Дискуссии - Наука

В. Б. Кудрин

Реплика к статье М.А. Пирожкова «Платоновский математический мир должен существовать» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.30159, 10.09.2026

https://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001k/00166168.htm

Стало почти общим местом устоявшееся представление, будто Аристотель отказывает числу в онтологическом статусе. Принято считать будто Аристотель выделял в вещах лишь одну их сторону – количественную, и рассматривал число лишь в качестве меры этой количественной стороны. Но какие числа имеет в виду Аристотель? Чем было число в понимании античного грека, и что число означает в понимании человека начала XXI столетия? Античная культура жила мгновением «настоящего», и таковым было и представлении этой культуры о числе. Кризис оснований математики конца XIX – середины XX столетий вызвал острую дискуссию о природе математических объектов. Пауль Бернайс ввёл понятие «математического платонизма», а Курт Гёдель, в своей знаменитой Гиббсоновской лекции, прочитанной в 1951 году, утверждал, что математический платонизм – единственно плодотворная позиция любого работающего математика, независимо от того, сознаёт он это, или нет. Согласно Бернайсу и Гёделю, «математические объекты имеют объективное существование, и работа учёных состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов». Противоположную позицию занимают конструктивизм и формализм, согласно которым математические объекты – лишь произвольные конструкции учёных, подобные шахматным правилам.

По остроумному замечанию английского физика и философа Джона Барроу, «Математики – формалисты с понедельника по пятницу и платонисты по выходным» [Barrow, 2002].

Но платонизм – не единственная философия, постулирующая реальность математических сущностей (в частности, чисел). Уверенность в их реальности может быть основана, как мы постараемся показать далее, и на философских воззрениях Аристотеля!

Термин «гилетика (от греческого слова ὑλή = hyle = вещество) впервые был введён в философию именно Аристотелем [Аристотель, 2006], а в новое время – использован Эдмундом Гуссерлем в работе «Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии»: «Естественно, что чистая гилетика подчинена феноменологии трансцендентального сознания. Кстати говоря, эта чистая гилетика обладает характером замкнутой в себе дисциплины, как таковая, имеет свою внутреннюю ценность, а, с точки зрения функциональной, и значение – благодаря тому, что она вплетает возможные нити в интенциональную паутину, поставляет возможный материал для интенциональных формирований» [Гуссерль, 1999]. Из приведенной цитаты видно, что для Гуссерля слово "гилетический" было синонимом слова «чувственный» или «материальный» (имелся в виду материал переживаний), но А.Ф. Лосев, впервые применивший этот термин к числу, – различает эти понятия, в смысле их различения в греческой и латинской культурах. Хотя Цицерон и ввел слово materia как перевод греческого ὑλή, оно отличается от латинского materia именно тем, что materia – это ὑλή, взятое в момент его наблюдения, a ὑλή включает в себя все моменты существования вещественного предмета, всю его биографию, реализованную в виде конкретного гилетического числа. Значение греческого слова ὑλή так же относится к значению латинского materia, как объём шара относится к его поверхности. Латинская часть культурного мира, говоря о веществе, подразумевает его мгновенное видимое состояние. В философии Нового времени, а затем – и в «научном мiровоззрении» XVII – XX столетий, рассмотрение объема «мiрового шара» незаметно подменилось рассмотрением лишь его поверхности. Можно сказать, что «научное мiровоззрение» в его привычном понимании поверхностно не в переносном, а в самом прямом смысле слова. Преодолевается эта поверхностность возвращением научный обиход понятия ὑλή и его производных, в частности, – гилетического числа.

ὑλή – это оформленная материя. Не существует ни материи без формы (как полагают материалисты), ни формы без материи (как ошибочно полагал Платон), но материи не в «цицероновском» смысле, а именно в первоначальном, греческом смысле ὑλή, а элементом этой «оформленной материи» как раз и являются гилетические числа.

Может показаться странным противопоставление понятий «гилетический» и «вещественный»: ведь ὑλή как раз и означает вещество, а вещественные числа успешно применяются в математике уже более пяти тысяч лет! Но, как мы увидим далее, значения этих слов имеют существенные оттенки, позволяющие их строго различать, и Лосев был совершенно прав, противопоставив их. Речь идет не о том, чтобы дать новое название уже известному предмету. Число в общепринятом понимании представляет собой как бы моментальный снимок гилетического числа, сделанный на его вещественной стадии, оцепеневшее число, тело числа, разлученное с душой. Поэтому и область его применения ограничивается вещественным мiром.

В противоположность ему, гилетическое число можно понимать, как совокупность всех моментов существования вещественного числа. Греческое ὑλή, в отличие от латинского materia, включает в себя и материю умопостигаемого мiра, «сакральную материю», или, выражаясь словами Гуссерля, «материю переживаний», тогда как materia – это вещество лишь физической оболочки мiра, видимого мiра.

В главе шестой «Метафизики» Аристотель подверг критике учение Платона об отличии природы чисел от природы реальности:

«Далее, Платон утверждал, что помимо чувственно воспринимаемого и эйдосов существуют как нечто промежуточное математические предметы, отличающиеся от чувственно воспринимаемых тем, что они вечны и неподвижны, а от эйдосов – тем, что имеется много одинаковых таких предметов, в то время как каждый эйдос сам по себе только один. И так как эйдосы суть причины всего остального, то, полагал он, их элементы суть элементы всего существующего. Начала как материя [в оригинале – ὑλή – В.К.] это большое и малое, а как сущность – единое, ибо эйдосы <как числа> получаются из большого и малого через причастность единому. Что единое есть сущность, а не что-то другое, что обозначается как единое, это Платон утверждал подобно пифагорейцам, и точно так же, как они, что числа – причины сущности всего остального; отличительная же черта учения Платона – это то, что он вместо беспредельного, или неопределенного, как чего-то одного признавал двоицу и неопределенное выводил из большого и малого; кроме того, он полагает, что числа существуют отдельно от чувственно воспринимаемого, в то время как пифагорейцы говорят, что сами вещи суть числа, а математические предметы они не считают промежуточными между чувственно воспринимаемыми вещами и эйдосами. А что Платон в отличие от пифагорейцев считал единое и числа существующими помимо вещей и что он ввел эйдосы, это имеет свое основание в том, что он занимался определениями (ведь его предшественники к диалектике не были причастны), а двоицу он объявил другой основой (physis) потому, что числа, за исключением первых, удобно выводить из нее как из чего-то податливого.

Однако на самом деле получается наоборот: такой взгляд не основателен. Ибо эти философы полагают, что из одной материи происходит многое, а эйдос рождает нечто только один раз, между тем совершенно очевидно, что из одной материи получается один стол, а тот, кто привносит эйдос, будучи один, производит много [столов]. Подобным же образом относится и мужское к женскому, а именно: женское оплодотворяется одним совокуплением, а мужское оплодотворяет многих; и, однако же, это – подобия тех начал.

Вот как Платон объяснял себе предмет нашего исследования. Из сказанного ясно, что он рассматривал только две причины: причину сути вещи и материальную причину (ибо для всего остального эйдосы – причина сути его, а для эйдосов такая причина – единое); а относительно того, что такое лежащая в основе материя, о которой как материи чувственно воспринимаемых вещей сказываются эйдосы, а как материи эйдосов – единое, Платон утверждал, что она есть двоица – большое и малое. Кроме того, он объявил эти элементы причиной блага и зла, один – причиной блага, другой – причиной зла, а ее, как мы сказали, искали и некоторые из более ранних философов, например, Эмпедокл и Анаксагор» [Аристотель, 2006].

До нас не дошли сочинения Аристотеля, которые свидетельствовали бы о завершении построения им своей философии числа. Но процитированный нами отрывок даёт основания полагать, что онтологическая теория числа (обычно ассоциирующаяся с так называемым «математическим платонизмом») может быть построена не только на основе философии Платона, но и философии Аристотеля. При этом можно вполне обойтись без введённого Платоном понятия «эйдос».

Именно интуитивная уверенность в реальности числа, адекватно отображающего не только состоявшееся («прошлое»), но и будущее, уверенность, выраженная Аристотелем в учении об энтелехии) – делает гилетическое число органичной частью суперсистемы знаний Аристотеля, в которой ὑλή является целеорганизованной субстанцией, в числе четырёх причин Бытия, постулированных Аристотелем.

По определению Лосева, «вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа» [Лосев, 2013]. В процессе создания учения о числе Лосев широко использовал не только пифагорейскую, но и неоплатоническую терминологию. Однако от неоплатонизма учение Лосева принципиально отличается своим христианским персонализмом. Это отчетливо видно даже в тех его работах, где он не мог открыто высказать свои убеждения по вполне понятным цензурным условиям эпохи.

Лосев был убежден, что современная ему математика «Нового времени», ограничив область своего применения лишь мiром вещественным, не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Фактически она занимается не Реальностью, а мiром порожденных ею самой иллюзорных умственных конструкций. Эта «иллюзорная математика», доведенная до крайних пределов иллюзорности в интуиционистской модели Брауэра, оказалась непригодной для моделирования процессов запоминания и воспроизведения информации.

Для того, чтобы математика отражала не только изменения, происходящие на трехмерной поверхности видимого мiра, но и реальное взаимодействие видимого и невидимого мiров, осуществляющееся во всем объеме мiрового пространства – надо не пытаться редуцировать это взаимодействие к господствующим ныне математическим методам, а создать адекватную ему математическую модель.

Математический мiр – не результат «абстрагирования от реальности», как полагает сегодняшнее редукционистское мiровоззрение, а сама реальность, объединяющая физический и духовный мiры

Подобно тому, как реальное физическое пространство не существует без вещества, так и реальное числовое пространство не может существовать без образующих его чисел. При этом пространство рациональных чисел, – лишь «координатная сетка», наброшенная на физический мiр, и большой ошибкой было бы ее отождествление с самим мiром.

В работе Вадима Юрьевича Татура «P-адический человек» убедительно показано, что процессы осознания, мышления и памяти протекают в p-адическом пространстве:

«Человек, являясь физическим объектом, связан со всеми этими смысловыми уровнями. <…> Своими действиями он может отражать свой р-адический смысл, а может искажать. Такое своеволие связано с тем, что человек, управляя инверсией внешнего во внутреннее, а также саморекурсией, использует свойства субстанции Отображения, которая является основой объектов р-адического пространства. Человек, с одной стороны, есть определенная идея, слово и потому определен в своей деятельности и намерениях, а с другой, – он может управлять субстанцией, которая является основой этих смыслов. Он может действовать не только в рамках пространства своего общественного тела, не только на уровне смыслов Биосферы, но и Вселенной, как всей проявленной материи, Космоса, как всей оформленной материи, и Мiра, как Космоса и субстанции Отображения. Человек не просто космическое существо, связанное со всеми смысловыми уровнями физической точки, человек – деятельный космический субъект, влияющий на все уровни космической иерархии, а потому несущий космическую ответственность. Если человек осознанно мыслит, например, на уровне Биосферы, т.е. в иерархии смыслов и организации физической точки поднимается на уровень выше организации отдельного живого существа или рода, то действия его часто идут в разрез с действиями его соплеменников, а его деятельность в р-адическом пространстве влияет на смыслы существования Биосферы и всех на ней живущих. Степень этого влияния зависит от многих факторов, в том числе от степени слияния индивидуального смысла и смысла, отвечающего бытию Биосферы, от характера механизмов сопряжения изменений в р-адических структурах и физических процессов в Биосфере, клетках, атомах и т.д.

Но если р-адический мир и мир физических процессов существует как единое целое, то должно же существовать соответствие между р-адическими структурами и свойствами объектов и процессов евклидового пространства» [Татур, 2020].

Пространство ультраметрических чисел отличается от «пространства Минковского» (и ещё более ранней модели пространства, предложенной Митрофаном Семеновичем Аксеновым) с их «времениподобными линиями» тем, что в ультраметрическом пространстве сохраняется память обо всех совершившихся событиях.

«Классическое» физическое пространство отличается от «классического» числового тем, что, по замечанию Германа Вейля, «в то время как континуум действительных чисел состоит из самых настоящих индивидов, континуум точек времени и пространства однороден» [Вейль, 1989]. Но реальное физическое пространство, т. е. пространство вещественное, столь же неоднородно, как и пространство числовое, так как образующие его числа суть индивиды.

Таким образом, реальное физическое пространство можно рассматривать как овеществляющееся ультраметрическое пространство. Отсюда проистекает не только его неоднородность во времени, но и морфологическая неоднородность различных «мест» в пространстве: каждая область пространства наполнена своим неповторимым колоритом, или, как говорят французы, «couleur locale». Это выражение восходит к латинскому «genius loci» («гений места») – так называли латиняне колорит, свойственный определённым областям пространства. Подобно локусам пространства, время – тоже структурировано, и каждый отрезок времени наполнен неповторимой «эпохой» – «genius temporali» («гением времени») [Кудрин, 2020].

Сохранение полной неуничтожимой информации о всех предметах и явлениях в ультраметрическом пространстве делает возможным их полное воссоздание в пространстве физическом, даже при отсутствии видимых вещественных «следов». Кажущаяся «неподвижность» этой информации нисколько не препятствует ни обогащению её новыми событиями (то есть наращиванию области совершившихся событий), ни новому выводу информации из глубин «прошлого» в физическое пространство. При этом ни давность актуализируемого события, ни дальность расстояния между макросистемами – не снижают полноту передаваемой информации.

По словам академика РАН Алексея Николаевича Паршина, «умопостигаемое пространство является однородным пространством группы матриц второго порядка с p-адическими коэффициентами. Это – первый нетривиальный пример неевклидовой геометрии, имеющий к тому же и отношение к физике» [Паршин, 2002].

Согласно учению Аристотеля о предмете математики (впоследствии подтверждённому и развитому неоплатоником Проклом), математика есть нечто среднее, промежуточное между мiром духовным и мiром вещественным (ὑλή), отличающееся и от того, и от другого. Но математика призвана «охватывать» оба мiра, составляя с ними единое Целое. Хотя в каждом из этих мiров – свои собственные законы, но математика включает их в свой состав. Да, роль «медиатора» между двумя мiрами она тоже выполняет (или должна выполнять), и в этом Аристотель и Прокл правы! Однако ея роль не сводится к роли «медиатора», так как она выполняет свою задачу и в каждом из этих мiров, рассматриваемых по отдельности, и при любых формах взаимодействия обоих мiров. (Формулы этого взаимодействия ещё предстоит найти). То есть – область математики не сводится лишь к «границе» между мiрами, а включает их в себя целиком.

Общеизвестные элементарные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Уже участие чисел в элементарной арифметической операции порождает новые числа. При этом «исходные» числа никуда не пропадают – все этапы истории числа сохраняются в Вечности – это и является основой Закона сохранения информации [Кудрин, 2022, 2024].

Ограничив область своего применения мiром вещественным, современная редукционистская математика не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Но можно ли найти общий принцип, объединяющий оба мiра? Да! Монадология Лейбница и Н.В. Бугаева даёт возможность рассмотреть все виды живых существ в качестве монад, под которыми Лейбниц понимал «простые, непротяжённые субстанции, одарённые стремлением и способностью представления» [Лейбниц, 1989]. Более того, монаду в понимании Лейбница можно отождествить с Числом, в максимально расширенном смысле этого понятия. Монада есть становящееся (индивидуализирующееся) число. К такому числу вполне применимо понятие «адельного числа».

Адельные числа были введены в математику немного раньше ультраметрики, на рубеже 1930-1940-х годов. Родоначальником аделей был французский математик Клод Шевалле (1909 – 1984). Суть адели сводится к тому, что это – вектор или безконечная последовательность чисел, где на первом месте стоит произвольное действительное (вещественное) число, а на всех остальных – p-адические выражения для того же самого числа по всевозможным нарастающим значениям простого p. Благодаря такой конструкции они одновременно демонстрируют свойства архимедовой и фрактальной (неархимедовой) топологии [Татур, 2017].

Если функциональная зависимость определяется общей действующей причиной, то корреляционную зависимость можно объяснить лишь единством цели. Таким образом, формирование числа завершается лишь с наступлением события, являющегося целевой причиной взаимодействия чисел. Для любых участвующих в операции чисел такой причиной является полное объединение множеств их предикатов с сохранением порядка расположения элементов этих множеств. Поэтому мерой взаимодействия чисел можно считать не функцию (меру каузальной зависимости), а корреляцию. Классическая теория вероятности дает возможность интерпретировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, передаваемой и принимаемой участвующим в операции числом.

Физическая корреляция – не омоним математической корреляции, а несиловая связь – конкретное проявление в вещественном мiре обмена информацией между числами, происходящего по законам корреляции математической.

Корреляционное понимание природы информации соответствует реалиям взаимодействия умопостигаемого и вещественного мiров. Поэтому именно математика корреляций (в обоих смыслах этого слова – и математическом, и физическом) призвана стать математическим аппаратом физики, вместо искусственно привязанного к ней (подобно пресловутым «эпициклам» в геоцентрических системах) громоздкого математического аппарата, основанного на математике функций. Создание такой математики – не «рационализация» нынешней математики, а приведение математики в соответствие с законами взаимодействия ультраметрического и «обычного» (метрического) пространств.

Вывод; Математические сущности действительно реальны. Но пытаться «выводить» их реальность из «эйдосов» Платона – путь совершенно бесплодный и тупиковый, так как ещё Аристотель доказал бесплодность учения Платона об «эйдосах». Вместо «математического платонизма» я предложил бы термин «математический реализм».

Литература

Аристотель. Соч.: В 4-т. – М.: ЭКСМО, 2006.

Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Т. 1. М.: ДИК, 1999.

Кудрин В.Б. Созвучия гениев мест // «Москва», 2020, № 9, С. 143 – 187:

http://www.moskvam.ru/publications/publication_2398.html

Кудрин В.Б. Имеет ли сознание вещественную природу? // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.27996, 25.07.2022:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001h/00165063.htm

Кудрин В.Б. А.Ф. Лосев о числе, математике и музыке. Соловьевские исследования, 2024, вып. 2 (82), с. 76–91:

http://solovyov-studies.ispu.ru/files/published/str.76-91_82.pdf

Лейбниц Г. В. Сочинения в 4 т., Т. 4. М.: Мысль, 1989.

Лосев А.Ф. Критика платонизма у Аристотеля. М.: Академический проект, 2011.

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013.

Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002.

Пирожков М.А. Платоновский математический мир должен существовать // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.30159, 10.09.2026:

https://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001k/00166168.htm

Татур В.Ю. Р-адические числа, ультраметрика и ментально-вещественный мир // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23820, 12.10.2017:

https://www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005c/00012019.htm

Татур В.Ю. Р-адический человек // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.26082, 06.02.2020:

https://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00164260.htm

Barrow, John. The Constants of Nature: The Numbers That Encode the Deepest Secrets of the Universe. 2002.

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]