|
Ответы на эти вопросы содержится в комментарии Мордухай-Болтовского, авторитет которого не вызывает сомнений (у меня, по крайней мере):
«Теперь посмотрим, какое место занимает золотое сечение в «Началах» Евклида. Прежде всего, нужно отметить, что оно встречается в двух формах, разница между которыми почти неощутима для нас, но была очень существенной в глазах греческого математика V-VI-го веков до н.э. Первая форма, прототип которого мы видели в Египте, является в Книге II «Начал», а именно в Предложении 11 вместе с вводящими его предложениями 5 и 6; здесь золотое сечение определяется как такое, в котором квадрат, построенный на большем отрезке, равняется прямоугольнику на всей прямой и меньшем отрезке. Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему - и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен только со времен Евдокса. Интересно отметить, что предложениям 5, 6 и 11 книги II соответствуют предложения 27, 28 и 30 – шестой. Затем, предложения 5 и 6 книги II разорвали связь между предложениями 4 и 7, соответствующим нашим формулам квадратов суммы и разности; «та же фигура», о которой упоминается в предложении 7, строится в 4-м.
В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1-5 и во второй – в предложениях 8-10. Правда в формулировке и тексте доказательства 1-5 предложений встречаются слова «в крайнем и среднем отношении», в доказательствах есть некоторые следы пользования пропорциями, но при внимательном чтении нетрудно заметить, что все эти места не связаны органически с общим текстом и легко из него могут быть исключены; все доказательство по существу ведется исходя из равенства на большем отрезке прямоугольнику ... Более того, предложение 2 книги XIII по существу равнозначно геометрическому построению предложения 11 книги II.
Все это позволяет думать, что предложения 4, 7, 8 книги II и предложения 1-5 книги XIII представляют остатки одного из самых древних в истории греческой геометрии документов, восходящего по всей вероятности к первой половине V века и возникшего в пифагорейской школе на основании того материала, который был привезен из Египта. Сравнительную древность этого документа можно установить из того обстоятельства, что предложения 4 и 7 книги II служат в ней для доказательства обобщенной теоремы Пифагора [квадрат стороны против острого и тупого угла (предложения 12 и 13 книги II)], которая, несомненно, была известна Гиппократу Хиосскому ... Несмотря на то, что первые пять предложений книги XIII составляют одно целое с рядом предложений книги II , нужно отметить, что при непосредственном использовании предложений книги II (в особенности предложения 11, которое и дает построение золотого сечения) доказательства были бы в отдельных случаях значительно проще»
Мы можем сделать следующие выводы из этих комментариев:
1. Однозначный ответ на первый вопрос: «деление отрезка в крайнем и среднем отношении» и «золотое сечение» - это одна и та же задача! Так что Виктор Белянин не прав, утверждая обратное!
2. Второе, в «Началах» Евклида имеется не одна (Предложение II.11), а, по крайней мере, две различные формулировки задачи о «золотом сечении». Цитирую Мордухай-Болтовского: «Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией – как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему - и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен только со времен Евдокса». И далее: «В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1-5 и во второй – в предложениях 8-10». То есть, Евклид широко использует в своих «Началах» как первую форму (Предложение II.11 и предложения 1-5 книги XIII), так и вторую форму как представление золотого сечения в виде пропорции (предложение 3 книги VI и предложения 8-10 книги XIII).
3. Цитата Мордухай-Болтовского ставит жирную точку в споре о том – знали ли Пифагор и Платон о «золотом сечении? В задаче о «золотом сечении» Мордухай-Болтовский видит «египетский след» и явно намекает на Пифагора, который 22 года провел в Египте и привез оттуда огромное количество египетских математических знаний, включая «теорему Пифагора» и «золотое сечение». Отсюда вытекает, что Мордухай-Болтовский не сомневался в том, что не только Евклид, но и Пифагор (а отсюда следует, что и Платон, который был пифагорейцем), а также и древние египтяне знали о «золотом сечении» и широко его использовали (вспомним о «Пирамиде Хеопса», «панелях Хеси-Ра» и др.).
Теперь о формулировке Предложения II.11 (или Теоремы II.11). В своих работах я использую формулировку, приведенную в книге канадского математика Roger Herz-Fishler “A Mathematical History of the Golden Number” (1998). Эта книга является наиболее известным в мире источником информации по математической истории «золотого сечения». В этой книге на с. 8 Теорема II.11 приведена в следующей редакции:
Theorem II.11 (the area formulation of DEMR). To divide a line AB into two segments, a larger one AH and a smaller one HB, so that S(AH) = R(AB, BH).
Если теперь учесть, что S(AH) – это площадь квадрата, построенного на стороне AH, то есть большей стороне, а R(AB, BH) – это площадь прямоугольника со сторонами AB и BH, то указанную выше Теорему II.11 можно перевести на русский язык следующим образом:
Теорема II. 11. Данную прямую разделить на две неравные части АС и СВ так, чтобы площадь квадрата, построенного на большем отрезке АС, равнялась бы площади прямоугольника, построенного на отрезке АВ и меньшем отрезке СВ.
Именно так я перевел текст Теоремы II.11 из упомянутой книги.
Я, конечно, не знаю, из какого из 31 «первоисточников» Евклида Roger Herz-Fishler взял именно такую формулировку Теоремы II.11, но вполне уместно предположить, что в одном из них эта теорема сформулирована именно в таком виде, который не совпадает с русским переводом «Начал Евклида».
Хочу обратить внимание на то, что Roger Herz-Fishler использует слово «Теорема» вместо слова «Предложение» (суть задачи от этого не меняется). Возникает вопрос, какая разница между «теоремой» и «предложением? В Википедии читаем: «В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены ... Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами». Так что разницы между «теоремой» и «предложением» по существу нет. Roger Herz-Fishler использовал название Теорема II.11, поскольку он считал это предложение достаточно важным утверждением (с точки зрения «золотого сечения»).
Кстати, Roger Herz-Fishler утверждает, что в «Началах Евклида» имеется 84 теоремы (или предложения), имеющие отношение к «золотому сечению»! На этом основании мы можем сделать вывод, что «золотое сечение» буквально пронизывает «Начала Евклида» от 1-й до 13-й книги!
Если мы соглашаемся с этим фактом и учтем замечание наиболее авторитетного в мире историка математики Ван-дер-Вардена о том, что «Начала Евклида» на 2/3 состоят из результатов пифагорейцев, то это дает нам все основания признать, что Пифагор, пифагорейцы и Платон (который считал себя пифагорейцем) знали «золотое сечение» и широко его использовали! Об этом, по существу, говорит и Мордухай-Болтовский в своих комментариях, намекая на «египетский след» при обсуждении «предложений» или «теорем», связанных с «золотым сечением». И знание о «золотом сечении» Пифагор привез из Египта вместе с другими геометрическими знаниями.
А если учесть «гипотезу Прокла» об истинных целях, которые преследовал Евклид при написании своих «Начал» (создание завершенной теории «Платоновых тел»), то становится ясным, зачем Евклид ввел «золотое сечение» уде в Книге II, а затем многократно возвращается к нему в последующих книгах, включая Книгу XII. А ввел он эту задачу с единственной целью – построить геометрическую теорию додекаэдра, гранями которого являются пентагоны! И из «гипотезы Прокла» вытекает еще один необычный вывод: «Начала» Евклида являются исторически первой «Математической Теорией Гармонии Мироздания», которая ассоциировалась у древних греков с «Платоновыми телами».
Комментируя пространные рассуждения моего оппонента по поводу «Начал» Евклида, хочу отметить, что мне эти рассуждения показались неубедительными. Сначала кажется, что «измышлизмы» оппонента имеют какой-то смысл, тем более что оппонент пытается демонстрировать глубочайшие знания «Начал» Евклида, но, когда статью дочитываешь до конца, перестаешь понимать, что же хочет сказать мой оппонент в своем очередном опусе. То есть это опять очередная порция «квазинауки», которая не привносит ничего нового в «теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения».
В названии этой заметки поставлены два вопроса. Абсолютно неясно, как оппонент отвечает на эти вопросы в своем опусе. Если оппонент придерживается мнения Виктора Белянина о том, что «деление отрезка в крайнем и среднем отношении» и «золотое сечение» - разные задачи, то он выступает против мнения всего мирового научного сообщества на эту проблему, в частности, против мнения Мордухай-Болтовского. Если оппонент придерживается «учения Белянина-Радзюкевича» о том, что Пифагор, Платон и все пифагорейцы не ведали о «золотом сечении», то абсолютно непонятно, как «золотое сечение» попало в «Начала» Евклида и как объяснить фразу Мордухай-Болтовского о том, что «золотое сечение могло быть известным только со времен Евдокса».
Как известно, великий геометр Евдокс Книдский жил в период с 408 до н. э. до 355 до н. э., то есть, он был современником Платона (427 до н. э.,— 347 до н. э.,). Как сообщается в Википедии, он учился математике у пифагорейца Архита в Италии, затем присоединился к школе Платона в Афинах. Мордухай-Болтовский приписывает Евдоксу знание «золотого сечения». Но неужели Евдокс не рассказал Платону о «золотом сечении», когда он присоединился к Платоновой Академии?
Я обращаюсь к моему оппоненту с просьбой не тиражировать глупости, высказанные в свое время Беляниным и Радзюкевичем с единственной целью – попиариться на «золотом сечении».