Введение

Часть I. Теория ЛМФ

Глава 1. Логика и формальная математика

Глава 2. Физическая математика

Глава 3. Основания физической теории

Глава 4. Границы физического мира. Обобщённые физические законы

Часть II. Принцип золотого сечения

Глава 5. Принцип золотого сечения и числа Фибоначчи

Глава 6. Принцип золотого сечения в природе и искусстве

Глава 7. “Золотая” смесь

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

Заключение. Теория ЛМФ и ОТЗС: основные положения, формулы, графики

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

8.1. Экспоненциальная форма числа ф

8.2. Вывод известных соотношений

8.3. Числа ф, F_n, L_n, гиперболические и тригонометрические функции

8.4. Экспоненциальное обобщение золотого сечения

8.5. Начальные сведения о семействе золотых чисел

8.6. Основные формулы обобщённой теории

8.7. Экспонента, периоды и закон Бенфорда

8.8 . Обобщённый закон Бенфорда

8.9. Формула Леви и семейство золотых чисел

8.10. Дополнения и выводы

8.11. Константа да Винчи

8.12. Итоги

Глава 8. Обобщённая теория золотого сечения

Завершив в предыдущих трёх главах Части II анализ и рассмотрение всевозможных граней многоликой константы ф, можно наконец приступить к решению основной задачи – построению ОТЗС как приложения теории ЛМФ. Известно, что всякая математическая величина, особенно значимая, имеет как правило множество различных представлений, удобных для использования в тех или иных контекстах. Число ф выступало в предыдущих главах в самых разных обличьях: десятичная непериодическая дробь и цепная дробь, составленная из одних единиц; конечное выражение, содержащее радикал, и бесконечная последовательность радикалов; предел отношения целых положительных или отрицательных чисел Фибоначчи, Люка и комплексных рядов, построенных в соответствии с правилом третьего члена; пропорции, фигурирующие в геометрических фигурах разной степени сложности – от отрезков золотого сечения до магической пентаграммы и логарифмической спирали, от золотых треугольников и ромбов до додекаэдра и икосаэдра платоновской космологии…

Многообразие способов представления выделенной числовой величины в математике практически неограниченно, но могут ли все они считаться формально равноправными и теоретически одинаково значимыми? Запись любого числа это его представление посредством других чисел (например, натуральных чисел и нуля в десятичной или цепной дроби) либо каких-то математических конструктов и операций (функциональные уравнения, к примеру) либо тех и других (определённый интеграл, составленный из подынтегральной функции, нижнего и верхнего числовых пределов). Весь вопрос в том, насколько фундаментальны те элементы и операции, через которые выражается данное число. С этой точки зрения высшей, так сказать, формой представления важнейшей фундаментальной константы, нуля, являются аксиомы М₅ и М₆ . Для ФМК первого ранга это система функциональных уравнений Е . Для остальных величин, включая константу ф, наиболее значимым является представление посредством материнских функций экспоненты и логарифма и ФМК нулевого и первого рангов. Следовательно, теперь перед нами стоит задача построения нетрадиционной математической теории золотого сечения (ОТЗС) как ответвления теории ЛМФ, приложения свойств материнских функций экспоненты и логарифма .

8.1. Экспоненциальная форма числа ф

В иерархии чисел, согласно сказанному в части первой, число ф есть константа второго ранга . Отсюда следует, что при всей важности всех остальных форм записи числа ф, играющих неоценимую роль в понимании принципа золотого сечения в науке, природе и искусстве, фундаментальной должна всё же считаться простейшая экспоненциально-логарифмическая, ψ-α-форма представления константы ф посредством ФМК. Конечно, с косвенными свидетельствами существования глубокой внутренней связи между числом золотого сечения и ФМК мы сталкивались фактически уже неоднократно. Для наглядности перечислим их все:

• обобщение (5.8.10) формулы Бине и чисел Фибоначчи на случай произвольных действительных и комплексных чисел посредством функции косинуса
• экспоненциальная связь (5.9.35) и (5.9.36) между составленными из чисел Фибоначчи и Люка бесконечными рядами F₁ + F₂х + F₃х² + … и L₁ + L₂х/2 + L₃х²/3 + …
• золотая логарифмическая спираль , все характеристики которой могут быть выведены как свойства материнской ψ-функции
• логарифмический закон распределения (7.1.3) , или в общем случае (7.2.3) , которому с очень хорошей статистической точностью соответствует распределение первых знаков членов ряда Фибоначчи
• формулы (7.10.6–7.10.9) , связывающие посредством арктангенса величины обратные числам Фибоначчи (а также Люка) друг с другом или с константами πи ф
• формула (7.10.10) , выражающая F_k через константу i и биномиальные коэффициенты
• аналогия между квадратным уравнением (5.2.1) для числа ф и трансцендентным уравнением (2.7.6) для функции Ламберта W(z) , относящая константу W(1) к разряду чисел “типа золотого сечения”
• логарифмическая форма размерностей Хаусдорфа для различных фракталов, включая золотые
• особые точки, в частности точки перегиба , экспоненциальной функции определённого типа, составленной из одних только проточисел
• соотношения Рамануджана (7.10.13–7.10.15) , содержащие ф в одной связке с константами е, π, 2
• е-i-2-преобразования (синус, косинус, секанс, косеканс) числа π, разделенного на пять или десять частей, точнее чисел типа n∙π/10
• соотношения (таблица 7.12.3) , содержащие логарифмическую и тригонометрические функции, константы 2, i, ф
• тригонометрическая, не содержащая к тому же константы ф, форма представления (7.12.4) формулы Бине

формате PDF (2029Кб)