«Элементарная теория чисел», описанная в «Началах» Евклида, начинается с Евклидового определения натурального числа, которое порождает как сами натуральные числа, так и всю проблематику их теории. В настоящей работе предлагается обоснование «золотой» теории чисел, основанной на системе Бергмана и его обобщении – кодах золотой пропорции. Одним из важных результатов такого исследования является обнаружение новых способов позиционного двоичного представления натуральных чисел, названных F- и L-кодами. Эти коды могут привести к созданию новой компьютерной арифметики.

1.Введение

Как известно, одним из важнейших начальных разделов математики является элементарная теории чисел. Если возвратиться к истокам элементарной теории чисел, которая берет свое начало в математике древних греков, то мы увидим, что она начинается со следующего определения натурального числа, основанного на геометрическом подходе и описанного в «Началах» Евклида.

Пусть

S = {1, 1, 1, …} (1)

представляет собой бесконечное множество геометрических отрезков, называемых «монадами» или единицами. Тогда согласно Евклиду натуральное число N определяется следующим образом:

(2)

Несмотря на кажущуюся простоту такого определения, оно сыграло огромную роль в развитии теории чисел и лежит в основе многих полезных математических понятий, в частности, понятий простого и составного числа, умножения, деления, а также понятий делимости и сравнения, которые являются одними из основных понятий элементарной теории чисел, то есть, определение (2) «порождает» как сами натуральные числа, так и всю проблематику их теории.

Любопытно подчеркнуть, что в информатике определение (2) широко используется как простейший способ представления натуральных чисел. Оно имеет прямое отношение к так называемому «унитарному коду».

В статье из Википедии [1] мы находим следующее определение «элементарной теории чисел:

«В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу».

Любопытно, что в этом определении числа Фибоначчи отнесены к «элементарной теории чисел». По-видимому, «золотое сечение» также относится к этому же разделу математики, но при этом новые результаты, основанные на «золотом сечении» и описанные в работах [2-8], могут привести к переосмысливанию элементарной теории чисел.

Настоящая статья является продолжением статьи [6] и в развитие статьи [2] ставит своей задачей дать обоснование новой («золотой») теории чисел.

формате PDF (288Кб)