0. √2 считается иррациональным числом и определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь (кстати, довольно убогое определение для такого фундаментального понятия как иррациональное число). Все в этом определении вызывает отторжение, особенно “бесконечная”. Как в строгой науке арифметике (математическом анализе) могут мириться с этим неопределяемым понятием, но, самое главное, как его воплотить: до какой “бесконечности” собираются математики проверять равенство двух иррациональных чисел.

С доказательством “непериодичности и иррациональности” тоже не все ясно: как можно было согласиться с таким примитивным доказательством древних (хотя оно считается в математике одним из самых гениальных от “противного”) по сравнению со сверхсложной структурой безграничного массива цифр, простирающегося до необозримых значений порядка 10^10001000, а тем более как определено выше, до “бесконечности”. См. по этому поводу также [2].

1. Таким образом, приходим к выводу о неудовлетворительном определении иррациональных чисел. Иррациональность как-то не сочетается с понятием числа. Разве под числом не понимается что-то более конкретное, типа константы, а не множество неопределяемых цифр в “бесконечности”. Кстати, попробуйте найти определение ЧИСЛА в наших математических энциклопедиях - только историческая ретроспектива и каждый класс чисел определяется в своей узкой области. Поэтому не остается ничего другого как понять и принять, что √2 не ЧИСЛО, а ПЕРЕМЕННАЯ величина. Действительно, все знаки √2 вычисляются по строго определенному алгоритму, т.е. это даже не переменная, а вполне определенная функция f, которая задает его n - ый знак после запятой: a_n = f(n).

В первом томе [3] Г.М.Фихтенгольца также говорится о том, что √2 это варианта, т.е. последовательность: “ Упомянем еще о десятичном приближении (скажем по недостатку) к √2, со все возрастающей точностью; оно принимает последовательность значений: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … и также представляет собой варианту. ”

Кое-что есть по этому вопросу и у А.Н. Колмогорова: “ В традиционной математической терминологии говорить о “переменных числах” не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объемы и т.п., являются частными случаями величин, и, как и всякие величины, могут быть и переменными… ” [4].

2. Нельзя не вспомнить об одном из способов порождения переменной √2. Нарушив условия теоремы Пифагора, взяв НЕ пифагоров, якобы прямоугольный, треугольник со сторонами 1 и формально вычислив квадрат диагонали 1 + 1 = 2, в результате чего и получился ЭТОТ НЕВООБРАЗИМЫЙ БЕЗГРАНИЧНЫЙ МОНСТР

√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317… , а на его примере и весь класс так называемых иррациональных чисел.

Какова же природа этого феномена, созданного неадекватным применением теоремы Пифагора. Выше было подчеркнуто, что треугольник с единичными сторонами не является прямоугольным и поэтому для получения прямого угла приходится стороне, лежащей против псевдопрямого угла неограниченно изменять свою длину. За конечное число шагов этого не сделать, иначе получили бы пифагоров треугольник, но таких со сторонами 1 и 1 не бывает. Поэтому длина “гипотенузы”, не став рациональным числом, превратилась в псевдоразумное число бесконечно приближающееся к недоступному √2.

3. Казалось бы в массиве цифр (ничего себе массив, если 10^10001000 первых знаков это только его начало) переменной √2 присутствуют совсем непонятные, неизвестно откуда взявшиеся цифры. Но все встает на свои места, если понять, что √2 можно вычислять через аппроксимирующую последовательность пифагоровых треугольников вида (n, n+1, m) при соответствующих значениях m и n. Вот для примера четверка пифагоровых треугольников:

(119, 120, 169); (4059, 4060, 5741); (803760, 803761, 1136689);

(202817842530211932503493976705300021422789816378260, 202817842530211932503493976705300021422789816378261, 286827743597476442537332434074520260478106619164061).

Разделив все три числа на n, получаем рациональные значения длин катетов и гипотенузы (1, 1+1/n, m/n), где 1, 1+1/n –длины сторон прямоугольного треугольника, а m/n – длина гипотенузы, которая и является приближением к √2.

Для четвертого треугольника из списка отношение гипотенузы к катету отличается от точного значения √2 на величину 10⁻⁵⁰. Вот откуда тянутся корни к √2 - это длина гипотенузы рационального пифагорова треугольника и при дальнейшем увеличении m и n можно получить сколь угодно точные его приближения.

4. Доказывать несоизмеримость (иррациональность) √2, как и других переменных 𝜋, e, бессмысленная задача: нельзя сравнивать число и переменную, т.к. переменная изначально безгранична и дойти до общей меры для них естественно невозможно. Остается только, как это и делается, получать их приближения. Кроме того, переменные не могут быть ни рациональными, ни иррациональными (если такое понятие существует).

Тем самым классическое доказательство несоизмеримости (иррациональности) √2, 𝝅, e теряет смысл.

ЛИТЕРАТУРА

1. Паршин А.Н., Числа как функции, Математические события XX века, М., 2002.
2. Ложь классического анализа. Эпизод XI. Опровержение классического доказательства иррациональности √2, vk.com/pisigma.
3. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.
4. Колмогоров А.Н., Математика-наука и профессия, М., 1988.