![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
«Не думайте, смотрите!»
Л. Витгенштейн, «Философские исследования»
В классической последовательности Фибоначчи каждый последующий член равен сумме двух предшествующих. В этой последовательности элементы связаны двумя типами отношений: структурными, основанными на отношении включения (сумма включает два слагаемых или сумма состоит из двух слагаемых) и линейными: слагаемые предшествуют сумме в развертывании последовательности. В итоге образуется рекурсивная (регрессивная) последовательность. Схематически классическую триаду Фибоначчи можно представить в виде линеаризованного дерева составляющих, используемого для представления синтаксических структур естественных языков:
В теории порождающих грамматик такие конструкции именуются левоветвящимися или регрессивными – ступеньки линеаризованного дерева образуют лестницу, ориентированную влево, в отличие от правоветвящихся, прогрессивных структур, для которых характерен «спуск по лестнице» в противоположном направлении (Н. Хомский, В. Ингве). Рассмотренная рекурсия является простейшей. Ее усложнение может осуществляться благодаря увеличению числа суммируемых членов и нарастанию дистантности между элементами суммативного правила. Рассмотрим более сложные варианты.
Начнем с последовательности М. Газале, задаваемой уравнением:
.
При n=3 данное уравнение становится уравнением Падована, корень которого равен 1,325. Этому уравнению соответствует рекурсия вида:
В этом дереве появляется разрыв (вставка, дистантность) между значением суммы и вторым слагаемым. Попытаемся теперь наращивать дистантность d при одновременном увеличении числа рекурсирующих слагаемых n. В качестве затравочных чисел будем использовать числа натурального ряда, начиная с единицы, которые при этом заполнят и дистанционнувю «лакуну» между значением суммы и последним затравочным числом.
А теперь построим таблицу, в которой разместим предельное отношение последующего члена к предыдущему при нарастании n и d.
Таблица 1
d |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
1,618 |
1,325 |
1,221 |
1,167 |
1,135 |
1,116 |
1,098 |
1,081 |
3 |
1,839 |
1,466 |
1,325 |
1,250 |
1,203 |
1,171 |
1,148 |
1,130 |
4 |
1,928 |
1,534 |
1,380 |
1,296 |
1,243 |
1,207 |
1,180 |
1,159 |
5 |
1,966 |
1,570 |
1,412 |
1,325 |
1,269 |
1,229 |
1,200 |
1,178 |
6 |
1,984 |
1,590 |
1,431 |
1,343 |
1,285 |
1,244 |
1,215 |
1,191 |
7 |
1,992 |
1,601 |
1,443 |
1,354 |
1,296 |
1,255 |
1,225 |
1,201 |
8 |
1,996 |
1,608 |
1,451 |
1,362 |
1,305 |
1,263 |
1,232 |
1,208 |
9 |
1,998 |
1,612 |
1,456 |
1,368 |
1,310 |
1,269 |
1,238 |
1,213 |
10 |
1,999 |
1,614 |
1,459 |
1,371 |
1,314 |
1,273 |
1,244 |
1,217 |
20 |
2,000 |
1,618 |
1,465 |
1,380 |
1,325 |
1,284 |
1,254 |
1,230 |
30 |
2,000 |
1,618 |
1,466 |
1,380 |
1,325 |
1,285 |
1,255 |
1,232 |
Что же мы получили в итоге?
В столбце n=2 имеем корни уравнений обобщенного серебряного сечения М.Газале с нарастающей дистантностью рекурсирующих членов.
Самое интересное содержится в последнем столбце – предельные числа имеют вид корней уравнений обобщенного золотого сечения А.Стахова
Интересно также и то, что стаховские числа образуют диагональ таблицы
В столбце n=0 располагаются обобщенные числа Трибоначчи (Файнберга) в расширительном толковании не только с тремя, но и любым числом рекурсирующих членов
Итак, все рекурсии, построенные на базе обобщения Газале, образуют единую систему, в которой центральную роль играет обобщение Стахова. Прибегнув к аналогии с шахматной доской, можно сказать, что последовательность Стахова обладает возможностями ферзя, а последовательности Газале и Трибоначчи совместно возможностями ладьи.
Но в табл. 1 есть еще одно любопытное свойство, связанное с числом Падована-Газале. Чтобы не заграмождать табл. 1 новой информацией, повторим ее и графически выделим новое свойство – см. табл.1а.
Стаховские диагональные числа тесно соприкасаются с двумя последовательностями, содержащими пары повторяющихся чисел 1,325-1,325, 1,296-1,296, 1,269-1,269, 1,244-1,244 и т. д. Природу и математическое содержание этой последовательности мы пока не раскусили. Пока можно лишь отметить, что она открывается тройным повторением газалевского числа 1,325, при этом ее члены обладают мультипликативным свойством ряда Фибоначчи: центральный член (например, в триаде) равен среднему геометрическому крайних членов. Кроме того, бросается в глаза то, что при переходе от одного числа пары к другому необходимо сделать шаг вправо и спуститься вниз. Это напоминает ход шахматного коня. Такая Г-образность расширяет шахматную интерпретацию таблиц 1 и 1а.
Таблица 1а
Мы сознаем, что наши наблюдения на данный момент могут рассматриваться лишь как некоторые интригующие констатации. В следующей работе попытаемся им дать рациональное толкование.
![]() |