Аннотация. Потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества. На основе этой предложенной нами ранее исходной аксиомы обоснована гипотеза: на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] существует: а) несчетное множество иррациональных чисел вида 0,999…1415926535…; конечное множество рациональных чисел вида 0,999…; всюду плотное множество мета рациональных чисел вида 0,999…5. Таким образом, первая проблема Гильберта находится в русле различения актуальной и потенциальной бесконечностей, обобщения понятия рационального числа.

Ключевые слова: актуальная и потенциальная бесконечность, мощность множества, взаимно однозначное соответствие, числовая прямая.

Математики часто не задумываются над философскими проблемами своей науки, однако, существуют и исключения из правил. Например, С.В. Ларин указывая на необходимость другой трактовки понятия представимости действительного числа десятичной дробью, строго математически обосновывает то, что: «…в записи 0, c1, c2… девятка не может повторяться бесконечное число раз подряд» [5, с.99-100; 76-80]. Однако, часто математики необоснованно полагают, что если между числами 0,(9) и 1,(0) невозможно представить себе какого-либо действительного числа, то сами эти числа: 0,(9) и 1,(0) – представляют собой одно и тоже число (?).

Нами предлагается не ортодоксальная гипотеза, базирующуюся на следующей аксиоме, которая лежит в основании математики: потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества [3, с.213-218]. По поводу неразличения математиками мощности множества знаков периодических и непериодических десятичных дробей А.А. Зенкин пишет: «есть… конечный символ … конечного алфавита десятичных знаков соответствующих бесконечных последовательностей 3,1415…, 2, 7182…, 1,4142… (здесь и далее целую часть мы игнорируем, чтобы не выйти за пределы отрезка [0,1]), – работающая с неизменной эффективностью математика полностью игнорирует важнейший с точки зрения философии (и классической теории множеств) вопрос о том, является ли бесконечный денотат действительного числа актуально – бесконечным…или же он является потенциально бесконечным» [1, с.185]. Но в чем различия актуальной и потенциальной бесконечностей?

Актуально бесконечное множество – это множество, правильная часть которого эквивалентна целому. Актуально бесконечное множество не производно от потенциально бесконечного множества путем простого увеличения числа элементов последнего, т.е. оно не достижимо путем математической индукции с помощью индукционного перехода n+1, это натуральный ряд, взятый в целом.

Потенциально бесконечное множество – это множество, которое в каждый конечный момент конечно и содержит k элементов, однако для таких множеств, в любой следующий момент времени, можно добавить еще один элемент: k+1. Подобное означает, что потенциально бесконечное множество – это множество, которое обладает неопределенно большим, но конечным по мощности множеством элементов. Соответственно: область изменения потенциально бесконечной величины – есть актуально бесконечное множество [см.:1, с.375].

Гипотеза: на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] существует: а) несчетное множество иррациональных чисел вида 0,999…1415926535…; конечное множество рациональных чисел вида 0,999…; всюду плотное множество мета рациональных чисел вида 0,999…5. Для обоснования гипотезы рассмотрим отрезок числовой прямой [0,999…, 1,000…].

1) Равенство 0, 999… = 1,000… нельзя понимать буквально, т.е. как равенство этих чисел на числовой прямой. Необходимо различать нетождественные друг другу понятия: а) конвенциональное представление числа 1, 000… дробью 0,999…; б) неравенство значений на числовой прямой чисел 1, 000… и 0, 999… Ведь, точный смысл этого равенства 0, 999… = 1,000… в том, что потенциально бесконечная последовательность: S1 = 0,9, S2 = 0,99…, S n, …, как величина, сходится к 1. Однако, не существует числа s, к которому бы сходилась последовательность у непериодической дроби [6, с. 24-27]. Только в силу подобного рассуждения достигается единственность значения всякого действительного числа, представленного десятичной дробью.

2) Дробь 0, 999… – есть действительное число на числовой прямой. Всякое действительное число можно записать в виде десятичной дроби, а множество всех действительных чисел можно описать как совокупность всех десятичных дробей, как справедливо обращает внимание на это Л.С. Понтрягин [6, с.53-56]. Но, между числами 0,999… и 1,000… на числовой прямой присутствует множество других чисел, среди которых и такое как их среднее арифметическое: 0,9…5. Рассмотрим это особенно интересующее нас гипотетически существующее число.

3) Число 0,999…5 – не есть рациональное число, т.к. его невозможно представить в виде обыкновенной дроби с целым числом в числителе и натуральным числом в знаменателе, а также ввиду того, что не существует числа s, к которому бы сходилась последовательность чисел у дроби 0,9…5.

4) Число 0,999…5 – не есть иррациональное число, т.к. оно не имеет актуально бесконечного множества знаков после запятой, как, например, число 3,141… (Числа с актуально бесконечным множеством знаков после запятой существуют, причём цифры в десятичном представлении этих иррациональных чисел непериодической дробью могут быть какими угодно от 0 до 9 на любой позиции. Однако, в десятичном представлении рационального числа периодической дробью цифры в периоде строго упорядочены, например, в числе 0,999…).

5) Только число, имеющее в десятичном представлении актуально (но не потенциально!) бесконечное множество знаков, является иррациональным. Однако, из того, что иррациональное число, представляемое непериодической дробью, не существует в виде обыкновенной дроби, логически не следует то, что у каждого не являющимся рациональным числа, в его десятичном представлении, должно быть именно актуально бесконечное множество знаков после запятой.

6) Число 0,999…5 не имеет актуально бесконечного множества знаков после запятой и, соответственно, оно не есть иррациональное число. Но это число не является и вполне рациональным, т.к. оно не представлено периодической дробью, но представлено квази-бесконечной непериодической дробью. К всякой периодической десятичной дроби, как мы полагаем, может быть добавлена некоторая произвольная конечная последовательность цифр и, таким способом, образовано новое число вида 0, f1, f2…f n. Число этого вида образует, таким образом, новое поколение чисел, которое мы назовем мета рациональными.

7) В актуально бесконечном множестве знаков непериодической дроби, представляющей собой нормальное иррациональное число, любая потенциально бесконечная последовательность цифр (в т.ч. одинаковых) может встретиться на любом месте. Таким образом, если определенно, существует иррациональное число, например, 0,9…141… и если мы допускаем то, что существует рациональное число 0,9…, то мы обязаны будем допустить существование и мета рационального числа вида: 0,9…141.

8) Определение: мета рациональное число – это действительное число, которое являясь не вполне рациональным, при этом определенно не является иррациональным числом.

Но почему мета рациональное число существует?

Мы полагаем, что мета рациональное число существует в силу следующих логических и математических обстоятельств.

1. Между двумя близкими рациональными числами во всюду плотном множестве на числовой прямой обязательно должно быть рациональное число или близкое к нему по свойствам, т.е. мета рациональное число.
2. Потенциально бесконечная десятичная дробь имеет конечное по мощности потенциально бесконечное множество знаков. Потенциальная бесконечность должна пониматься в смысле Г. Кантора, т.е. как «несобственная бесконечность».
3. К потенциально бесконечной периодической дроби справа всегда допустимо добавить еще цифру, отличную от значения периода и, так образовать новое число.
4. Между любыми двумя близкими рациональными числами присутствует среднее арифметическое этих чисел, которое может выразить только мета рациональное число вида 0, f1, f2…f n. Например, между числами 0,999… и 1,000… существует мета рациональное число, которое представляет квази-бесконечная непериодическая дробь 0,999…5.
5. Значение всякого действительного числа с необходимостью должно быть единственным.
6. Каждое из чисел, включая 0,999… и 1,000… представляет только самое себя.
7. Непериодическая актуально бесконечная десятичная дробь может начинаться произвольной потенциально бесконечной последовательностью цифр (знаков) после запятой, как например, дробь 3, 142…
8. Цифры (знаки) непериодической дроби непосредственно после запятой могут представлять собой и потенциально бесконечную последовательность одинаковых знаков, например, «девяток»: 0, 9...3142...
9. Иррациональное число 0, 9...3142... имеет право на существование, но важно оговорить то, что в этом числе после цифры 9 знак (...) означает потенциальную бесконечность, а после цифры 2, знак (...) означает актуальную бесконечность множества знаков.
10. Неоднозначность в математике ныне существует не в представлении значения числа 1, а в представлении знака (...). 
11. Непериодическую десятичную актуально бесконечную дробь всегда можно непротиворечиво сократить до конечной десятичной дроби, которая является её приближенным значением, как допустимо, например, сократить до приближенного значения число π ≈ 3, 142.
12. Непериодическую актуально бесконечную дробь всегда можно непротиворечиво представить, как: а) актуально бесконечную и несократимую 0, 9...3142...; б) укороченную (сокращенную) до квази-бесконечной непериодической дроби; 0, 9...3142; в) укороченную (сокращенную) до периодической дроби 0,9….

1. Исходя из анализа с привлечением диагонального метода Г. Кантора: множество мета рациональных чисел не является счетным. Для мета рационального числа, характерно то, что оно имеет конечное множество цифр после периода, однако при сколь угодно длительном счете, мы не обнаружим для него места в диагональной таблице. Но мета рациональное число имеет право существовать на том же самом логическом основании, что и иррациональное число.

2. Исходя из того, что всякое мета рациональное число не содержит актуально бесконечного множества знаков – само множество всех мета рациональных чисел не континуально.

3. Актуально бесконечная непериодическая дробь, представляющая нормальное иррациональное число, имеет структуру, состоящую: а) из актуально бесконечной последовательности различных цифр; б) из потенциально бесконечных последовательностей одинаковых цифр.

4. Множество мета рациональных чисел на числовой прямой представляет всюду плотное множество.

5. В системе мета рациональных чисел допустимы те же действия, что и в системе целых чисел, но только с числами, расположенным справа от периодической части, т. е.: сложение и умножение, вычитание и деление. Например, как минимум, допустимы следующие действия с мета рациональными числами: 0,(999…)1 + 0,(999…)4 = 0,(999…)5 и 0,(999…)1*5 = 0,(999…)5 и 0,(999…)5 – 0,(999…)4 = 0,(999…)1 и 0,(999…)5/5 = 0,(999…)1.

Но, возможно, обычная арифметика в данном случае полностью не подходит: операции сложения и умножения, а также всю метрику пространства необходимо будет определять по отношению к мета рациональным числам заново как это делается, например, в теории р-адических чисел.

6. Существование множества мета рациональных чисел не зависит от системы аксиом Цермело-Френкеля как с аксиомой выбора, так и без неё; но при этом: оно не совместимо с континуум-гипотезой Кантора. То есть: континуум-гипотеза верна, если не существует мета рационального числа и континуум-гипотеза не верна, если существует мета рациональное число. Таким образом, можно утверждать, что вполне допустимо то, что существует множество промежуточной мощности, т. е. множество мета рациональных чисел, представляемых квази-бесконечными непериодическими десятичными дробями, т.е. множество T, ℕ⸦T⸦ℝ, которое не эквивалентно ни ℕ, ни ℝ.

Первая проблема Гильберта – это проблема Кантора о мощности континуума. Доказано, что эта проблема неразрешима в теории множеств на основе аксиоматики Цермело-Френкеля. Примем за основу одну из допустимых формулировок континуум-гипотезы: с точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум. То есть нет множества на отрезке [0,1], которое было бы несчетным и при этом не континуумом.

«В некотором смысле в такой ситуации мы имеем две теории множеств, и последняя возможность называется неканторовской теорией множеств… нынешние математики в целом не разделяют убеждения Кантора в правильности континуум-гипотезы (выделено мною, М.Г-Л)» [7, с.42]. Если последнее утверждение соответствует действительности, то наша гипотеза должна быть востребована математиками. Если континуум-гипотеза справедлива, то мета рациональные числа не существуют, но если континуум гипотеза не справедлива, то мета рациональные числа существуют.

Наша гипотеза существования мета рационального числа полезна следующим.

1) Становится понятным – почему точка, брошенная на числовую прямую, почти наверняка попадет на иррациональное число, мера Лебега множества которых равна 1.

2) Гипотеза относительно заполняет пробелы на числовой прямой, а ведь сечение Дедекинда рациональным числом, связано с пробелами, т.е. при нем отсутствуют граничные элементы.

3) Гипотеза объясняет полное отсутствие пробелов и наличие единственного граничного элемента, при сечении Дедекинда иррациональным числом, тем, что: только иррациональное число, в десятичном представлении которого актуально бесконечное множество знаков – актуально и до основания «рассекает» континуум [4, с.19 - 24].

4) Гипотеза логически необходима для того, чтобы во всюду плотном совокупном множестве рациональных и мета рациональных чисел, на числовой прямой, на отрезке [0,999…, 1,000…] между этими двумя числами существовало бы бесконечное множество других чисел.

5) Гипотеза устраняет известную неоднозначность при буквальном понимании равенства значений двух различных чисел на числовой прямой: 1 = 1,000…и 1 = 0,999... (Ведь, потенциально бесконечная десятичная дробь не имеет бесконечного актуально «хвоста» из девяток. Предположение, что в записи 0, с1с2… девятка присутствует актуально, но не потенциально бесконечное множество раз несостоятельно, ведь значение дроби как действительное число 0,999… никогда не станет смежным или равным действительному числу и значению дроби 1, 000…).

Таким образом, первая проблема Гильберта, по нашему мнению, находится в русле различения актуальной и потенциальной бесконечностей, обобщения понятия «рациональное число» и она зависит от ответа на следующие очень непростые вопросы. Существуют ли на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] числа иного поколения, т.е. мета рациональные: 0,999…1; 0,999…2; 0,999…3; … и если существуют, то обладает ли их множество промежуточной мощностью между счетным множеством и континуумом?

Ведь, очевидно то, что для мета рационального числа, также как и для иррационального числа, мы не найдем места в диагональной таблице Г. Кантора.

Допустим, отдаленную аналогию с деревом, как с целым: почва – это нестандартная числовая прямая, многочисленные корни дерева – это множество иррациональных чисел, а рациональное число – это единый ствол дерева. Но неизвестно существует ли невидимое глазом, возможное раздвоение ствола у его основания – множество «мета рациональных чисел»? Мы полагаем, что затрудняющая познание по выражению В.В. Целищева «семантическая избыточность языковых средств описания множеств», устраняется конкретностью поставленных нами ключевых вопросов, связанных с первой проблемой Д. Гильберта [7, с.9].

1. Всякое рациональное и всякое мета рациональное число могут быть производны от иррационального числа путем, образно выражаясь, «отсечения актуально бесконечного хвоста знаков после запятой» в десятичном представлении иррационального числа.
2. Множество знаков иррационального числа, например, числа: 0,999…14159… = 0,(9)14159… актуально бесконечно. Множество знаков рационального числа, например, числа: 0, (9) = 0,999… потенциально бесконечно (см. аксиому Лозовского). Множество знаков мета рационального числа, например, числа: 0,(9)14159 = 0,999…14159 содержит потенциально бесконечное множество плюс еще «довесок» в виде конечного множества знаков.
3. Квази-бесконечное множество знаков мета рационального числа по мощности является конечным и промежуточным между счетным актуально бесконечным множеством знаков иррационального числа и потенциально бесконечным множеством (имеющим мощность конечного множества) знаков числа рационального.
4. На основании наших рассуждений можно непротиворечиво допустить: множество рациональных чисел счетное; множество иррациональных чисел континуальное; несчетное множество мета рациональных чисел по мощности, (в соответствии с диагональным аргументом Г. Кантора), является промежуточным между счетным множеством рациональных чисел и несчетным множеством иррациональных чисел. Вполне допустимо то, что через сто двадцать три года после обозначения Д. Гильбертом своих знаменитых «проблем», вторая из них получает логическое разрешение [см.: 2, с.5-13].

1. Бесконечность в математике, логике и философии // Cборник под ред. Барабашева А.Г. М. – 1997. – 400 с.
2. Болибрух А.А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) // М.: ЦНМО – 1999 – 24 с.
3. Годарев-Лозовский М.Г. Мета теоретическая аксиома о различной мощности знаков периодической и непериодической дробей, её основные следствия // IY Российская конференция «Основания фундаментальной физики и математики», М.: РУДН, – 2012. – С. 213-218.
4. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа // М.: URSS, – 2015.
5. Ларин С.В. Десятичные дроби, с. 76-80. Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной дробью, с. 99-100. // В кн. Числовые системы. М. «Академия», – 2001. 
6. Понтрягин Л.С. Десятичные дроби, с.25-27. Построение действительного числа, с. 50-55 // В кн. Анализ бесконечно малых. M.: URSS. – 2017. – 256 с.
7. Целищев В.В. Проблема семантической избыточности и определенность континуум-гипотезы в теориях множеств первого и второго порядков // Философия образования, №69. – 2016. – С. 9-19.