Дискуссии - Наука

В.И. Сушков

Ваши мозги умнее вас. Помните это.

Если они отказываются что-то принять,

то потому, что нашли противоречие.

Только не могут вам этого сказать.

Найдёте противоречие – они простят вас.

– Это я на лекциях.

Тема дифференциалов и особенно их инвариантности, – та самая, в которой мозги студентов умнее их самих. В подавляющем большинстве наших учебников уже 80 лет дифференциалы излагают неверно. Это очень затрудняет обучение искусству составления дифференциальных уравнений, замене переменных в них и особенно затрудняет понимание механики сплошных сред (МСС). Её основа это умение переходить от лагранжева описания течения (как потока частиц) к эйлерову (поток как векторное поле скоростей) и обратно. При этом переменные, которые были функциями в одном описании, играют роль свободных переменных в другом. Студент, обученный по стандартной методике, приучен верить, что зависимая переменная и независимая переменная – несовместные понятия и не может понять МСС. Мозги протестуют. Поэтому подавляющее большинство студентов становятся пользователями готовых дифференциальных уравнений, плохо понимая их соответствие реальности. Дальнейшее развитие основ механики сплошной среды в России оказалось остановлено плохим изложением дифференциалов в учебниках.

Стандартный рассказ о дифференциалах выглядит так. Функцию y(x) называют дифференцируемой по Лагранжу, если её приращение ∆y=y(x+∆x)–y(x) допускает степенное разложение первой степени

∆y = k(x)•∆x+o(∆x)

Здесь о(∆x) – бесконечно малая при стремлении ∆x к нулю, имеющая более высокий порядок малости, чем ∆x;

коэффициент k(x) называют производной функцией y'(x) ( или просто "производной", "производной функции y(x)");

главную линейную часть называют дифференциалом

dy = y'(x)∆x

Затем каким-то образом (в 99% случаев некорректно) получают формулы старших дифференциалов.

d²y = y''(x)∆x²

d³y = y'''(x)∆x³ и т.д.

А затем повторяют грубейшую ошибку О.Коши 200-летней давности: в формулах всех дифференциалов заменяют ∆x на dx.

Этой заменой Коши хотел вывести обозначения Лейбница для производных

y' = dy/dx; y'' = d²y/dx² и т.д.

Но он игнорировал то, что в этих обозначениях написаны дифференциалы Лейбница, а не Лагранжа. (В интегралах тоже они).

Это не вещественные числа. Они уже бесконечно малые, меньшие любого вещественного. Именно так. С 1966 их называют гипервещественными числами А.Робинсона, автора "нестандартного анализа". Это особая алгебра [3].

У нас вслед за О.Коши 200 лет делают ту же ошибку и в нагрузку получают целый комплекс ошибок, называемых "инвариантность первого дифференциала и неивариантность старших", причём последняя означает противоестественную и игнорируемую самими авторами пособий обязанность заменять формулу дифференциала на более громоздкую в случае, когда x – функция. "Первооткрывателем" этого комплекса нелепостей в 1946 был проф. Г.М.Фихтенгольц.

Я не буду анализировать здесь неверные рассуждения из учебников, поскольку уже разбирал их в других статьях [1,2]. Большой вред приносит не только сама "неинвариантность", но и её "доказательства": студентов заставляют верить в их истинность. Огромный масштаб вреда может видеть только профессионал.

Все те неверные рассуждения опираются на то, что переменная может быть либо зависимой либо независимой, а вот то, что зависимую переменную можно использовать в качестве независимой, все авторы учебников упускают.

Покажем правильный подход ко всем этим понятиям. Его первооткрывателем был Пеано.

Классический математический анализ это искусство заменять функцию многочленом (полиномом Тэйлора) при использовании специального критерия их близости (малость остатка).

Дифференциалы

dy = y'(x)∆x

d²y = y''(x)∆x²

d³y = y'''(x)∆x³ и т.д. –

это члены полинома, просто степенные функции от переменной ∆х.

Порядок дифференциала — это не столько число вычислений производной, как внушают в учебниках, сколько показатель степени над переменной ∆x, – понятие из школьной алгебры.

Производные это просто коэффициенты в этих степенных функциях.

Сумме функций соответствует сумма их полиномов Тэйлора. Произведению - произведение, делению – деление, суперпозиции – суперпозиция. Потому что функция и её степенное разложение это одно и то же (на некотором промежутке).

Поэтому ВСЕ правила действий с производными и дифференциалами любых порядков это замаскированные школьные правила действий с многочленами. Грубо говоря, правил действий с производными знать не надо. Заменяйте функции полиномами Тэйлора, действуйте как в школьной алгебре и всё получится само собой.

Разумеется, я умолчал о некоторых деталях, чтобы выделить главное: если вы затрудняетесь в использовании производных, используйте степенные разложения и школьную алгебру.

Например: получим формулы первых трёх дифференциалов для сложной функции (суперпозиции функций) чисто алгебраически.

Пусть y = y(x(t)). Придадим переменной t приращение ∆t. Тогда функция x(t) получит приращение

∆x = x(t+∆t) – x(t)

Возьмём разложение величины

y(x(t+∆t)) = y(x+∆x)

по степеням ∆x

y(x+∆x) = y(x) + y'(x)∆x + y''(x)∆x²/2! +y'''(x)∆x³/3! + o(∆x³)

и подставим в него разложение ∆x по степеням ∆t (суперпозиции функций соответствует суперпозиция равных им степенных разложений)

∆x = x'(t)∆t + x''(t)∆t²/2! + x'''(t)∆t³/3! + o(∆t³) = dx + d²x/2! + d³x/3! + o(∆t³)

После возведения ∆x в степени 1,2,3 раскроем скобки, сгруппируем слагаемые по одинаковым степеням величины ∆t, а степени больше 3 отнесём в остаток. Получим:

y(x(t+∆t)) = y(x(t)) + y'(x)dx+[y ''(x)dx² + y'(x)d²x] /2! + [y '''(x)dx³ + 3y''(x)dxd²x + y'(x)d³x] /3! +(Δt³)

Обратите внимание: это разложение по степеням ∆t, просто эта величина спрятана в дифференциалах икса (каков порядок дифференциала икса, такова и степень ∆t в нём).

Выделяя слагаемые 1,2,3 степени получаем формулы дифференциалов сложной функции. Чтобы это было виднее, обозначим суперпозицию как одну функцию Y(t) = y(x(t)) и припишем справа те же самые дифференциалы в привычном виде

dy = y'(x)dx = Y'(t)∆t

d²y = y''(x)dx² + y'(x)d²x = Y''(t)∆t²

d³y = y'''(x)dx³ + 3y''(x)dxd²x + y'(x)d³x = Y'''(t)∆t³

Как видите, это просто алгебра. При желании можно раскрыть дифференциалы икса и получить отсюда формулы 1,2,3 производных сложной функции.

Причин ошибки Г.М.Фихтенгольца я вижу две.

Вслед за О.Коши он пишет о замене в дифференциале одной переменной x на функцию x(t). Тогда как на самом деле он выполняет замену двух переменных (x, ∆x) на две переменных (t, ∆t) по формулам

x= x(t)

∆x = x(t+∆t) – x(t)

Далее, во времена его молодости в численном решении дифференциальных уравнений (вручную, это надо видеть!) очень широко использовали первую, вторую и т.д. разности

∆x = x(t+∆t) – x(t)

∆²x = x(t+∆t) – 2x(t) + x(t – ∆t) и т.д.,

отношением которых приближенно заменяли производные

x'(t) ≈ ∆x/∆t

x''(t) ≈ ∆²x/∆t² , и т.д.

Чтобы эти равенства стали точными, надо устремить разности к нулю. Именно этот предельный случай Лейбниц и обозначал, заменяя букву ∆ на букву d и заменяя слово "дифференция" на слово "дифференциал".

Потом Лагранж увидел, что в степенных разложениях присутствуют такие же выражения, но не бесконечно малые. Ну а дальше про Коши я уже рассказал.

Проф. Г.М. Фихтенгольц находился в плену этих понятий и подсознательно верил, что величина ∆x получается из икса под действием разностного оператора. И потому если x - функция, то ∆x зависит от её величины. Я не сомневаюсь в этом, потому что тоже испытывал такое заблуждение на подсознательном уровне и видел его у старших коллег. Отсюда и проистекли все описанные выше ошибки.

На самом же деле здесь ∆x просто двухбуквенное имя свободной (т.е. управляемой нами) переменной. Если же мы заменяем в дифференциале аргументы, мы обязаны делать это правильно: говорить о замене ДВУХ переменных (x, ∆x) на ДВЕ переменные (t, ∆t). И хотя икс становится функцией (переменной, зависимой от других), мы можем использовать и его и его приращение как свободные переменные, ибо можем задать им желаемые нами значения подбором двух величин (t, ∆t). Ведь ∆x зависит от них обеих. Вот этого и не заметил Г.М. Фихтенгольц и все его последователи.

(t, ∆t) –> (x, ∆x) —> (y, ∆y)

В каждой паре значения переменной можно менять независимо от другой переменной выбором двух предыдущих в цепочке величин. В этой цепочке первичными (независимыми) можно выбрать как (t, ∆t), так и (x, ∆x). Это определяем мы сами, а не выдуманные в 1946 году свойства дифференциалов.

ИТОГ

1. Матанализ возник как искусство заменять функции многочленами (Тэйлора). Для многочленов есть алгебра. Это причина таких желаний. Поэтому самое главное понятие там – степенное разложение. Дифференциал это всего лишь член степенного разложения, степенная функция. А производная – коэффициент в дифференциале соответствующей степени (порядка). Правила действий с производными — это замаскированные школьные правила действий с многочленами. В случае затруднений в их использовании следует переходить к степенным разложениям.

2. Правильные формулы дифференциалов имеют вид

dy = y'(x)∆x

d²y = y''(x)∆x²

d³y = y'''(x)∆x³ и т.д.

В них нельзя менять ∆x на dx, как это делают в учебниках.

Икс здесь может быть и свободной и зависимой переменной (функцией от иных переменных); все дифференциалы инвариантны в этом смысле, вопреки учебникам.

При желании заменить икс на какую-то функцию надо помнить, что дифференциал – функция ДВУХ независимых друг от друга аргументов (x, ∆x) и менять надо оба. Два на два.

При подстановке в ∆x его степенного разложения надо помнить, что возникнут слагаемые всех высших степеней. Т.е. n-й дифференциал в разложении по степеням ∆x породит слагаемые со степенями n и выше. Дифференциал не порождает только дифференциал той же степени. Это обстоятельство и могло бы частично оправдать термин "неинвариантность дифференциалов".

3. Дифференциал сложной функции

dy = y'(x)dx

есть член разложения по степеням ∆t, а не ∆x. Поэтому бессмысленно рассуждать о том, что с ним будет, если икс окажется функцией. В нём икс уже функция.

Вопреки утверждениям в учебниках эта формула не является более общей, чем y'(x)∆x уже потому, что последняя взята из определения и допускает подстановку недифференцируемых функций x(t).

4. Замена аргумента на функцию не обязательно должна сопровождаться использованием формул дифференциала сложной функции. Суперпозицию y(x(t)) можно раскладывать и по степеням t и по степеням x. Это решаем мы сами, а не некие выдуманные в 1946 году свойства дифференциалов. Авторы учебников, возвещающие такие требования, сами забывают их при решении задач: суперпозиции функций они заменяют суперпозицией их степенных разложений. Так поступали уже Ньютон и Лейбниц.

5. Рассказывать о производных как коэффициентах степенного разложения предложил Пеано 120 лет назад. При этом немного расширяется класс дифференцируемых функций, но это не существенно для инженерной практики. То, что вторая производная является производной от первой производной, придётся доказывать. Но справедливости ради отмечу, что традиционное определение второго дифференциала как дифференциала от первого есть ... ловкость рук. Дело в том, что уже первый дифференциал есть функция двух аргументов, а не одного. При аккуратном изложении придётся говорить о полилинейных формах, их симметризации и поляризации [4]. При традиционном построении курса это невозможно. А я в 1990 в первом семестре сумел дать достаточные для понимания сведения из алгебры. Особенно помогло изображение дифференциалов в виде блоков, как в электронике [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. В.И. Сушков. Инвариантность первого дифференциала - нелепость в курсе математического анализа //Вестник Петровской академии. 2008 №10 с.14 - 20.2. В.И. Сушков. Инвариантность первого дифференциала - нелепость в курсе математического анализа [Электронный ресурс]//Движение за возрождение отечественной науки.URL: http://www.za-nauku.ru//index.php?option=com_content&task=view&id=1003&Itemid=31 (дата публикации: 26.09.2008)

3. Хэтчер. Анализ есть алгебра. 1982 [Электронный ресурс] URL: https://www.sci-hub.ru/10.1080/00029890.1982.11995456

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: ФМЛ, 2004.

5. Сушков В.И. Каким должен быть типовой курс высшей математики XXI века. План лекций 1990 года с комментариями. [Электронный ресурс] URL: https://t.me/InMathWeLive/61

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]