Давид Гильберт (1862 – 1943) рассматривал математику как формальную дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению. Он считал приемлемым упоминание трансфинитных множеств лишь в том случае, если аксиомы, включающие закон исключённого третьего и закон противоречия, не приводят к противоречию. В аксиоматике Гильберта трансфинитные множества и числа не являются частью базового набора понятий.

После открытий Курта Гёделя (1906 – 1978) стало ясно, что программа Гильберта по формализации основ математики имеет ограничения. Гёдель показал, что при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть финитными средствами, предусмотренными Гильбертом. В связи с этим в число логических средств была добавлена трансфинитная индукция — обобщение финитной индукции на несчётное число параметров.

Как уже отмечалась в работе [Кудрин, Хруцкий, 2017], логика Аристотеля (в отличие от его переводчиков и эпигонов) была трехзначной и предполагала справедливость ЗАКОНА ВКЛЮЧЁННОГО ТРЕТЬЕГО.

Нередукционистская аксиоматическая система непременно должна строиться на законе включённого третьего и признании реальности трансфинитных множеств [Кудрин, 2019]. В современной философии математики обычно принято противопоставлять учение Георга Кантора о реальности актуально трансфинитного учению Аристотеля, будто бы отрицавшего эту реальность. Но именно учение Аристотеля об энтелехии (предполагающее реальность актуализации, то есть перехода потенциально сущего в актуально сущее) даёт возможность оправдать учение Кантора о трансфинитном. Антиномия терминов "актуальное" и "трансфинитное" разрешается именно тем, что трансфинитное реально существует именно в виде энтелехии! Мы намеренно не используем русское слово "бесконечное", так как оно не совсем верно передаёт смысл Канторовского термина "трансфинитное", который правильно было бы перевести на русский как "законечное" – отсюда значительная часть недоразумений, возникающих при переводах трудов Георга Кантора на русский язык. (А "бесконечному" соответствовал бы латинский термин "infinitum"). В этой связи необходимо вновь упомянуть разрабатываемое В.И. Моисеевым новое математическое направление – релятивистский анализ количества, согласно которому понятие количества является относительным, и однозначно определяется лишь в рамках так называемых "количественных систем", в том числе относительными являются понятия конечного и трансфинитного – конечное в одной количественной системе может оказаться трансфинитным в другой, благодаря чему расширяется понятие числа [Моисеев, 2025].

Как известно, выделение математики в отдельную от философии предметную область привело к превращению ее в изощренную игру по придуманной игроками правилам, подобным шахматным или шашечным (причем вопрос о соответствии математических объектов объектам реального мiра даже не принято ставить).

"Сюрреальные числа" Джона Хортона Конвея (1937 – 2020) введены им в процессе игры, и выражают его отношение к математике как к игре. Правила и структура этой игры возникли в контексте исследования комбинаторных игр, в частности, эндшпилей игры го. Конвей разработал их, анализируя стратегии и структуры в играх, что позволило ему создать систему, объединяющую простоту правил с богатым алгебраическим и арифметическим содержанием.

Сюрреальные числа строятся рекурсивно, где каждое число определяется двумя множествами: левым и правым. При этом важно, что ни один элемент из левого множества не может быть больше или равен любому элементу из правого множества. Это напоминает построение игр с определёнными правилами, где можно сравнивать и упорядочивать различные позиции [Конвей, 2021; Кауффман, 2023; Шляйхер, 2023].

Конвей любил заявлять о себе (несколько вызывающе), что "не проработал ни единого дня, а только играл в математику". Его попытка построить теорию порядковых типов (ординалов) оставляет неразрешённым вопрос о бытийном статусе построенных им объектов и структур. Обладают ли они реальным бытийным статусом, или представляют собой фикции, подобные "эйдосам" Платона? Вопрос этот сможет быть разрешён лишь в процессе построения холистической (негильбертовой) аксиоматической системы [Кудрин, 2019].

Аристотель. Соч.: В 4-т. – М.: ЭКСМО, 2006.

Кауффман Л.Х. Памяти Джона Хортона Конвея // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2023. — Вып. 30.

Конвей Дж. Х. Игры разнообразные, яркие и красивые // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2021. — Вып. 28. — С.97—121.

Конвей Дж. Х., Патерсон М.С. Каверзная задача / Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2021. — Вып. 28. — С. 88—96.

Кудрин В.Б. Время Аристотеля: как возможна гилетическая математика? // Пространство и Время, 2016, № 3 – 4 (25 – 26). С. 93 – 103.

Кудрин В.Б., Хруцкий К.С., Трехзначная логика и троичная информатика Н.П. Брусенцова: их аристотелевские основания // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.24058, 11.12.2017:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261287.htm

Кудрин В.Б. Пути преодоления редукционистской математики и создания математики целостности // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25195, 17.02.2019:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00163952.htm

Кудрин В.Б. Живительная сила антиномий // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.29957, 05.04.2026:

https://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001k/00166072.htm

Конвей Дж. Х. Игры разнообразные, яркие и красивые // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2021. — Вып. 28. — С.97—121.

Конвей Дж. Х., Патерсон М.С. Каверзная задача / Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2021. — Вып. 28. — С. 88—96.

Моисеев В.И. Основы R-анализа. М.: Перо, 2025.

Шляйхер Д. Джон Конвей: человек, который играл в математику // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2023. — Вып. 30.