|
|
Н.Ф. Семенюта
Приведены краткие сведения о золотом сечении, гармонии, рекуррентных последовательностях чисел Фибоначчи, Люка и др., их связях с показательными и гиперболическими функциями, треугольником Паскаля и др. Показаны проявления золотого сечения и гармонических пропорций в искусстве, науке и технике, обществе. Для иллюстраций использованы почтовые марки как источники максимальной информации о золотом сечении и числах Фибоначчи во многих государствах мира.
Предназначено для школьников, студентов, преподавателей, всех, кто интересуется вопросами красоты и гармонии в различных отраслях искусства, науки и техники.
Посвящается профессору кафедры «Математическая лингвистика»
Санкт-Петербургского государственного университета
Григорию Яковлевичу Мартыненко (1936–2019)
СОДЕРЖАНИЕ
От автора
Введение
1 Леонардо Фибоначчи – великий математик Средневековья
2 Золотое сечение – драгоценный камень Вселенной
3 Числа последовательности Фибоначчи
4 Числа последовательности Люка
5 Тождество Кассини последовательностей чисел Фибоначчи и Люка
6 Обобщенные последовательности чисел Фибоначчи
7 Геометрия гармонических пропорций
8 Золотой эллипс
9 Золотые яйца птиц
10 Гармонические спирали
11 Платоновы многогранники
12 Числа Фибоначчи и Люка в комбинаторике
13 Взаимосвязь чисел Фибоначчи и биномиальных коэффициентов
14 Взаимосвязь чисел Фибоначчи и электрических цепей
15 Взаимосвязь чисел треугольника Паскаля и электрических цепей
16 Решения гармонических пропорций
17 Гармония и красота природы
17.1 Гармонические пропорции живой и неживой природы
17.2 Пропорции живой природы
18 Гармонические пропорции в строительстве и архитектуре
19 Гармонические пропорции в искусстве
19.1 Гармонические пропорции в скульптуре
19.2 Гармонические пропорции в живописи и кино
19.3 Золотые пропорции и дизайн
19.4 Гармония музыки
19.5 Гармония поэзии
20 Гармонические пропорции человека
21 Гармонические пропорции в медицине
22 Гармонические пропорции в науке и технике
23 Золотое сечение в информатике
24 Химия по Фибоначчи
25 Золотое сечение и транспорт
26 Филлотаксис солнечных батарей
27 Гармонические пропорции в экономике
28 Золотое сечение и общество
Вот вам и кролики Фибоначчи
Список использованной литературы
ОТ АВТОРА
Элементарную теорию чисел следует считать
одним из наилучших предметов для
первоначального математического образования.
Она требует очень мало предварительных знаний,
а предмет ее понятен и близок; методы рассуждений,
применяемые ею, просты, общи и немногочисленны.
Г. Х. Харди (1887–1947)
Это научно-популярное издание посвящено феномену золотого сечения и связанным с ним числам Фибоначчи. Но причем здесь кролики Фибоначчи? Ответ начнем с предисловия к книге мексиканца французского происхождения Анхеля де Куатье «Золотое сечение (седьмая скрижаль завета)». Здесь сразу обратим внимание на связь золотого сечения и скрижали, т. е. связь золотого сечения со священным писанием и даже Богом. Вот что написано в предисловии: «Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете – посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение» [2].
О золотом сечении знали еще в Древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть золотого сечения. Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий – творил свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно золотому сечению. А Аристотель нашел соответствие золотого сечения этическому закону.
Гармонию золотого сечения будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь золотое сечение и красота – это весьма близкие понятия, это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы золотого сечения, спасаясь от Дьявола. При этом ученые – от Пачоли до Эйнштейна – будут искать, но так и не найдут его точного значения.
Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое золотое сечение. Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое – все подчиняется божественному закону, имя которому – золотое сечение.
«Так что же такое золотое сечение? Что это за идеальная божественная пропорция? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он – мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее – нет, известен. «Золотое сечение» – это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна». Так, о феномене золотого сечения написано в предисловии к книге Анхеля де Куатье «Золотое сечение». Можно еще много найти восторженных и загадочных высказываний о золотом сечении. Мы же остановимся только на связи золотого сечения с кроликами.
В 2002 году первый крупный математик средневековой Европы Леонардо Фибоначчи (1170 – ок. 1250) издал трактат «Liber abaci» (трактат о вычислениях), одна из задач которого была посвящена размножению кроликов («проблема кроликов»), которая сыграла и продолжает играть исключительную роль в теории чисел и математической теории гармонии. Суть задачи состоит в следующем: «Сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно по одной паре, способной в свою очередь через месяц к размножению?». Решение дается в виде рекуррентной последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, получившей название последовательности чисел Фибоначчи, которые могут быть рассчитаны по рекуррентному соотношению un = un–1 + un–2 с двумя начальными членами u1 = 1 и u2 = 1. Особенностью этой последовательности является то, что отношение смежных чисел в пределе равно золотому сечению, Ф = 1,618.
Известный венгерский математик А. Реньи (1921–1970) в своей увлекательной книге «Трилогия о математике» с восхищением писал о кроликах в отдельном разделе «Вариации на тему Фибоначчи»: «…простая математическая задача (например, задача Леонардо Фибоначчи о размножении кроликов) при всестороннем рассмотрении позволяет заглянуть в широкий круг актуальных проблем современной математики» [24].
Это замечательное высказывание дополнил математик, популяризатор науки Н. Я. Виленкин: «Со времен греческих математиков было известно две последовательности, каждый член которых получался по определенному правилу из предыдущих – арифметическая и геометрическая прогрессии. В задаче Леонардо появилась новая последовательность, члены которой были связаны друг с другом соотношением: un = un–1 + un–2. Это была первая в истории науки формула, в которой следующий член выражался через два предыдущих. Подобные формулы получили название рекуррентных (от латинского слова recurrens – возвращающийся). Метод рекуррентных формул оказался впоследствии одним из самых мощных для решения комбинаторных задач» [6].
Рекуррентные последовательности чисел и золотое сечение, их взаимосвязь уже много веков украшают древнюю и современную математику. К сожалению, в настоящее время эти украшения практически не используются выпускниками учебных заведений всех уровней образования. Ни в математике, ни в физике, ни в химии, ни в философии, ни в других гуманитарных и технических дисциплинах мы не найдем ни слова о золотом сечении (напомним, по определению Иоганна Кеплера – драгоценный камень) и гармонических последовательностях чисел Фибоначчи, Люка и др., этих основ гармонии в искусстве, науке и технике, общества. Гармония является основой процветания мирного сосуществования и устойчивого развития стран мира. Однако в последние годы военное противостояние возросло, возросла бедность народов и стран. Войны и беды начинаются всюду, где нарушена гармония общества, экономики и политики. Только гармония может спасти мир от бед и войн.
Настоящее издание ориентировано на школьников, студентов, преподавателей и ученых всех уровней образования, заинтересованных в познании математико-гармонических представлений в искусстве, живописи, музыке, поэзии, дизайне, кинематографе, архитектуре, науке и технике и др.
Издание состоит из отдельных весьма кратких очерков, посвященных проявлению гармонии, чисел Фибоначчи, гармонических пропорций и золотого сечения в искусстве, науке и технике, математике, механике и технической эстетике, дизайне. Основным ориентиром при изложении материала было замечательное издание Г. Я. Мартыненко «История математико-гармонических представлений: от Пифагора до наших дней» (2016) [19]. На обложке книги Г. Я. Мартыненко приведена фреска «Афинская школа» итальянского живописца эпохи Возрождения Санти Рафаэля (1483–1520) – фантастический храм, главный неф которого уходит в голубую даль рядом сводчатых арок, а в его пространстве древние философы и ученые. Эта фреска стала одним из величайших шедевров не только Рафаэля, но и всей живописи Ренессанса.
«Афинская школа», как начали называть эту фреску, изображает Академию, основанную Платоном в Афинах в IV веке до н. э. Аристотель и Платон стоят рядом на верхней ступени лестницы. Рука Платона обращена вверх, а рука его ученика Аристотеля – вниз раскрытой ладонью к земле. В этих жестах сконцентрированы их философские идеи: у Платона более абстрактные, у Аристотеля более практичные и логически обоснованные.
Старец Платон с лицом Леонардо да Винчи озарен вдохновением. Он похож на библейского пророка. Перстом указывая на небо, он вещает о мире идей. Молодой еще Аристотель – прекраснейшее творение земли. Его лицо, повернутое в сторону Платона, светится разумом и добротой. Спокойствие, умеренность, подлинная сила, повелевающая человеческими страстями, запечатлены в его образе. Возносящий жест Платона и приземляющий – Аристотеля свидетельствуют о непрекращающемся споре, о гармонии Вселенной в целом, а с другой стороны – о музыке, которая для греков была воплощением гармонии, и сама Вселенная рассматривалась как музыка сфер. Фреске Санти Рафаэля «Афинская школа» посвящена также одна из почтовых марок Греции.
Думаю, что настоящее издание будет полезным и доставит удовольствие как филателистам, так и специалистам в области математики. Всем, кто так или иначе соприкасается с золотым сечением, математической теорией гармонии и оптимума. В качестве иллюстраций использованы почтовые марки, коллекционером которых я являюсь со школьных лет (1939). Почтовые марки – миниатюрные художественные произведения, неиссякающий источник знаний об истории, науке и технике, искусстве, географии, математике и др. По количеству выпущенных почтовых марок, посвященных золотому сечению, числам Фибоначчи, гармонии и красоты и др., марки занимают одно из ведущих мест в мире.
Полный текст доступен в формате PDF (5101Кб)
Н.Ф. Семенюта, Кролики Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М.,
 |