Золотые рекурсии. В общем случае рекурсия – метод определения класса объектов или способы предварительного задания одного или нескольких (обычно простых) его базовых случаев с последующим заданием на их основе правила построения определяемого класса, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи.

Другими словами, рекурсия – способ общего определения объекта или действия через себя с использованием ранее заданных частных определений, – самоподобие задачи.

Из классического квадратичного тождества Ф² – Ф – 1 = 0 непосредственно следуют рекурсивные представления константы золотого сечения Ф в виде бесконечного вложенного радикала и бесконечной непрерывной (цепной) дроби, которые состоят только из единиц:
     (1)

Кроме прочего, данные формы представляют собой экзотическую запись простейших итерационных процедур.

Выберем некоторое ограниченное число a, в общем случае комплексное.

Выполним многократно любую из рекурсий (n – шаг итераций):

По мере выполнения данных операций величина a → Ф.

Можно дать художественно-символическую образную оценку.

Бесконечно вложенный радикал напоминает русскую матрёшку.

Ну, а бесконечная дробь походит на спуск в некую числовую преисподнюю.

Там уже нет места целым и рациональным числам-образованиям, и царят сплошные радикалы, иррациональности и трансцендентности.

формате PDF (299Кб)