СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.ТЕРМИНЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КОММЕНТАРИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

2. ИСЧИСЛЕНИе монорекурсивных оперонов

    2.1. Опероны повышения ступени

    2.2 Опероны обратных действий

    2.3 b -ряды на основе обратных действий

    2.4 Опероны понижения ступени действия

    2.5 Взаимосвязи между различными β-рядами

    2.6 Произвольные β-ряды

3.ИСЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ И ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Понятие числа и понятие действия над числом относительно друг друга столь комплементарны, и их взаимное влияние друг на друга проявляется столь ярко, значительно и гармонично, что приходится согласиться с Лосевым, что они есть две «ипостаси» некоей единой и еще не в полной мере раскрытой сущности, имя которой смысл [15-18], точнее структура смысла, его «внутренняя среда». Однако даже такой серьезный философ-диалектик как Лосев, исследуя категорию смысла, и обращаясь при этом, прежде всего к числу, как первопринципу "самоконструкции" смысла [15-18], гораздо меньше, конечно, в своих работах уделяет внимания понятию действия над числом. Такое смещение доминанты в объеме исследований по математике по проблемам прежде всего числа сохраняется, на наш взгляд, и до сего времени. В данной работе, напротив, делается попытка уйти в другую сторону, и акцентировать внимание на теме действия над числом.

Предлагаемое вниманию исчисление действий (ИД) является первым небольшим шагом в разработке систематических знаний метауровня для действий над числами. В нем идет речь о средствах построения и методах преобразований именно самих действий над числами. Главным объектом рассмотрения в исчислении действий становятся действия над числами, а также методы их получения и преобразований.

Даже простейшие наблюдения феноменологии действий, чисел и других так или иначе связанных с ними понятий показывает, что последовательное обобщение сложения и переходы к действиям более высоких ступеней активизирует процесс развития практически всех понятий математики в том числе и основных. Более конкретно в свое время это приводило к

• возникновению обратных операций и на их основе к расширениям понятия числа;
• скачкам мощности числовых множеств от счетного к континууму;
• получению класса алгебраических операций и функций;
• определению алгебраической структуры определений производной и интеграла;
• получению алгебраической структуры формул степенных рядов.

Последующее исследование этих вопросов, составившее содержание данной книги, как мы могли убедиться, продемонстрировало также реальные возможности открыть и изучать свойства новых математических объектов, продолжая естественную экстраполяцию уже известных тенденций. К ним относятся:

• действия не только 4-й, 5-й ступеней обобщения сложения, но и всего их натурального ряда;
• дальнейшие расширения понятия числа;
• новые (в частности, мультипликативные) определения скорости и интеграла;
• новые определения рядов;
• новые действия для операций с трансфинитными числами.

Но, кроме того, ИД предоставляет также и качественно новые возможности для введения и исследования свойств таких ранее неизвестных математических объектов, как:

• действий отрицательных ступеней;
• ряды действий, начинающихся не только от сложения, а и от неких произвольных начальных, базовых действий.

Конечно этой работе должен был бы предшествовать специальный философский анализ проблемы числа и действия, который позволил бы раскрыть многочисленные аспекты их внутреннего единства и гармонии. К счастью, этот пробел хотя и отчасти, но восполнен Лосевым, который в своей «Диалектике математики» [ 18] дает детальную и довольно полную картину философских аспектов понятийного аппарата математики, в центре которого оказывается число.

Вполне понятно, что создание ИД потребовало, не только переработки и уточнения некоторых основных понятий алгебры и арифметики, но также введения и некоторых новых. Прежде всего, конечно, потребовалось дать ответы на следующие вопросы:

• Что есть действие и, в частности, бинарное действие на более высокой ступени обобщения этого понятия?
• Каковы разновидности действий над числами, которые бы в связи с целями разработки именно ИД следовало бы особо выделить и в дальнейшем различать?
• Каким должен быть минимальный набор операторов над действиями, т. е. операторов метауровня, который бы обеспечивал «оперативный» простор в создании достаточно полной и вместе с тем относительно замкнутой структуры всего исчисления в целом?

Назначение раздела 1 состоит именно в том, чтобы дать краткое ознакомление с принципами построения ИД и познакомить читателя с причинами тех или иных принятых в нем нововведений и уточнений.

формате PDF (372Кб)