Институт Золотого Сечения - Математика Гармонии

А.П. Стахов

1. Gazale formulas, a new class of the hyperbolic Fibonacci and Lucas functions, and the improved method of the «golden» cryptography

---

See full text of this article at PDF format (413Kb).

---

Полный текст можно посмотреть в формате PDF (413Кб)

---

Расширенная аннотация

В конце 20-го века сразу несколько исследователей из разных стран (Вера Шпинадель, Джей Капрафф, Мидхат Газале, Александр Татаренко и др.) независимо друг от друга обратили внимание на следующее обобщение рекуррентного соотношения Фибоначчи: F_m(n+2) = mF_m(n+1) + F_m(n), которое, в свою очередь, приводит к следующему обобщению уравнения золотой пропорции: x² – mx – 1 = 0, где m – положительное действительное число, названное Мидхатом Газале «гномонным» числом или порядковым числом рекуррентного соотношения Фибоначчи. Будем называть положительный корень введенного выше квадратного уравнения обобщенным золотым сечением порядка m . В своей книге «Гномон. От фараонов до фракталов» [9], опубликованной в 1999 г. и переведенной на русский язык в 2002 г., Газале вывел следующую замечательную формулу, которая задает аналитически обобщенные числа Фибоначчи F_m(n) в диапазоне значений n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...:

Следует отметить, что выведенная формула задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, подобных числам Фибоначчи, так как каждому m соответствует своя числовая последовательность. Некоторые из них приведены в таблице ниже:

Обобщенные числа Фибоначчи порядка m=1, 2, 3, 4

Заметим, что второй ряд этой таблицы (m=1) задает классические числа Фибоначчи, в то время как третий ряд (m=2) задает еще один замечательный числовой ряд, известный под названием числа Пелли.

Эта формула по праву может быть отнесена к разряду выдающихся математических формул наряду с формулами Эйлера, формулами Муавра, формулами Бине и т.д. Автор настоящей статьи предлагает назвать эту формулу формулой Газале.

Именно формула Газале вдохновила автора на получение следующих новых математических результатов:
1. Выведена следующая формула:

Эта формулу автор назвал формулой Газале для обобщенных чисел Люка порядка m, поскольку автор выполнил лишь техническую работу при выводе данной формула. Заметим, что эта формула задает бесконечное количество новых рекуррентных последовательностей, частными случаями которых являются классические числа Люка (m=1) и числа Пелли-Люка (m=2). Некоторые из этих числовых последовательностей приведены в таблице ниже:

2. Следующим научным результатом является введение нового класса гиперболических функций Фибоначчи и Люка, основанных на формулах Газале:

Гиперболический синус Фибоначчи порядка m

Заметим, что эти гиперболические функции являются обобщением симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка, введенными Стаховым и Розиным в 2005 г. [14].

Трудно вообразить, что количество новых гиперболических функций Фибоначчи и Люка бесконечно, так как каждому m (m – положительное действительное число) соответствует свой вариант гиперболических функций. Новый класс гиперболических функций представляет собой фундаментальный интерес для гиперболической геометрии и теоретической физики и может привести к переосмысливанию «гиперболической геометрии Лобачевского» и «пространства Минковского» (гиперболической интерпретации специальной теории относительности Эйнштейна).
3. В развитие Q-матицы , исследованной американским математиком Вернером Хоггаттом, создателем Фибоначчи-Ассоциации, в настоящей работе введено понятие Q_m-матрицы , которая является порождающей матрицей для обобщенных чисел Фибоначчи порядка m. Доказано следующее е свойство Q_m-матрицы:

4. В работе [26] автором введен новый класс квадратных матриц, основанных на использовании симметричных гиперболических функций Фибоначчи (Стахов, Розин, 2005). Исследовании Q_m-матриц привело к открытию нового класса квадратных матриц, основанных на использовании гиперболических функций Фибоначчи порядка m:

5. В работе [26] автором введен новый криптографический метод, основанный на использовании «золотых» матриц и названный «золотой» криптографией. В настоящей работе предложен усовершенствованный метод «золотой» криптографии, основанный на использовании гиперболических функций Фибоначчи порядка m. Новым свойством усовершенствованного метода является наличие двух непрерывных переменных x иm, которые могут быть использованы в качестве «криптографических ключей», что расширяет возможности криптографической зашиты.

Таким образом, формулы Газале и вытекающие из них новые математические результаты в области гиперболических функций Фибоначчи и Люка и «золотых» матриц, полученные в настоящей работе, открывают интересные перспективы для создания новых гиперболических моделей Природы (теоретическая физика) и новых методов кодирования и криптографии (компьютерные науки).

Abstract

We consider the Gazale formulas, which are a wide generalization of the Binet and Pell formulas, and a new class of the «golden» hyperbolic functions, which a wide generalization of the symmetric hyperbolic Fibonacci and Lucas functions (Stakhov and Rozin, 2005). Also we consider a new class of the «golden» matrices being a wide generalization of the «golden» matrices (Stakhov, 2006). The improved cryptographic method, which is a generalization of Stakhov’s «golden» cryptographic method, follows from the new «golden» matrices.

[Обсуждение на форуме «Наука»]