В работе предлагается элементарная алгебраическая схема возникновения чисел Салема, основанная на линейных разреженных рекурсиях и минимальной симметризации их характеристических многочленов. Показано, что доминирующие корни соответствующих симметризованных многочленов образуют явное семейство чисел Салема, которое при увеличении параметра сходится к числу Лемера. Предложенный подход носит прозрачный и вычислительно наглядный характер и позволяет интерпретировать число Лемера как предельный объект в простом и естественном семействе алгебраических конструкций. Цель настоящей работы — предложить простую и наглядную алгебраическую схему, в рамках которой числа Салема возникают естественным образом из элементарных разреженных рекуррентных формул, а число Лемера появляется как их спектральный предел.

Числа Салема занимают особое место в спектральной теории алгебраических чисел. Они возникают на границе между числами Пизо и более общими алгебраическими числами и связаны с самыми разными областями математики — от динамических систем и теории графов до геометрии и теории операторов. Несмотря на простоту формального определения, структура чисел Салема и механизмы их возникновения остаются существенно более тонкими, чем в случае чисел Пизо. Если говорить образно, число Салема — это число, которое живёт на границе между зоной устойчивости и хаоса. Его алгебраические «тени» (сопряжённые корни) не убегают далеко и не сжимаются внутрь, а аккуратно выстраиваются по окружности. Такое поведение встречается крайне редко.

Особый интерес представляет число Лемера — наименьшее из известных чисел Салема, впервые появившееся в работе Д. Лемера в 1933 году. До настоящего времени неизвестно, существует ли число Салема, строго меньшее числа Лемера, что придаёт ему статус предельного и в некотором смысле универсального объекта в теории.

В настоящей работе предлагается простой и наглядный механизм возникновения чисел Салема, основанный на элементарных линейных рекурсиях с малым числом ненулевых слагаемых. Показано, что естественная алгебраическая симметризация соответствующих характеристических многочленов приводит к явному семейству чисел Салема, сходящемуся к числу Лемера.

Увеличить >>>

Рассмотрим линейные рекуррентные последовательности порядка m, определяемые соотношением xn = xn−1 + xn−m, n ≥ m, где m ≥ 2 — фиксированный целочисленный параметр. Такие рекурсии являются разреженными в том смысле, что в правой части участвуют лишь два слагаемых. В таблице 1 приводятся примеры таких рекурсий до значения Хn, где n=50. Мы используем формулу и делаем скользящее рекуррентное сложение, значения Х могут принимать как положительные, так и отрицательными натуральными числами, как целыми, так быть десятичными дробями. При больших номерах отношение соседних членов стабилизируется и стремится к одному и тому же значению. Это значение — не случайное. Это специальное алгебраическое число. См. таблицу заданной рекурсии.

формате PDF (507Кб)