательность - числа Фибоначчи.
Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем – 10-й проблемы Гильберта – получено с использованием «теории чисел Фибоначчи»! И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как «теорию чисел Фибоначчи» [7, 8], так и «математику гармонии» [9], которая является развитием и обобщением современной “теории чисел Фибоначчи».
История четвертой проблемы Гильберта
Естественно, что Гильберт не мог пройти мимо нерешенных математических проблем, связанных с неевклидовой геометрией. В качестве геометрий, наиболее близких к евклидовой геометрии, Гильберт называет геометрию Лобачевского (гиперболическую геометрию) и геометрию Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Гильберт формулирует так: «Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии».
Детальный анализ всех попыток решения 4-й проблемы Гильберта дан в статье «Еще раз о 4-й проблеме Гильберта» [10], автором которой является известный российский математик доктор физико-математических наук Самуил Арансон. Арансон подчеркивает, что решением 4-й проблемы Гильберта занимались многие математики.
История вопроса о научных результатах, относящихся к 4-ой проблеме Гильберта, на русском языке подробно изложена в статье И.М. Яглома «К четвёртой проблеме Гильберта», опубликованной в сборнике «Проблемы Гильберта» [11] (эта книга в дальнейшем была переиздана), а также в статье американского геометра Г. Буземана [12].
Первым вкладом в решение этой проблемы считается диссертация немецкого математика Гамеля, защищённая в 1901 г. под руководством Гильберта (на русском языке результаты Гамеля и комментарии к нему читатель может найти в вышеуказанных статьях Г.Буземана и И.М. Яглома). Как указано в этих статьях, «работа Гамеля, разумеется, не исчерпала всего, что можно сказать о четвёртой проблеме Гильберта, другие подходы к которой неоднократно предлагались и позже».
Таким образом, из этого замечания вытекает важный вывод, что существуют и другие подходы к решению 4-й проблемы Гильберта.
Большие усилия в решении 4-й проблемы Гильберта были сделаны советским математиком академиком А.В. Погореловым (1919 - 2002), который написал книгу «Четвертая проблема Гильберта» [13]. Аннотация к книге А.В. Погорелова гласит следующее:
«Книга содержит решение известной проблемы Гильберта об определении всех с точностью до изоморфизма реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского, эллиптической), если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и пополнить эти системы аксиомой «неравенство треугольника». Книга рассчитана на студентов-геометров старших курсов, аспирантов и научных работников».
К сожалению, мировое математическое сообщество не восприняло в полной мере решение, полученнное А.В. Погореловым, в качестве окончательного решения 4-й проблемы Гильберта, что отражено в статье Арансона [10] и в статьях на эту тему, выставленных в Википедии [1,2,5,6]. Любопытно сравнить статьи в Википедии, посвященные десятой [3] и четвертой [5] проблемам Гильберта. В статье [3], четко отмечается, что «доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году», то есть, приоритет в решении этой сложнейшей математической проблемы однозначно приписывется Юрию Матиясевичу. В статье [5] подобного категорического утверждения по поводу решения 4-й проблемы Гамелем, Погореловым или кем-либо другим не содержится, хотя и имеется ссылка на книгу А.В. Погорелова [13].
Любопытно, что в статье [5] содержится ссылка на статью Самуила Арансона [10], в которой дается критический анализ решения Погорелова [13]. Уместно привести цитату из статьи Арансона [10]:
«Погорелов выбрасывает аксиому конгруэнтности углов, заменяя её аксиомой неравенства треугольника: «длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон». В случае такой замены для каждой из этих геометрий аксиома конгруэнтности углов становится ТЕОРЕМОЙ, если реализовывать геометрии Евклида, Лобачевского или Римана. В противном случае, система аксиом Погорелова не может удовлетворять трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.
После фактического доказательства этой теоремы, каким бы изящным методом она не получена, состоящей в реализации этих аксиом, автоматически восстанавливаются все прежние системы аксиом для геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана. В этом, как нам кажется, и состоит вклад Погорелова в четвёртую проблему Гильберта, и, следовательно, то что он сделал, не есть полное решение четвёртой проблемы Гильберта».