|
|
С.Я. Серовайский
Аннотация. В статье обсуждается становление и развитие теории категорий, одного из наиболее глубоких направлений современной математики. Описываются истоки этой теории, связанные с алгебраической геометрией и алгебраической топологией. Анализируется три этапа ее развития: от средства для описания частных математических теорий и связей между ними к самодостаточному направлению, независимому от теоретико-множественного аппарата, и далее – к разработке новых оснований математики.
Ключевые слова: категории, функторы, множества, основания математики.
Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучше математик – тот, кто может увидеть аналогии между доказательствами; самый лучший математик – тот, кто замечает аналогии между теориями; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.
Стефан Банах
В 1961 г. один из наиболее авторитетных математиков середины ХХ в. Жан Дьёдонне, выступил с беспрецедентным заявлением. В частности, он сказал: «Возможно, сейчас математика стоит на пороге второй революции… оценивать область применения и все последствия которой еще рано».
Под первой революцией определенно подразумевалась теория множеств, радикально преобразившая всю математику. Действительно, в настоящее время все разделы математики прямо или косвенно восходят к теории множеств. Но что же такое могло показаться ему второй революцией? Речь шла несомненно о теории категорий, появившейся незадолго до этого.
С тех пор минуло уже более полувека. А признаков революции, сколько-нибудь сопоставимой с теми тектоническими сдвигами, которые произошли в математике под влиянием теории множеств, как будто не просматривается. Складывается впечатление, что Дьёдонне несколько поторопился со своим прогнозом.
Однако что-то всё-таки произошло. И это что-то напрямую восходит к двум достаточно близким разделам математики – геометрии и топологии.
1. Предыстория. Геометрия
Геометрия – одна из древнейших математических наук, связанная с изучением различных пространственных объектов. Долгое время геометрические конструкции рассматривались лишь сами по себе вне связи с другими разделами математики. И лишь в середине XVII в., после основополагающих работ Пьера Ферма и Рене Декарта, стало ясно, что геометрические объекты можно описать аналитически, а сама геометрия связана напрямую с остальной математикой.
К примеру, окружность единичного радиуса характеризуется точками на плоскости с координатами x, y, удовлетворяющими равенству x2 + y2 – 1 = 0, а формула y2 – x3 + x = 0 определяет геометрический объект, называемый эллиптической кривой. Выражения, стоящие в левой части приведенных равенств, представляют собой сумму каких-то степеней переменных x, y, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, и называются многочленами. В данном случае мы имеем дело с многочленами от двух переменных второго порядка для окружности и третьего – для эллиптической кривой. Порядок многочлена – это максимальная степень входящих в него переменных.
Рассмотрим для простоты многочлен от одной переменной. В частности, многочлен n-го порядка имеет вид
pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn,
где ai – некоторые числа, i = 0, …, n. Если многочлен приравнять нулю, то в результате получается равенство, которое можно интерпретировать как уравнение относительно неизвестной величины x, которое называется алгебраическим уравнением n-го порядка. Поскольку старший коэффициент an отличен от нуля (иначе получим уравнение более низкого порядка), на него можно разделить, получив коэффициент перед xn, равный единице. Таким образом, общее алгебраическое уравнение имеет вид
a0 + a1x+ a2x2 + … + an-1xn-1 + xn = 0.
Алгебраические уравнения изначально и составляли предмет алгебры. Центральным результатом здесь является основная теорема алгебры, доказанная в полном объеме в 1814 г. Жаном Арганом и независимо в 1816 г. Карлом Фридрихом Гауссом. Согласно этому результату, любое алгебраическое уравнение n-го порядка имеет решение, являющееся, вообще говоря, комплексным числом. Легко установить, что имеется ровно n таких решений.
Со временем оказалось, что основным предметом изучения алгебры являются все-таки не уравнения, а объекты, над элементами которых можно выполнять некоторые операции – сложение, умножение и т.п. Рассмотрим, к примеру, множество целых чисел Z. Отметим, что сумма x + y любых двух целых чисел сама является целым числом. Это означает, что на множестве Z определена операция сложения +. Характерно, что операция эта удовлетворяет равенствам x + y = y + x и (x + y) + z = x + (y + z) для всех целых чисел x, y, z. Эти свойства называются, соответственно, коммутативностью и ассоциативностью. Особую роль здесь играет число 0, сумма которого с любым целым числом дает это число. Наконец, для любого целого числа x существует такое число –x, что их сумма дает число 0. Указанный набор свойств означает, что множество целых чисел с операцией сложения является группой, а точнее, коммутативной группой, поскольку для определения группы общего вида требование коммутативности не обязательно.
Однако на множестве Z можно еще определить операцию умножения. Это означает, что произведение x∙y любых двух целых чисел само является целым числом. При этом выполнены следующие равенства: (x∙y)∙z = x∙(y∙z) (ассоциативность умножения) и x∙(y + z) = x∙y + x∙z (дистрибутивность) для всех чисел x, y, z. Наличие всех вышеуказанных свойств означает, что множество Z с операциями сложения и умножения представляет собой кольцо.
Группы и кольца являются непосредственными объектами исследования современной алгебры. При этом чрезвычайно важно, что указанные свойства выполняются не только для чисел. В частности, можно рассмотреть семейство всевозможных многочленов произвольного порядка от одного или нескольких переменных с действительными или комплексными коэффициентами. Очевидно, в результате сложения и умножения таких многочленов непременно получаются многочлены того же числа переменных, причем выполняются все отмеченные ранее свойства. Следовательно, многочлены также образуют кольцо и также оказываются алгебраическими объектами типа чисел.
Отметим, что, согласно основной теореме алгебры, каждое алгебраическое уравнение, определяемое некоторым многочленом, имеет решения, соответствующие точкам на комплексной плоскости. Тем самым алгебраическому объекту (многочлену) однозначно сопоставляется набор точек, то есть объект геометрический. Возникает вопрос, что произойдет, если мы будем рассматривать не один, а несколько многочленов многих переменных? Им будет соответствовать уже система алгебраических уравнений. Множество решений такой системы представляет собой геометрический объект, называемый алгебраическим многообразием. Рассмотренные выше окружность, эллиптическая кривая и набор точек, являющихся решением алгебраического уравнения, оказываются таким образом примерами алгебраических многообразий. Поэтому поставленный вопрос касается связи между кольцом многочленов и алгебраическими многообразиями.
Решающий шаг в этом направлении сделал Давид Гильберт, возможно, последний из математиков, который был, безусловно, великим. Он успешно работал практически во всех направлениях математики. И не только математики. Дело здесь даже не в том, что гильбертовы пространства являются мощным инструментом, широко используемым в квантовой механике и не только там. В ноябре 1915 г. Гильберт практически одновременно с Эйнштейном и независимо от него вывел основные уравнения общей теории относительности.
Но прежде чем формулировать интересующий нас результат Гильберта, доказанный им в 1893 г. и называемый теоремой о нулях, определим одно из важнейших понятий теории колец, введенное в 1874 г. Рихардом Дедекиндом. Подмножество I кольца X называется идеалом, если произведение любого элемента из I на произвольный элемент кольца принадлежит множеству I (мы рассматриваем лишь коммутативные кольца). К примеру, идеалом кольца целых чисел является множество всех четных чисел (включая отрицательные),
а идеалом кольца многочленов от переменной x является множество всех многочленов вида q(x) p(x), где q(x) – некоторый фиксированный, а p(x) – произвольный многочлен данного кольца.
Согласно теореме Гильберта о нулях, если I является идеалом кольца многочленов от переменных x1, x2, …, xn, отличным от самого кольца (здесь стоит добавить – над алгебраически замкнутом полем, но мы не будем вдаваться в таки подробности), то существуют такие значения x1, x2, …, xn, что справедливо равенство p(x1, x2, …, xn) = 0 для любого многочлена p(x1, x2, …, xn) из данного идеала. Это говорит о том, что система алгебраических уравнений, определяемая всеми многочленами идеала, имеет решение. Совокупность всех таких решений образует алгебраическое многообразие в n-мерном пространстве переменных x1, x2, …, xn. Применительно к определенному выше идеалу кольца многочленов одной переменной это означает, что существует такое число x, которое удовлетворяет равенству q(x)p(x) = 0 для любого многочлена p(x), а значит, алгебраическое уравнение q(x) = 0 имеет решение. Полученный результат фактически соответствует основной теореме алгебры.
Итак, теорема о нулях является обобщением основной алгебры и устанавливает связь между алгебраическим многообразием (геометрическим объектом) и идеалом кольца многочленов (алгебраическим объектом) в достаточно общем виде. Это утверждение в значительной степени определило ход развития алгебраической геометрии, занимающейся исследованием всевозможных алгебраических многообразий. Вот только как строго математически описать указанную связь? Именно необходимость корректного использования результатов одного математического направления (алгебры) для исследования объектов другого математического направления (геометрии) предопределила появление теории категорий. Однако непосредственный толчок к разработке этой теории дала не алгебраическая геометрия, а алгебраическая топология.
2. Предыстория. Топология
В отличие от алгебры, а тем более геометрии, топология является сравнительно молодым направлением. Зародившись в недрах геометрии во второй половине XIX в., она сформировалась как самостоятельный раздел математики лишь в начале XX в. Предметом топологии было исследование качественных свойств геометрических объектов, не зависящих от их размеров. Тем самым такие характеристики, как длины или углы, а также площади или объемы, во внимание здесь вообще не принимаются.
Смена ориентиров потребовала разработки нового математического аппарата, нехарактерного для обычных задач геометрии. Определяющую роль здесь играли непрерывные преобразования. В частности, считается, что те объекты, которые можно преобразовать один в другой с помощью непрерывного преобразования, обладают одинаковыми топологическими свойствами. Если же такое преобразование принципиально невозможно, то рассматриваемые объекты с точки зрения топологии чем-то различаются.
Почти одновременно возникли два взгляда на данную проблему, приведших к появлению двух ведущих направлений – общей и алгебраической топологии. Общая топология существенным образом опиралась на теорию множеств, причем основой здесь является понятие топологического пространства. Согласно определению, данному Феликсом Хаусдорфом в 1914 г., топологическим пространством называется такое множество с выделенным семейством его подмножеств τ, что само это множество и пустое множество входят в состав τ, причем пересечение любых двух и объединение произвольного набора подмножеств τ принадлежат этому семейству. Отсюда выводятся определения непрерывного преобразования, предела и др., что позволило не только решить значительное количество чисто топологических проблем, но и стало основой функционального анализа.
Алгебраическая топология пошла по другому пути. Определяющую роль здесь сыграл Анри Пуанкаре. Следует отметить, что Гильберт стал крупнейшим авторитетом в математическом мире лишь после смерти Пуанкаре. И если Гильберта иногда называют последним безоговорочно великим математиком, то предпоследним был, безусловно, Пуанкаре. Он также работал практически во всех разделах математики и всюду добивался выдающихся результатов. И если Гильберт внес существенный вклад в разработку общей теории относительности, то Пуанкаре по праву считается одним из основоположников специальной теории относительности. Любопытно, что тот результат, о котором пойдет речь ниже, был получен Пуанкаре в 1894 г., то есть ровно через год после того, как Гильберт доказал теорему о нулях. Однако, прежде чем говорить о результатах Пуанкаре, стоит перенестись на несколько десятилетий назад.
В 1872 г. 23-летний Феликс Клейн, вступая в должность профессора маленького немецкого городка Эрланген, выступил с докладом, вошедшим в историю математики под названием Эрлангенская программа. К тому времени геометрия фактически разделилась на некоторое количество практически независимых разделов: евклидова, риманова, Лобачевского, аффинная, проективная и др., каждый из которых обладал своими специфическими особенностями. Клейн предположил, что каждой из этих геометрий соответствует свой тип преобразований, сохраняющих важнейшие свойства именно этой геометрии.
Рассмотрим в качестве примера плоскость и какие-то фигуры на ней. Очевидно, если мы переместим эти фигуры из одной части плоскости в другую, выполнив соответствующий сдвиг, то все фигуры останутся практически такими же, какими они и были изначально. Треугольник так и будет треугольником, круг – кругом, трапеция – трапецией. Более того, все длины и углы при этом также не изменятся. Аналогичная ситуация наблюдается, если выполнить поворот фигуры на произвольный угол вокруг некоторой точки. Сдвиги и повороты представляют собой преобразования, называемые движениями. Если мы теперь выполним сначала одно движение (неважно какое именно), а потом другое, то свойства рассматриваемых геометрических объектов также не изменятся. Тем самым последовательное выполнение, то есть суперпозиция двух движений обязательно сама окажется движением. Таким образом, на множестве всевозможных движений на плоскости (сдвигов, поворотов и их комбинаций) определена операция суперпозиции, являющаяся в некотором смысле аналогом сложения целых чисел. Характерно, что данная операция является ассоциативной, а аналогом нуля для сложения чисел (в алгебре используется термин «единица») оказывается тождественное преобразование, вообще ничего не меняющее. Наконец, каждому движению соответствует обратное преобразование, возвращающее фигуру в исходное положение (аналог противоположного целого числа). Тем самым множество всевозможных движений с операцией суперпозиции образует группу. Так вот, согласно Клейну, евклидову пространству соответствует группа движений в том смысле, что здесь изучаются те и только те свойства геометрических объектов, которые не меняются в процессе движения. Другим типам геометрии (аффинной, проективной и др.) соответствуют группы преобразований другого типа. Отсюда открывался прямой путь к исследованию топологических свойств, которые не должны меняться при непрерывных преобразованиях.
Так что же сделал Пуанкаре? Мы ограничимся рассмотрением маленького частного случая, соответствующего фигурам на плоскости R2, то есть нас будут интересовать свойства плоских фигур с топологической точки зрения. Попытаемся снова работать с преобразованиями. Выше мы говорили о сдвигах и поворотах. Очевидно, сдвиги соответствуют прямолинейному движению, а повороты – движению по дуге окружности. Однако для выявления топологических свойств требуется существенно более широкий класс преобразований, а именно непрерывных. Непрерывная кривая на плоскости может иметь чрезвычайно сложный вид, в связи с чем не совсем понятно, что следует понимать под суперпозицией таких преобразований. Для упрощения ситуации будем полагать, что начальная и конечная точки кривой совпадают.
Полный текст доступен в формате PDF (530Кб)
Метафизика, 2024, № 2 (52). ISSN 2224-7580
DOI: 10.22363/2224-7580-2024-2-19-34
С.Я. Серовайский, Вторая революция в математике? // «Академия Тринитаризма», М.,
 |