Моделируются логопериодические колебания, наблюдаемые в системах перед критическими явлениями. Рассматривается иерархическая модель, предложенная Джохансеном и Сорнеттом, описывающая механизм возникновения логопериодических колебаний, предшествующих финансовым крахам, и проводится её численный анализ. Предлагаются обобщения данной модели на основе введения зависимости степени влияния агентов друг на друга от ультраметрического расстояния между ними. С помощью построения распределений точек краха при различном числе агентов исследуются свойства критических точек в рассматриваемых моделях.

Математическое моделирование, логопериодические колебания и степенной рост, ультраметрическое расстояние, иерархические структуры, финансовые крахи.

Введение

Явление наложения на основной динамический тренд логопериодических колебаний встречаются в некоторых системах, развивающихся в режиме с обострением [1-4]. Колебания в таких случаях неограниченно ускоряются при приближении к моменту обострения. С другой стороны, известно, что степенной закон поведения динамической системы, умноженный на сумму логопериодических гармоник, является следствием дискретной масштабной инвариантности системы. Кроме того, любая система, характеризуемая некоторым типом масштабной инвариантности, имеет критическую точку. Актуальность исследований в этом направлении основана на том, что описанное поведение систем характерно, в частности, для сейсмических и экономических [2] явлений, и могло бы дать понимание природы момента обострения, возникающего в этих случаях как сгущение точек постоянной фазы колебаний. В связи с этим возникает задача построения математических моделей систем, обладающих свойством дискретной масштабной инвариантности, в которых реализуются режимы с обострением.

Данная работа направлена на исследование таких моделей и их расширение. Одной из самых известных моделей такого типа является иерархическая модель, описанная в работе Джохансена и Сорнетта [1]. Авторы предложили подход к моделированию предкрахового поведения цен, основанный на предположении об иерархической организации агентов на рынке. В начальный момент времени каждый агент проводит свой независимый фундаментальный анализ, в результате которого выбирает своё время для покупки акций. Однако агент понимает, что его анализ может быть неполным или необъективным, и поэтому старается узнать больше о действиях других ближайших агентов. При этом агент не проводит никакого технического анализа, т.е. цена не несёт для него никакой информации. Другое важное упрощение состоит в том, что на рынке существует некоторый постоянный уровень предложения и все рассматриваемые агенты заинтересованы только в покупке акций. Тогда задача сводится к определению количества активных покупателей среди всех агентов-покупателей.

Рассматривается иерархическая структура агентов, которая во многом отражает реальную иерархическую организацию фондового рынка. Такая организация может быть как постоянным свойством рынка, так и спонтанно возникшим [5, 6]. Примером постоянной может быть организационная иерархия: на нижнем уровне иерархии находятся индивидуальные трейдеры, представляющие свои фирмы и банки, которые являются агентами следующего уровня, далее выше по иерархии располагаются города, где находятся эти фирмы и банки, и т.д. Важным следствием иерархической организации является то, что действия агента влияют только на ограниченное число соседних агентов, а именно находящихся на том же уровне иерархии и ниже. В результате каскадного эффекта решение агентов на нижнем уровне в свою очередь влияет на более высокие уровни.

формате PDF (1058Кб)