Дискуссии - Наука

В.В. Игнатов

Настоящая книга посвящена использованию p-адической математики и дискретных вейвлетов Хаара для описания и конструирования сложных геометрических форм, включая формы биологических объектов. В монографии содержится вводный курс p-адической арифметики и теории p-адического интегрирования, а также подробное изложение теории вейвлетов Хаара на различных абелевых группах, включая конечные абелевы группы, группу двоично рациональных правильных дробей, а также аддитивные группы кольца и поля p-адических чисел.

В книге сделан акцент на содержательной, а не на формальной стороне изложения, в частности описаны несколько содержательных интерпретаций вейвлетов Хаара и показана связь вейвлетов Хаара с процессами p-адической диффузии и формообразования. В работе вводится понятие 2-адических гештальтов, а также обсуждается вопрос создания сложных многомерных форм путем интерпретации таких гештальтов с помощью нейронных сетей.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических специальностей.

Содержание

Предисловие

I. О пяти способах реализации кольца целых р-адических чисел

1.1. Позиционная система счисления и р-адические числа,

1.2. Одномерная дискретная вселенная

1.3. Периодичность рациональных р-адических дробей

1.4. Строение группы корней из единицы в кольце ℤр

1.5. р-Адическая метрика

1.6. Пять образов кольца, целых р-адических чисел

1.7. Дерево целочисленных р-адических шаров

1.8. Компактность топологического кольца, целых р-адических чисел

1.9. Канторово множество и 2-адические числа

1.10. Фрактальные кривые и р-адические числа

1.11. Конечное приближение р-адических чисел

1.12. Поле р-адических чисел

1.13. Строение дерева шаров поля р-адических чисел

1.14. Отображение поля ℚp, на расширенное канторово множество

1.15. Интегрирование на кольце ℤр

1.16. Интегрирование в поле ℚp

1.17. Интегрируемые функции и меры на р-адических деревьях

II. Двойственность и преобразование Фурье

2.1. Преобразование Фурье и таблица умножения

2.2. Двойственность Понтрягина,

2.3. Преобразование Фурье на группах ℤр и ℚ₀₁ (р^∞)

III. Инверсное преобразование и р-адические спектры рядов

3.1 Инверсное преобразование

3.2. Инверсное преобразование подробно

3.3 Определение р-адических спектров рядов и бесконечных произведений

3.4. Структуры, кодирующие дихотомическое деление

IV. Разложение Фурье-Хаара на конечных абелевых группах

4.1 Разложение на асимметрические функции

4.2 Случай циклической группы

4.3. Разложение на вейвлеты

4.4. Содержательная интерпретация разложения Хаара

4.5. N-мерное разложение Хаара

4.6. Обобщенное разложение Хаара, правило Леонардо и дерево Пифагора

V. Бесконечномерные разложения Фурье-Хаара

5.1 Гармонический анализ на р-адических группах

5.2. 2-Адическая диффузия и разложение на асимметрические функции

5.3. Разложение Фурье-Хаара на кольце ℤр

5.4. Кратномасштабный анализ и аксиоматический подход к дискретным вейвлетам

5.5 Разложение по асимметрическим функциям в ℱ(ℚp)

VI. Дихотомическое деление и морфогенетические поля

6.1. Формальная модель дихотомического деления

6.2. 2-Адическая модель морфогенеза

6.3. Клеточные структуры

6.4. 4-Адический морфогенез сферы

6.5. Пространственное разложение Хаара и морфогенез

6.5. Символизм алгебраических формул

6.5. Биоморфные формы и отображение рядов на фракталы

VII. Инварианты процессов дихотомического деления

7.1. 2-Адические гештальты

7.2. 2-Адические гештальты псевдослучайных последовательностей

7.3. 2-Адические гештальты множества простых чисел

7.4. Интерпретация 2-адических гештальтов с помощью нейронных сетей

VIII. Автоморфизмы двоичного дерева и простые числа

8.1. Изометрии кольца целых р-адических чисел

8.2. Множества натуральных чисел как автоморфизмы двоичного дерева

8.3. Множество натуральных чисел как «лес»

8.4. Алгоритм вычисления обратного множества

8.5. Последовательности, порождаемые простыми числами

IX. Иррациональные числа, двоичные дроби и парадоксы бесконечного

Послесловие

Приложение А. Системы ортогональных идемпотентов

Приложение Б. Замечания к конструктивной теории интеграла,

Приложение В. Соотношение между пространствами ℒ¹ и ℒ²

Список литературы

Предисловие

Цель настоящей книги состоит в том, чтобы применить понятия и концепции коммутативной алгебры и теории чисел, а также гармонического анализа и теории вейвлетов, для конструирования и описания биоморфных форм. Термин «биоморфная форма» вряд ли может быть предметом точного определения, а само такое определение является скорее задачей психологии зрения. Мы будем понимать под «биоморфной формой» любой геометрический объект, который вызывает отчетливые ассоциации с формой биологических организмов или их отдельных органов. Ввиду огромного разнообразия природного мира круг таких объектов оказывается достаточно широким. Поскольку все многоклеточные биологические организмы возникают из первичной клетки путем ее последовательного дихотомического деления, использование для вышеобозначенных целей адической арифметики представляется вполне естественным. Настоящая книга состоит из девяти семантически связанных между собой глав, объединенных между собой идеей дихотомического деления и соответствующими ей биологическими аллюзиями. Первая глава посвящена, р-адическим числам, теория которых излагается с акцентом на их геометрическом и конструктивном построении. Во второй главе дается краткий обзор преобразования Фурье и теоремы двойственности для локально компактных абелевых групп. В третьей главе мы рассматриваем инверсное преобразование, связывающее между собой рⁿ реципиентов и рⁿ каналов, по которым к этим реципиентам может из единого центра поступать субстанция, энергия или информация. В бесконечном случае данное преобразование позволяет превратить множество натуральных чисел в абелеву группу или в двоичное дерево, в результате чего у числовых рядов и последовательностей возникают р-адические спектры, представляющие собой функции, определенные на кольце целых р-адических чисел. Главы четыре и пять посвящены изложению теории вейвлетов Хаара, определенных на конечных абелевых группах, на множестве натуральных чисел, на множестве правильных р-ичных дробей и на множестве р-адических чисел. В этих главах излагается ряд простых и в большинстве своем хорошо известных математических фактов, которые, однако, даются в несколько иной смысловой интерпретации, которая более подходит для их применения в области биологии и вообще в области процессов дихотомического ветвления. В изложении сделан акцент на смысловой, а не на формально- аксиоматической стороне вопроса. Показано, что разложение на вейвлеты Хаара кодирует асимметрии в системе распространения субстанции, энергии или информации через сеть каналов, организованных в форме р-адического дерева. Данный процесс, рассматриваемый в обратном направлении, может быть интерпретирован как дискретная р-адическая диффузия. Показана связь пространственных вейвлетов Хаара, с процессом морфогенеза. С целью замкнутости изложения в книге приводятся и доказываются все необходимые утверждения из области функционального и гармонического анализа. В шестой главе вводится формальная модель дихотомического деления и описываются математические структуры, которые могут быть использованы для кодировки этого процесса. В этой главе также рассматривается метод отображения числовых рядов на фракталы и вводятся понятия клеточной структуры и 2-адического морфогенеза, которые позволяют рассматривать биоморфные структуры как множества, параметризованные кольцом целых 2-адических чисел, а также позволяют провести некоторые аналогии между ростом биологических организмов и разворачиванием числовых рядов и последовательностей. Седьмая глава посвящена, инвариантам процесса, дихотомического деления. Такие инварианты определяются в виде изображений (или гештальтов), последовательностей изображений или даже последовательностей знаков. Данная концепция затем применяется для анализа псевдослучайных последовательностей, порождаемых разложением в двоичную дробь иррациональных чисел, а также для характеристической функции множества простых чисел. Показано, что алгоритмы, основанные на вейвлетах Хаара, проявляют заключающиеся в указанных последовательностях биоморфные структуры. Данные числовые эксперименты позволяют вообще поставить под сомнение понятие «хаоса», поскольку они наводят на мысль о том, что внутри любого хаоса могут скрываться пронизывающие этот хаос осмысленные структуры, которые могут быть в нем обнаружены путем применения соответствующих математических метолов. Восьмая глава посвящена рассмотрению связи между простыми числами и множеством автоморфизмов бесконечного планарного двоичного дерева. В ней вводится понятие симметрического простого числа и изучается статистика, распределения таких чисел. Заключительная девятая глава имеет общефилософский характер и посвящена, рассмотрению границ определения понятия натурального числа и некоторым парадоксам бесконечного.

Настоящая книга не содержит новых математических результатов в том смысле, в котором такие результаты понимаются в современной математике. Однако в данной книге вводятся новые математические объекты и излагаются некоторые идеи, направленные на то, чтобы произвести «смысловой сдвиг» хорошо известных математических объектов в направлении их применения для описания сложных геометрических форм, в частности форм биологических организмов. Среди этих идей можно перечислить следующие:

• Параметризация сложных геометрических форм кольцом целых р-адических чисел;
• Моделирование процесса деления клеток функциями, заданными на дереве 2-адических шаров;
• Использование комбинации евклидовой и р-адической геометрии для описания формы биологических объектов;
• Определение инвариантов процессов дихотомического деления в виде изображений, называемых «2-адическими гештальтами»;
• Интерпретация этих гештальтов с помощью нейронных сетей;
• Использование 2-адических гештальтов для генерации с помощью нейронных сетей объектов сложной формы, на основе минимальной структурной информации (примеры таких изображений помещены на обложке настоящей книги);
• Выявление биоморфных форм в псевдослучайных числовых последовательностях;
• Аналогии между разворачиванием числовых рядов и последовательностей и ростом биологических организмов;
• Порождение сложных геометрических форм путем отображения рядов и последовательностей на фракталы с последующим применением числовых преобразований Фурье и Хаара;
• Использование двух версий вейвлетов Хаара преобразующихся друг в друга с помощью инверсного преобразования;
• Использование вейвлетов Хаара для описания морфогенетических полей;
• Интерпретация вейвлетов Хаара как двух взаимно обратных процессов, соответствующих диффузии и формообразованию;
• Превращение множества натуральных чисел в абелеву группу и определение р-адических спектров рядов и последовательностей;
• Превращение множества, натуральных чисел в двоичное дерево и определение симметрических простых чисел, которые сохраняют свойство простоты при автоморфизмах этого дерева, индуцированных множеством простых чисел.

Методологическими принципами, на основе которых написана эта, книга, являются номинализм, конструктивизм и символическая предметность. Номинализм заключается в том, что мы не стараемся изучить все свойства некоторых абстрактных объектов, заданных некоторой системой аксиом, а рассматриваем несколько конкретных и связанных между собой объектов и стараемся изучить все их основные свойства. Принцип конструктивизма заключается в том, что мы стараемся формулировать доказательства, всех предложений и теорем таким образом, чтобы от них можно было непосредственно перейти к их алгоритмизации и к проверке этих положений посредством вычислений. В некоторых местах мы используем понятие актуальной бесконечности, а также пользу- емся аксиомой выбора, однако делаем это в ограниченных пределах и только там, где сама формулировка предложений и используемых в этих предложения понятий неявно предполагает использование неконструктивных методов (например, в случае определения компактного топологического пространства). Символическая предметность заключается в том, что параллельно с исследованием основных объектов нашей книги, а именно кольца целых р-адических чисел и вейвлетов Хаара, мы стараемся увидеть их предметные интерпретации за пределами математики, а также стремимся в самих этих математических конструкциях увидеть символическое проявление более общих принципов, лежащих за, пределами математики и относящихся к области философии.

Слова «дихотомический», «диадический» и «2-адический» используются в тексте как синонимы. Все списки нумеруются римскими цифрами. Нумерация лемм, теорем и предложений является сквозной, при этом первая цифра обозначает номер главы, а вторая обозначает номер утверждения внутри главы. Определения выделяются отдельно. Определения объектов, терминов и обозначений отмечаются знаком `⬜`. Конец доказательств отмечается знаком `⊠`. Мы предполагаем, что читатель знаком с базовыми концепциями коммутативной алгебры, теории чисел, топологии, теории меры, теории функций и теории деревьев.

Автор выражает благодарность своей жене Ольге за поддержку в период работы над этой книгой, а также своим детям Герману и Маргарите за участие в ее издании. Автор благодарит профессора А.Н.Абызова, который посмотрел первую главу данной книги и высказал ряд ценных замечаний.

---

Полный текст доступен в формате PDF (11904Кб)

---

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]