В статье приведены результаты исследования электрической модели последовательности чисел Фибоначчи по правилам Кирхгофа и тождествами Кассини. Правила Кирхгофа для токов и напряжений были установлены на начальной стадии становления электротехники (1841). В статье в дополнение к правилам Кирхгофа рассмотрено правило силы электрического тока – электрической мощности и ее взаимосвязи с известным в теории чисел тождествами Кассини (1860). Показана тождественность формул мощностей, потребляемых резистивными сопротивлениями лестничной электрической цепи и тождествами типа Кассини.

В целом работа носит эвристический характер и еще раз подтверждает фундаментальность лестничных электрических цепей как моделей природы, искусства, науки и техники и др.

Основной математической последовательностью чисел Фибоначчи является последовательность:

F₁    F₂    F₃    F₄    F₅    F₆    F₇    F₈    F₉    F₁₀    F₁₁    F₁₂,                      (1)

1      1      2      3      5      8     13    21    34    55     89    144,

которая образуется по рекуррентному соотношению:

F_n = F_n–1 + F_n–2, F₁ = 1, F₂ = 1.                      (2)

Числам последовательности Фибоначчи (1) характерны следующие свойства:

- сумма первых n чисел последовательности:

F₁ + F₂ + F₃ + … + F_n = F_n+2 – 1,                      (3)

- сумма первых п чисел с нечетными номерами:

F₁ + F₃ + F₅ + … + F_2п–1 = F_2n ,                          (4)

- сумма первых п чисел с четными номерами:

F₂ + F₄ + F₆ + … + F_2п = F_2п+1 – 1                      (5)

- сумма квадратов первых п чисел последовательности

F₁² + F₂ ² + … + F_n² = F_n F _{n +1.}                            (6)

Квадраты нечетных и четных членов последовательности (6) определяются тождеством, установленным в 1680 г. французским астроном Джованни Кассини (1625–1712), директором Парижской обсерватории:

F_n²= F_n-1F_{n + 1} + (–1)ⁿ⁺¹,

Тождество Кассини привлекало умы многих зарубежных и отечественных исследователей и ученых прошлых лет и наших современников [9 –16].Так, в работе М. И. Яглома (1921–1988) «Как разрезать квадрат?» приведено значение квадрата чисел Фибоначчи через суммы произведений смежных членов

F₁F₂ + F₂F₃ + F₃F₄ + … + F_2n-1F_2n = F²_2n ,                              (8)

F₁F₂ + F₂F₃ + F₃F₄ + … + F_2nF_2n+1 = F²_2n+1 – 1.                      (9)

Электрической моделью рекуррентной последовательности чисел является лестничная электрическая цепь, состоящая из n-го числа цепного соединения четырехполюсников с продольными и поперечными резисторами одинаковой величины R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = =R_н и сопротивления нагрузки любой величины R₇ = R_н (рисунок 1) [1 – 3].

формате PDF (420Кб)