Дискуссии - Наука

Е.И. Зеленов

Содержание

Введение

1 p-Адическая модель квантовой механики и бозонные каналы

1.1 Введение

1.2 p-Адическая симплектическая геометрия

1.3 p-Адическая модель квантовой механики

1.3.1 Представления ККС

1.3.2 Алгебра ККС

1.4 Неприводимые представления ККС

1.4.1 Состояния

1.4.2 p-Адические гауссовские состояния

1.5 Линейные бозонные каналы

1.5.1 p-Адические гауссовские каналы

2 p-Адический индекс Маслова

2.1 Введение

2.2 Геометрия пространства решеток

2.3 Сплетающий оператор

2.4 p-Адический индекс Маслова

2.5 Вычисление индекса

2.6 Геометрическая интерпретация индекса

2.7 Коцикл представления Вейля

3 p-Адический квантовый дифференциал

3.1 Введение

3.2 Оператор симметрии

3.3 Пространство

3.4 Фредгольмов модуль

3.5 Квантовый дифференциал

3.6 Операторы конечного ранга

4 Операторы координаты и импульса в p-адической квантовой механике

4.1 Введение

4.2 Операторы координаты и импульса

4.3 Примеры

4.4 p-Адическая спектральная мера

4.5 Спектр оператора координаты

5 Унификация p-адической и вещественной квантовых теорий

5.1 Пространство результатов эксперимента

5.2 Представления коммутационных соотношений

5.3 Классическая частица

5.4 Когерентные состояния и квантование

5.5 Квантовая аппроксимация

6 Адельная декогеренция

6.1 Введение

6.2 Классическая система

6.3 Квантовая система

6.4 Представление Картье

6.5 Когерентные состояния

6.6 Адельное представление

6.7 Декогеренция и коллапс волновой функции

7 Качественная теория p-адических динамических систем

7.1 Классическая механика

7.2 Множество параметров и наблюдаемые величины

7.3 Состояние системы

7.4 Динамика классической системы

7.5 Логика классической модели

7.6 p-Адические классические системы

7.7 Иерархические динамические системы

7.8 Динамические системы с инвариантной мерой

7.9 Динамические системы общего вида

7.10 Динамические системы

7.11 Преобразование пекаря

8 Предельная теорема для p-адических случайных величин

8.1 Введение

8.2 Характеристики случайной величины

8.3 Предельная теорема

8.4 Скорость сходимости

8.5 Не одинаково распределенные величины

8.6 Доказательства Теорем

8.7 Вероятности больших уклонений

9 p-Адическое броуновское движение

9.1 Введение

9.2 p-Адический винеровский процесс

9.3 Реализация винеровского процесса

9.4 Траектории винеровского процесса

9.5 Эквивалентность процессов

9.6 p-Адическая мера Винера

10 Публикации автора по теме диссертации

Список литературы

 

Введение

p-Адическая математическая физика – раздел современной математической физики, основанный на использовании p-адических чисел, p-адического анализа для построения моделей физических явлений.

Одним из основных мотивов для развития этого направления послужила гипотеза о неархимедовой структуре пространства-времени на планковских масштабах. Первые работы, положившие начало p-адической математической физике, появились в 1987 году и были посвящены неархимедовому подходу к динамике струны на планковских масштабах ([88], [69]).

Другим существенным стимулирующим фактором явилось использование p-адических методов для построения моделей сложных иерархических систем. В частности, было показано, что модели p-адической теории поля есть естественный непрерывный аналог иерархических моделей статистической физики. ([30]. Такого рода модели нашли применение при описании динамики сложных белковых молекул, породив целое направление исследований по применению методов p-адической математической физики в биологии и теории сложных систем ([1], [2], [3],[23]).

Еще одним важным аргументом в пользу использования p-адических чисел для построения физических моделей является гипотеза о том, что результатом физического эксперимента является рациональное число. Вещественные и p-адические числа – это пополнение поля рациональных чисел по вещественной и p-адическим нормам соответственно. При этом, этими нормами исчерпываются все нетривиальные нормы на поле рациональных чисел с точностью до эквивалентности (теорема Островского). С этих позиций весьма естественно рассматривать модели над всеми пополнениями поля рациональных чисел в рамках как локальных теорий, так и адельного подхода ([75], [16]).

Для построения моделей p-адической математической физики был развит соответствующий математический аппарат, представляющий и самостоятельный интерес. В частности, теория обобщенных функций над полем pадических чисел ([9]), теория p-адических псевдодифференциальных операторов ([10], [11], [28]), теория p-адических вейвлетов ([24], [25]) и многое другое.

Методы p-адического анализа и p-адических динамических систем оказались продуктивными в криптографии ([4]).

Обширная библиография по p-адической математической физике и современное состояние содержатся в книге [12] и обзоре [64].

Всюду в диссертации ограничиваемся случаем p 6= 2.

Целью настоящей работы является получение следующих результатов:

• Построение p-адического бозонного гауссовского канала и анализ его свойств.
• Определение p-адического индекса Маслова и изучение его свойств.
• Построение p-адического аналога квантования Конна и исследование свойств соответствующего квантового дифференциала.
• Анализ спектральных свойств оператора координаты и импульса в pадической квантовой механике.
• Исследование связи p-адических и вещественных квантовых теорий.
• Построение модели декогеренции, основанной на адельном подходе.
• Изучение свойств p-адических динамических систем.
• Исследование скорости сходимости сумм p-адических случайных величин.
• Построение модели p-адического винеровского процесса.

Основные результаты перечислены ниже.

• В каждом из локальных расширений (вещественном или p-адическом) исходного фазового пространства (двумерного пространства на полем рациональных чисел) построена нетривиальная квантовая теория (модель Картье представления коммутационных соотношений). Доказано, что если в построенных таким образом квантовых моделях опять вернуться к рациональным числам, при этом учесть вклады всех квантовых теорий (вещественной и всех p-адических), то вклады различных теорий компенсируются, и система приобретает классические свойства.
• Дано определение p-адического индекса Маслова тройки самодвойственных решеток в двумерном симплектическом пространстве над полем pадических чисел. С помощью разложения Ивасавы симплектического преобразование определены координаты на множестве решеток и проведены явные вычисления индекса в этих координатах. Доказано, что для двух троек самодвойственных решеток существует симплектическое преобразование, переводящее одну тройку в другую в том, и только в том случае, когда индексы Маслова этих решеток совпадают. Получена формула для коцикла представления Вейля симплектической группы через p-адический индекс Маслова.
• Предложена конструкция фредгольмова модуля, естественным образом связанного с деревом Брюа-Титса и действием группы PSL₂(Qp) на этом дереве. В рамках квантового исчисления А.Конна построен квантовый дифференциал и изучены его свойства. В частности, доказано, что квантовый дифференциал от локально-постоянной функции является оператором конечного ранга (верно и обратное) и квантовый дифференциал от непрерывной функции есть компактный оператор.
• Предложено определение иерархической динамической системы как аналитического эндоморфизма p-адического аналитического многообразия в смысле Серра. Доказано, что такие системы не обладают свойством перемешиваемости. Изучены иерархические динамические системы на p-адической проективной прямой и вычислена энтропия таких систем. Построено p-адическое преобразование пекаря (пример не иерархической динамической системы) и доказано свойство перемешиваемости для этой системы.
• Предложена конструкция одномодового p-адического бозонного гауссовского канала. Получены необходимые и достаточные условия существования канала. Исследована структура таких каналов, доказана аддитивность.
• Доказано, что спектр оператора координаты и импульса в p-адической квантовой механике есть канторово множество на вещественной прямой.
• Доказано, что алгебры коммутационных соотношений p-адической и вещественной квантовых механик пересекаются на конечном множестве образующих.
• Исследована скорость сходимости суммы независимых одинаково распределенных случайных величин со сначениями в группе Zp целых pадических чисел. Доказан экспоненциальный характер сходимости для величин с локально постоянной плотностью. Показатель экспоненты есть третья степень от параметра постоянности плотности.
• Дано определение p-адического винеровского процесса и построена его явная реализация с использованием базиса Ван дер Пута в пространстве непрерывных p-адичнозначных функций. Доказано, что траектории этого процесса есть липшицевы функции. Построена мера Винера на пространстве траекторий, описан носитель меры и получен аналог пространства Кэмерона-Мартина.

В диссертации используются методы p-адического анализа, теории представлений, статистической квантовой теории, квантовой теории информации, спектральной теории операторов, теории представлений коммутационных соотношений, теории динамических систем, теории вероятностей и случайных процессов.

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно.

Результаты диссертации расширяют круг моделей в рамках стандартной статистической квантовой теории. В частности, в рамках стандартной квантовой теории информации предложен новый тип бесконечномерных каналов – p-адические бозонные каналы. В рамках предлагаемого подхода рассматривается новый класс моделей – p-адические квантовые и классические модели. Данные модели находят применения в описании сложных систем типа турбулентности, спиновых стекол или динамики белковых молекул.

---

Полный текст доступен в формате PDF (756Кб)

---

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]