“Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту “ [1].

Г. Галилей (1623 г.)

0. Трагедия открытия несоизмеримых чисел заставила греческих математиков отказаться от арифметики и алгебры в пользу геометрии. Уже в самой пифагорейской школе началось построение арифметики и алгебры на основе геометрии – так называемой геометрической алгебры (ГА), в которой для выполнения алгебраических операций использовалась геометрическая форма: ней оперировали не с числами, а с отрезками, прямоугольниками, окружностями.

Вот эту задачу и решал Евклид, создав 13 книг, описывающих геометрические фигуры (ГФ) без единой числовой привязки, только с помощью доказательных рассуждений и чертежей, так, чтобы они годились и для рациональных чисел и для несоизмеримых между собой величин.

Интересно, что “уже софист Протагор отказался от представления, что геометрия основана на идеальных, вечных объектах. …он утверждал, что касательная имеет с окружностью больше чем одну точку соприкосновения. Это будет верным, если иметь в виду не идеальные, а нарисованные или встречающиеся в природе линии и круги. но для Платона геометрическая фигура была не “предметом”, а “идеей”, которую можно охватить лишь мысленно. Платоновская геометрия является наукой, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет. Это убеждение в идеальном характере геометрических фигур является не просто красивой идеей Платона. По его мнению, только на этой идеальной, чисто разумной основе в математике вообще возможно получение неопровержимых результатов и убедительных доказательств” [2].

Природа, в силу своей сложности, создает ГФ, даже такие, вроде бы простые, как треугольник, квадрат и другие в иррациональном исполнении, т.е. содержащими иррациональные отрезки. Но, как известно, абсолютно точное измерение невозможно, поэтому никакие реальные предметы не имеют точных размеров. Греческая геометрия постепенно отдалялась от опыта и ее предмет составляли уже не реальные, а идеальные фигуры. Таким образом, геометрия отделилась от действительности, ее предмет исследования становится идеальным, только мыслимым. Как пишет А.Д.Александров “В геометрии заключается противоречие: будучи наукой об идеальных, только мыслимых, фигурах, она считалась безусловно верной для реальных форм и отношений при предельном их уточнении” [3]. Поясним это на конкретных ГФ, представленных в “НАЧАЛАХ”.

1.1. Правильный треугольник. Начинаем с него, т.к. самое первое, в этом грандиозном трактате “НАЧАЛА”, дано посвященное треугольнику

Предложение 1. На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.

И далее начинается практическая геометрия (Рис.1, где штриховка означает иррациональный отрезок): из центра А раствором АВ описывается круг (!) (постулат 3),

Рис.1

затем из центра В - второй и из точки С, в которой круги пересекаются, проводятся к точкам А и В соединяющие прямые СА и СВ.

При построении ГФ даже духа каких-то циркулей и линеек не выносится и не упоминается (“раствор АВ”, “соединяющие прямые”) – все идеально изящно, сугубо абстрактно и строго математично.

А дальше идет теоретическая геометрия: доказывается, что в силу таких-то и таких причин прямые (!) АВ, АС и ВС оказываются равными, а следовательно, построенный треугольник АВС равносторонний (определение 20).

Вот так, вроде бы, все красиво и аккуратно, а на самом деле одна из координат точки С является иррациональным числом, поскольку, если АВ=2, то DC = 𝑦_𝑐 = √3. Поэтому пересечение прямых в точке С является фиктивным в силу иррациональности √3 [4]. Эта точка обретет свое место лишь актуально в недоступной для нас “бесконечной” последовательности итераций, где, наконец, складывается равносторонний треугольник. Кстати, эта ситуация отмечается и ревнителями логической строгости: пусть С есть точка пересечения двух построенных окружностей. Но откуда видно, что эти две окружности пересекаются. Это не вытекает ни из каких постулатов и аксиом, а устанавливается на основании чертежа. Подтверждается замечание Н.Г. Абеля:

”Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах”. В наших же условиях, построение это происходит приближенно, с погрешностями, которые невозможно устранить и приходиться довольствоваться “кривотреугольником”. Таким образом, “НАЧАЛА” описывают ГФ, существующие лишь мысленно, абстрактно, идеально. И к таким ГФ в актуальном пределе приближаются предложенные приближенные построения.

Альтернативный подход состоит в аппроксимации правильного треугольника пифагоровыми треугольниками [5]. Вместо треугольника АСD, искаженного иррациональной стороной СD, находится пифагоров треугольник с рациональными размерами. Для этого возьмем пифагоров треугольник с катетами m и n и гипотенузой 2m+1 и, после составления уравнения связи, вычислим искомые m и n. Одним из решений является пара: m = 4541160, n = 7865521, следовательно, пифагоров треугольник имеет вид (4541160; 7865521; 9082321). Тогда, после нормировки получается треугольник со сторонами (1/2; 7865521 / 9082320; 9082321 / 9082320) или в десятичных дробях (0.5; 0.8660255; 1.0000001). Соединяя эти два треугольника, получаем искомый (1; 1.0000001; 1.0000001). Увеличивая значения m и n, получаем треугольники с любой степенью точности приближения.

формате PDF (314Кб)