Оглавление

Введение

1.Основы унификации элементарной математики для инженеров-исследователей

1.1.Анализ основ построения современной тригонометрии

1.2.Тригонометрическое представление средних двух положительных чисел

1.3.Систематизация представления средних двух положительных чисел в алгебраическом и геометрическом видах

1.4.Взаимосвязь теоремы Пифагора и квадратных уравнений со средними двух положительных чисел и возвратными последовательностями

1.5.Доказательство наличия взаимных переходов между квадратными уравнениями и тригонометрическими функциями

1.6.Учет изменений тригонометрических функций с изменением угла от 0 до 360

1.7.Упрощение тригонометрических функций с единичным радиусом-вектором

1.8.Основы унификации математических моделей для кривых второго порядка

1.9.О возможности и целесообразности увеличения числа средних величин в инженерно-исследовательской деятельности ...

Выводы

2.Место «золотого» сечения в элементарной математике

2.1.«Золотое» сечение и последовательность Фибоначчи в алгебре

«Золотые» геометрические прогрессии

2.1.1.Анализ одного из подходов к образованию «золотой» геометрической прогрессии

Уточнение уравнений для «золотой» геометрической прогрессии

Специфичность основного свойства «золотой» геометрической прогрессии

2.1.2.Взаимосвязь «золотой» геометрической прогрессии с последовательностями Фибоначчи и Люка. Последовательности типа Фибоначчи-Люка

2.1.3.Матричные аналогии в представлении последовательностей типа Фибоначчи-Люка и «золотой» геометрической прогрессии в их взаимосвязи

Матричная форма представления последовательности Фибоначчи

Матричная форма представления последовательности Люка

2.1.4.Пропорции и последовательности Фибоначчи-Барра

2.1.5.Пропорции и последовательности Фибоначчи-Пойа

Раскрытие математического смысла пропорций и последовательностей Фибоначчи-Пойа

Прикладные аспекты квадратов суммы и разности членов бинома с учетом их гармоничности сочетаний и взаимосвязи с пропорциями Фибоначчи-Пойа и «металлическими» пропорциями

Обобщение пропорций Фибоначчи-Пойа с учетом числа слагаемых и интервалов между ними

Раскрытие физического смысла пропорций Фибоначчи-Пойа на примере моделирования равнонадежных состояний для физических систем исходя из теоремы Мура и Шеннона

2.1.6.Пропорции и последовательности Фибоначчи-Падована

2.1.7.Место «золотого» сечения в «металлических» пропорциях

Образование базовых "металлических" пропорций

Расширение системы "металлических" пропорций и их взаимосвязь с корнями квадратных уравнений

2.1.8.Обобщение вурфовых зависимостей и место в них «золотых» вурфов

2.2.Проявление «золотой» пропорции в алгебраических аналогиях с тригонометрическими функциями

2.3.Анализ «золотых» гиперболических функций и подходов к их получению

Математика есть способ называть разные вещи одним именем.

А. Пуанкаре

ВВЕДЕНИЕ

На суд читателя выносится своеобразная и в достаточной степени простая обобщающая математическая теория алгебраических аналогий с тригонометрическими функциями, где неожиданно находит свое место и вездесущая «золотая» пропорция («золотое» сечение), тысячелетиями увязываемая с эстетическим критерием красоты, надежностью, простотой и гармоничностью соотношения частей в едином (целом). Но ведь и математики довольно часто используют эстетический критерий оценки математических результатов, о чем замечательный польский математик Гуго Штейнгауз пишет: «Это красивая теория» - говорят они». Однако красиво то, что понятно. Изящный результат должен быть достаточно общим, чтобы его можно было применить к известным, а не специально придуманным примерам, и в то же время не столь общим, чтобы стать тривиальным. Именно таким качеством – соразмерностью общности и не тривиальности – обладают естественные, то есть продиктованные самой природой теории» [1].

Обладая возможностью качественного описания основных процессов и функциональных зависимостей для объектов исследования из областей культуры, экономики, логистики и построения телекоммуникационных систем, оказывается, что не всегда известные их концептуальные модели возможно инженерами–исследователями адекватно увязать с математическими моделями. Причина в том, что эти модели приобретают довольно сложную форму, трудно сопрягаются между собой из-за различий в описании разнородных физических процессов или не могут быть получены вообще из-за слабой структурированности. Следовательно, возникает необходимость поиска возможностей не только для унификации элементарной математики, но и одновременного отыскания наличия скрытых математических форм в их единстве и с учетом взаимосвязей индивидуальных оттенков, при моделировании конкретных физических процессов и систем в инженерно-исследовательской деятельности (ИИД).

В первом разделе книги, в результате анализа основ построения современной тригонометрии, дополнительного учета в теореме Виета одного из важных математических свойств и тригонометрического представления для средних двух положительных чисел, закладываются основы унификации элементарной математики для инженеров-исследователей. После доказательство наличия взаимных переходов между квадратными уравнениями и тригонометрическими функциями закладываются основы унификации математических моделей (ММ) для кривых второго порядка, а так же рассматривается возможность и целесообразность увеличения числа средних величин для ИИД.

Во втором разделе продолжена унификация элементарной математики, но только с акцентом внимания на исследование места и роли в современной математике наиболее часто встречаемых ММ при анализе и синтезе различного рода процессов и систем в природе, которые принято называть «золотым» сечением («золотой» пропорцией) и последовательностью Фибоначчи.

Оказывается, что в результате уточнения и унификации ММ в теориях линейных электрических цепей (ЛЭЦ), нелинейной фильтрации и электросвязи, прикладная «золотая» математика позволяет анализировать и синтезировать элементы телекоммуникационных сетей (ТКС) с учетом, соответственно, однородности сред и различий между видами модуляции, что подтверждается в полученных автором следующих частных научных результатах:

- унификация ММ для различных видов модуляции [2,3,4,5];

- моделирование линий с распределенными параметрами [6,7];

- моделирование переходных и импульсных характеристик бинарных последовательных электрических цепей [6];

- моделирование изменения тока и собственных частот двухконтурных электрических цепей [2];

- построение переходной характеристики двухзвенной цепочки Вина;

- моделирование многозвенных LC - фильтров [2,6];

- построение двухзвенных фильтров верхних и нижних частот (ФВЧ и ФНЧ), исследование взаимосвязей в сложных фильтрах m-типа и при параллельной работе ФВЧ и ФНЧ с икс-образными окончаниями [2];

- моделирование условий для обеспечения наибольшего постоянства наклона фазовой характеристики в искусственной линии [8];

- моделирование активных фильтров и транзисторных усилителей [2];

- построение эталонных резонансных характеристик для электрических колебательных систем [9];

- уточнение «абсолютных» уровней в электросвязи [4,5,6,10,11,12];

- разработка обобщенного метода реализации МОП-конденсаторов на основе последовательностей Фибоначчи [13];

- моделирование условий наилучшего согласования кабельной вставки в воздушной линии связи [13];

- определение предельной границы уменьшения коэффициента бегущей волны антенны [14];

- построение резонансных согласующих цепей с повышенной структурной надежностью [15,16,17] и в других случаях.

Приведенные выше научные результаты подтверждают научно-практическую значимость прикладной «золотой» математики и унификации элементарной математики для повышения эффективности ИИД [2,4,18,…,21].

формате PDF (2213Кб)