|
|
Информация
Кванты пространства
Наше пространство определяется гравитационными полями. Если говорить упрощенно - гравитационные поля, это та арена, в которую помещены Галактики, звезды, планеты и где начинают работать физические Законы нашего Мира. И галактики, и законы наблюдаются в макроскопических размерах, а для их описания мы используем привычные архимедовы метрики. На гравитационных полях «живут» и оставшиеся поля: электромагнитные, слабые и сильные, со всей своей архитектурой. По сути дела, «наш» мир — это гравитационные поля, а вся остальная материя и остальные взаимодействия это колебаний разных частей этих полей. Тут уместно вспомнить Эйнштейна: “Что касается материи, то мы все ошибались. То, что мы называли материей, оказалось энергией, чьи вибрации были настолько низкими, что оказались восприимчивыми для наших органов чувств. Материя – это дух, сведенный до точки видимости. Материи вообще нет.”
В микромире, на “планковских” масштабах пространство начинает проявлять свою квантовую сущность. Идея квантов пространства наиболее полно описывается теорией петлевой квантовой гравитации (ПКГ) успешно развиваемой К. Ровелли и К0[1]. Проводя аналогию между электромагнитным и гравитационным полем, он пишет «..ключевое различие между фотонами (квантами электромагнитного поля) и …квантами гравитации состоит в том, что фотоны существуют в пространстве, тогда как кванты гравитации представляют собой само пространство. Фотоны характеризуются местом, «где они находятся». Кванты пространства не имеют места, где они могут находиться, поскольку они сами являются местом».
Сам Ровелли с осторожностью относится к кванту пространства, например, в качестве кванта им приводится fuzzy-обьект без всякой деталировки (левая, нижняя часть рисунка 1). Вместо этого вводится аналог силовых линий в виде спиновых сетей с узлами на квантах и определяя квантовые операторы в гильбертовом пространстве от площадей и объемов через переменные Аштекара [2], строится геометрия дискретного квантового пространства и его гравитационные искривления*.
Основная задумка К. Ровелли и К0 проста и сводится к двум последовательным вещам, сначала вводятся кванты пространства, спин-сети и спин пена, затем в этом новом формализме с помощью специальных переменных определяются уравнения Эйнштейна и уравнения Шредингера, с надеждой что теперь ОТО и квантовая физика уживутся вместе.
1. Дискретность пространства-времени, спин-сети и спин-пена: В теории петлевой квантовой гравитации геометрия пространства квантуется, поэтому операторы, такие как площадь и объем, обзаводятся дискретными спектрами значений в терминах переменных Аштекара. Например, 8πγlp2 является минимальной площадью, а минимальным объемом будет величина:
где γ — параметр Барберо-Иммирци, а lp планковская длина.
Рис. 1
Рисунок дает представление о квантовой структуре пространства, спиновой сети, дискретном спектре площадей и объемов и о спиновых числах j(1/2,3/2,5/2…), ассоциированных с ребрами спин сети.
Спин-сеть (правая часть рисунка) представляет собой граф из узлов и рёбер, где рёбра помечены спиновыми числами, соответствующими представлениям группы SU(2), а узлы связаны этими рёбрами и характеризуются соответственно объемами v1 (тетраэдр V1V2AB), V2 (тетраэдр V2V1AC),….**. По сути дела, квантование пространства в ПКГ — это обычная триангуляция, хотя фактически спин-сети описывают квантовые состояния геометрии пространства. Для этого вводится понятие петли - замкнутого контура, охватывающего рассматриваемую область. Понятие петли ключевое в данной теории. Не смотря на простоту определения и интуитивную геометрическую интерпретацию, она несет глубокое внутреннее содержание и является основным конструктом. В этом смысле она похожа на струну из одноименной теории, но петле не требуется непрерывный, да и вообще любой задний фон в виде несущего пространства. В ПКГ петли цепляясь друг за друга сами образуют ткань пространства, одновременно представляя локальный базис.
Рисунок 2
Именно поэтому, в ПКГ кванты пространства сами по себе перестают играть особую роль, вся теория начинает фокусироваться на петлях, на их сочетаниях, на геометрии и топологии петлевого пространства. Повторим, что спиновые числа у спиновой сети имеют как геометрический, так и физический смысл. Геометрически они определяют дискретные значения площадей и объемов в квантованном пространстве. Физически они представляют квантовые состояния элементарных единиц пространства и играют ключевую роль в описании квантовых взаимодействий и информации в квантовой теории гравитации. На рисунке 2 кольчужные кольца входят в зацепления, образуя железную ткань кольчуги, также же и в ПКГ петли, представляющие замкнутый путь из последовательных ребер, пересекаются в вершинах спиновой сети, образуя ткань пространства. И в первом и втором случае математики углядят в них Бэровские множества. Это означает, что не смотря ни на какие ухищрения и лазейки, сами петли не позволят построить ни меру, ни компакты, ни объемные интегралы, и следовательно, никакую содержательную теорию. Отцы-основатели теории ловко уходили от этих вопросов, вводя и площади, и объемы через прямые произведения планковских длин с образованием двух и трех измерений:
lp х lp = lp2 (S) и lp х lp х lp = lp3 (V),
используя архимедову метрику, тем самым оставляя открытыми вопросы ее введения и проблемы с размерностями. Как же фактически решаются эти проблемы? Частично с помощью спин-пены, частично с помощью плотности в переменных Аштекара, частично понятиями, привнесенными из уравнений Эйнштейна и Шредингера, но об этом дальше**. А пока все творцы ПКГ, вводя спиновые сети, «держат» в уме и левую и центральную часть рисунка 1. Итак, квантовое состояние области-пространства описывается окружающим его набором петель или попросту спин-сетью. Чем гуще в области спиновая сеть, тем большее искривление пространства зафиксируется переменными Аштекара – так же как в теории Эйнштейна.
Спин-пены представляют собой 4-мерные структуры, описывающие эволюцию 3-х мерных спин-сеток во времени. Спин-пена, связывает начальное и конечное состояние ячеек спин-сети через трехмерные поверхности, «образуя» систему призменно-пирамидальных симплексов, и используется для описания динамики квантового гравитационного поля (средняя часть рисунка 3).
Рис. 3
Спин-пена представляет аналог 4-х мерного пространства времени в теории Эйнштейна. Проведя аппроксимацию пространства с помощью спин-сети, в ПТК с помощью спин-пены реализуется аналог пространственно-временного интервала из ОТО, причем «ответственным» за эволюцию узлов (нижняя левая часть рис. 3) «назначаются» квантовые флуктуации, которые колеблют квантовую сеть.
Слева пространственно-временной интервал и по Эйнштейну, справа квантовая пена, порожденная спиновой сетью и флуктуациями
В понятии спин-пены важным вопросом является проблема времени. Первые уравнения еще не сложившейся до конца теории, полученные основателями Уиллером и Девиттом привели всех в шок, они не содержали переменной, обозначающей время. Но решениями этих уравнений оказались наши пéтли. Пéтли долго не хотели рождать чего-то путного (о проблемах с размерностями говорилось выше), пока не были введены ребра и вершины. Круг замкнулся, время стало изгоем в теории и его попытались выставить за дверь. В одном из ранних постов говорилось, как и чем заменяется время, не будем останавливаться на этом здесь. Заметим только, что Ровелли, скрепя сердцем ввел квантовое время в спин-пену, замаскировав его вероятностными характеристиками: случайностью возникновения флуктуаций и феймановским суммированием по всевозможным путям между начальным и конечным состоянием спин-сети, что в конце – концов привело к истории спиновых сетей и пакетам. Вопрос с историей самый сомнительный во всей теории. Это связано с тем, что фундаментальные ограничения, приведенные в таблице, подсказаны нам самой природой, и они должны использоваться в качестве основных постулатов в теории.
Время, как мы видим, в эту таблицу не входит.
2. Петлевая квантовая гравитация, или петлевая теория, объединяет общую теорию относительности с квантовой механикой, она не вводит никаких других гипотез, кроме тех, которые содержатся в самих этих теориях, записывая их в совместимой для себя форме. Для этого ПКГ использует специальные переменные Аштекара - квантовые аналоги метрики и символов Кристофеля-Шварца в тензорах Риччи, а также квантовые постулаты в виде констрейнтов:
1. Гауссовы констрейнты возникают из симметрий внутренней калибровочной группы (обычно SU(2)) в трёхмерной формулировке гравитации. Они обеспечивают локальную инвариантность теории относительно калибровочных преобразований, то есть обеспечивают сохранение внутренних калибровочных зарядов. Смысл этой инвариантности состоит в том, что в квантовых полях становится возможным определять переносчиков взаимодействий, другими словами бозоны: фотоны, глюоны и т.д.
2. Диффеоморфизные констрейнты обеспечивают инвариантность теории относительно пространственно-временных преобразований – трансляций и вращений. Смысл этой инвариантности состоит в том, что физические законы одинаковы в любой области нашего пространства.
3. Гамильтонианный констрейнт, записанный в терминах квантованных переменных Аштекара содержит информацию о материи, её взаимодействии с гравитацией, и по сути дела является аналогом уравнения Эйнштейна.
Заметим, что квантовые констрейнты переходят в классические констрейнты в пределе больших квантовых чисел, восстанавливая уравнения Эйнштейна в макромире, а классическая геометрия извлекается через собственные значения операторов площадей и объемов. А как в больших размерах реализуется непрерывность и гладкость самого пространства? Сама ПКГ не особо заморачивается такими вопросами, но мы объясним. Тут на помощь приходят квантовые флуктуации. Запакованная в пакеты из спин-пены, быстрая череда рождений и исчезновений тетраэдных симплексов «заметает» объемы в пакете, что в больших числах формирует представление непрерывного монолитного трехмерного пространства. Также как если вы поставите монету ребром и щелчком раскрутите ее, никто издалека и не различит настоящий это шар или быстро вращающийся диск.
Самые главные достоинства теории Петлевой Квантовой Гравитации это устранение сингулярностей, появляющихся в классических уравнениях Эйнштейна в планковских областях и введение квантов пространства.
В качестве бенефиса квантов пространства попытаемся по-новому посмотреть на принцип Ферма и объяснить его, используя спин-сети. Принцип Ферма (или Принцип наименьшего времени) — это фундаментальный принцип в оптике и теории волн, который гласит, что свет распространяется между двумя точками по такому пути, который требует минимального времени (почему свет такой умный, оставалось загадкой). Это означает, что из всех возможных путей, по которым может пройти световой луч, он выбирает тот, который обеспечивает наименьшее время прохождения.
Если n — показатель преломления, c — скорость света в вакууме, v — скорость света в данной среде, а d — расстояние, то время прохождения света между точками A и B минимально:
где n(s) — показатель преломления вдоль пути.
Принцип Ферма, изначально сформулированный для света, также применим к движению частиц в квантовой и классической механике. Он обобщается на более широкий Принцип наименьшего действия в физике, который гласит, что движение любой частицы происходит по траектории, минимизирующей действие, а именно интеграл Лагранжиана по времени. Этот принцип применим ко всем физическим системам и фундаментален для описания динамики в классической механике, квантовой механике и теории относительности.
В прошлом посту мы описывали движение частиц с помощью модифицированной теории Пилотной волны. Вкратце это выглядит так: волна «бежит» от одних квантов пространства к другим в определенные моменты передавая им закодированные данные о частице из своего волнового пакета.
Благодаря этим данным частица рождается на квантах пространства, и умирает, когда волна покидает эти кванты.
Пилотная волна придает кванту свойства частицы
Движение волны может оказывать влияние на конфигурацию спин-сети, подвергая её определенной трансформации.
Какие возможны трансформации, что бы они не разрушали решетку спин-сети? Изучение свойств классов решёток в терминах вложимости или невложимости некоторых конечных решёток является классическим направлением в теории решёток. Сами понятия вложимости и невложимости решеток важны в теории порядка и алгебраических структурах. Они помогают определить, какие структуры могут быть интегрированы друг в друга, сохраняя при этом определенные свойства и операции.
Известным классическим результатом является теорема Дедекинда [3], согласно которой решётка модулярна (частично упорядочена и подчиняется модулярному закону) тогда и только тогда, когда она не содержит подрешётки, изоморфной решётке N5, см. рис. 4.
Рис. 4
Другой результат в этом направлении даёт теорема Биркгофа [4], согласно которой решётка является дистрибутивной (еще один закон) тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток, изоморфных решёткам N5 и M3, см. рис. 1.
Нам удалось доказать теорему о том, что решетки на рис. 5 удовлетворяют необходимым требованиями и могут быть вложены в несущее многообразие
Рис. 5
Удивительными свойствами данных решеток является их сколь угодно длинное продолжение, в отличии от известных классов конечных модулярных решеток.
Применяя доказанную теорему, можно утверждать, что Пилотные волны могут трансформировать спин-сеть согласно рис 6, конфигурируя узлы так, что, распространяясь в плоском пространстве, будет обеспечена имитация движения частицы вдоль прямой.
Рис. 6 Трансформация спиновой сети под действием пилотной волны
Рис. 7 "Движение" частицы согласно принципу Ферма
Очевидно, что в искривленном пространстве аналогами прямых линий будут служить геодезические, поэтому теорема будет работать и в этом случае. Таким образом, принцип Ферма, ранее принимавшийся как аксиома, находит свое естественное объяснение в рамках квантового пространства.
Отметим, что некоторые особенности при построении теории ПКГ, дающие важные следствия, ускользнули от разработчиков ***).
Ультраметрические вложения
В квантовых масштабах наш мир начинает меняться. Он начинает соприкасаться с ультраметрическим пространством, которым он насквозь пронизан. В микромире деградирует монолитное, цельное пространство с непрерывной метрикой, и достаточно гладкими (регулярными) законами. В наше пространство начинают врываться потоки энергий, реализуясь в виде виртуальных частиц, которые поставляются ультраметрическим пространством. В этом смысле ультраметрическое пространство напрямую олицетворяет вакуум Дирака. При рассмотрении “планковских” масштабов теряется возможности нормально «работать» как с малыми областями пространства, так и с микрообъектами подобных размеров в силу их недетерминированности и неопределенности (отсутствуют свойства привычного пространства, позволяющие фиксировать координаты этого объекта). На этих масштабах работает принцип Гейзенберга. Обычно этот принцип объясняют тем, что вмешательство прибора измерения, существенно влияет на сам измеряемый процесс, поэтому нельзя одновременно выяснить координаты элементарных частиц и их скорости (точнее импульсы). На дело не в точности и грубости приборов измерения, как принято говорить сейчас. Теряются метрики и смысл измеряемых параметров. Области пространства превращаются в сети с квантами пространства в качестве узлов и связывающими их петлями силовых линий. Что более существенно меняется геометрия и тем более топология пространства. Областями-дырками испещрено все наше пространство, наш мир всюду разрывной в каждой своей «планковской» области. Образно эта картина представляется в виде композиции пограничных слоёв, разделяющим пространство нашего мира с архимедовой метрикой и ультраметрическое пространство с не архимедовой метрикой. «Планковские» масштабы - это области квантовых явлений, спиновых сетей с квантами пространства в узлах, и процессами, идущих в ультраметрическом пространстве и управляющими поведением квантовых явлений, в том числе появлением квантовых флуктуаций и виртуальных частиц в нашем мире.
Дотошный читатель сразу скажет – не говорите мне об ультра пространстве, это математический фокус, и его нет в нашем мире. Однако посмотрите вокруг, оцените окружающий вас ландшафт, прикиньте расстояния до ближайших и далеких объектов, наш мир со всеми своими метрическими свойствами адекватно укладывается в вашу картину мира. Однако, что вы видите? Всего лишь потоки фотонов, падающие на фоторецепторы сетчатки глаза, которые преобразуют их в электрические сигналы, отправляя в ваш мозг. Закройте глаза, окружение исчезнет, но картина мира останется. Там в голове не строится уменьшенная копия внешнего мира, не откладываются масштабы, там «другой» мир. Да знаем, знаем –скажет читатель, мы знаем про компьютерные нейросети, которые в состоянии обрабатывать информацию, и у нас голове похожая нейронка. И причем тут ультраметрические (читай р-адические) модели.? Опс, а известно ли Вам, что вся арифметика в процессоре компьютеров p-адическая, и работает по правилам ультраметрических числовых множеств? А именно по вычету машинного слова? А известно ли, что программные комплексы используют иерархическую, p-адическую архитектуру? К примеру, то же самое DOM-дерево. А это именно так, и значит, ультраметрическое пространство уже есть в нашем мире, и с большой долей вероятности оно есть у вас в голове.
(Данное вступление является всего лишь описательной картинкой дальнейшего изложения.)
Ультраметрическое пространство, как и вообще любое метрическое, характеризуется метрикой, функцией расстояния, лежащей в основе вычисления его метрических свойств. Теорема Островского постулирует только две метрики: архимедову и ультраметрическую. Наш мир строится на архимедовой метрике, ультраметрический на своей. Каждая метрика диктует свои правила для определения пространства и его геометрии, и эти правила концентрируются термином мера.
Мера более общее понятие чем метрика, она является ее пополнением, так же как соответствующие множества целых Z, рациональных Q, вещественных R и комплексных чисел С пополняют («расширяют») предыдущее в цепочке:
Особенно наглядно свойства меры проявляется в интегралах. С помощью соответствующей меры через интегралы можно вычислять метрические свойства объектов (расстояния, длины произвольных кривых, площади, объёмы и т.д.).
Не только мера с помощью интегралов служат инструментом в метрическом пространстве, но и наоборот: специальным образом построенное интегральное ядро может расширять и конструировать меру.
Сейчас мы построим меру с параметром, изменяющуюся с типом пространства, в котором она используется в зависимости от размеров рассматриваемой по этой мере области. Построенная мера даст понимание о качественном масштабном устройстве нашего пространства, и мы будем основываться на этом представлении.
В качестве отправной точки воспользуемся функцией «прыгающего» ядра для нелокальной регулярной формы Дирихле (jump kernel) и параметрами walk dimension на регулярном метрическом пространстве. Пусть (M, d) метрическое пространство, которое является регулярным в следующем смысле: существует мера Радона μ на M, которая является α-регулярной для некоторого α > 0. Отсюда следует, что
где Hα обозначает меру Хаусдорфа размерности α
Рассмотрим для любого β > 0 квадратичную форму:
и определим шаг размерности β* для (M, d) следующим образом:
β*=sup { β >0 и Fβ ∈ L2(M, μ), такие что εβ (f, f) есть форма Дирихле в L2(M, μ) }
Из-за того что с ростом β множество функций f с εβ (f, f) < ∞ сжимается, оно может стать неплотным в L2. Легко увидеть, что если β < 2, то εβ (f, f)< ∞ для любого f ∈ Lip0 (M), откуда следует, что β* ≥ 2.
( f ∈ Lip0 (M) означает, что f — это липшицева функция на множестве M, которая принимает значение 0 в фиксированной точке)
Теперь параметр β* будет определять тип пространства, например :
• в Rn имеем 0 ≤ β* <≤ 2;
• на регулярных ультраметрических пространствах β* = ∞ ;
• на типичных фрактальных пространствах 2 < β* < ∞.
Вводя параметр r = 1/β* и считая его зависящим от меры (метрических свойств интеграла), получим интересующую нас последовательность метрических пространств с различными метриками в зависимости от масштабного фактора r рассматриваемой области:
Из рисунка видно, что при уменьшении рассматриваемой области от значения соответствующего масштабному параметру r = 1/2 к нулю ( не путать, значение параметра r c реальной точкой х=1/2 в рассматриваемых пространствах), мера сначала работает с евклидовым пространством (архимедова метрика), затем попадает в пограничный фрактальный слой 1), и окончательно, в малых (будем считать планковских) областях, вблизи нулевого значения параметра определяет ультраметрическое пространство2. Не смотря на безразмерность параметра r, его увеличение означает увеличение реального размера рассматриваемой области. Ну и кроме того, расположенное между двумя разно метрическими пространствами фрактальное пространство может быть построено как в евклидовом, так и ультраметрическом пространстве, хотя в отличии от них имеет дробную размерность
Итак, при переходе от макромира к областям планковских размеров мы ожидаем встретиться с ультраметрическим пространством, и по всей видимости кванты пространства устроены сложнее, чем это предсказывается теорией петлевой квантовой гравитации (ПКГ) [6].
В квантовом мире наше пространство погружено в ультраметрическое пространство таким образом, что в каждом его кванте находится вложение ультраметрического пространства или формально «дырка» в двойственное пространство.
О реализации такой возможности в квантовом мире говорит следующая теорема Тимана-Вестфрида: “Любое сепарабельное ультраметрическое пространство изометрично вкладывается в l2 (гильбертово пространство)” 3 [7]
Несмотря на то, что, согласно построенной классификации, ультраметрическое пространство отделено от внешнего пространства фрактальными слоями, оно вносит определенный вклад в его топологию, из-за чего последнее может выглядеть достаточно экзотично [8] (Рис.1).
Топология пространства после свертывания микродыр. [8] (Рис.1)
Вносит оно и квантово-информационную составляющую. На самом деле, простое перечисление всего, что может быть завязано на ультраметрическом пространстве, займет не одну страницу. Это и гравитационные потенциалы, которые задействованы Бомом в теории пилотных волн, это и не локальность, это и вопросы дальнодействия, всё находит объяснение в связке двойственных метрических пространств - нашего и ультраметрического.
Сейчас приведем пример, как проявляется описанная иерархия пространств в моделях квантовых полей. Рассмотрим фермионную иерархическую модель Каданова-Вильсона и изучим в ней динамику ре-нормировочной группы (РГ). При помощи ренорм групп строится пространство состояний модели, рассматриваются его свойства и фиксируются изменения после тех или иных взаимодействий. Идея методологии РГ заключается в способности выявлять масштабную инвариантность, критические точки и универсальные классы поведения, что делает её важным инструментом в теоретической физике и статистической механике4.
Дальнейшее изложение разделяется на две части. Сначала мы приведем итоговое представление и выводы, доступные без особо знания математического аппарата, а затем дадим математическое обоснование теории РГ, соответственно алгоритм построения пространства гиббсовских состояний и динамику ренорм группы, отсылая критиков к оригинальным статьям известных ученых.
Ключевыми понятиями теории РГ в иерархической фермионной модели являются
1. Иерархическая решетка Каданова.
2. Поток РГ, который реализуется с помощью преобразования Вильсона–Каданова и описывает как меняются ключевые параметры при изменении масштабов, причем основными компонентами уравнения потока являются гамильтониан системы и блоковая процедура иерархического ренормирования 5.
3. Бета-функции βi(gj) описывающие, как конкретный параметр gj изменяется с изменением масштаба. βi(gj) являются центральным элементом в анализе ренормировочной группы и позволяют предсказывать поведение системы на разных масштабах.
4. Неподвижные точки преобразования Вильсона-Каданова соответствующие состояниям, при которых система становится масштабно инвариантной, (формально это решения уравнений βi(gj) = 0 )6. Масштабная инвариантность — это свойство физический системы, проявлять одинаковое поведение при различных масштаба длины, времени или энергии.
Построенное с помощью РГ пространство состояний определено в ультраметрическом пространстве. В силу своей иерархической природы ультраметрическое пространство обладает развитыми алгебраическими свойствами в отличии от геометрических свойств, которые мы просто не готовы воспринять7.
Однако р-адичность ультраметрических пространств проявляет удивительную связь с проективным пространством, которое в дальнейшем будет играть ключевую роль в наших рассуждениях. Более подробно: любое ультраметрическое число представляется в виде бесконечной целой и конечной дробной части х = …с3 с2 с1 с0 , с-1 с-2 …с-n(х) ; Прибавим к целому ультраметрическому числу … 999999 единицу:
В p-адической системе с p=10 числа ……9999 и −1 действительно являются одним и тем же числом
То есть «проходя» через бесконечность ультраметрическое число «возвращается» с конечным «обратным» значением. Вспоминаем, что проективное пространство строится путем отождествления своих противоположных точек на бесконечной прямой, что в «определенном» смысле соответствует приведенному выше свойству ультраметрических чисел.
Поэтому проектируя полученное пространство состояний ренорм группы на проективную плоскость удается визуализировать геометрию ультраметрического пространства в привычных нам образах.
Анализ динамики РГ фермионной модели на иерархической решетке
Динамика потока РГ описывается зонами: темные зоны это движение точек (с1,с2) к инвариантной точке δ слева, серые зоны –справа. На первый взгляд область A(0) выглядит как объединение двух различных криволинейных областей, но на самом деле A(0) является связной областью, потому что граничные сегменты этих областей, лежащие на окружности с12+с22 = 1, расположены в точности друг против друга и, следовательно, представляют одно и то же подмножество точек в проективной плоскости. Более того, для координат r и g также доказывается теорема о том, что соответствующие области инвариантны, то есть представляют из себя одно и тоже. Области А(1), А(2), А(3)…. , и находящиеся между ними В(1), В(2), В(3)…, как видно из рисунков, образуют сложные фракталы.
В силу масштабной устойчивости, при определенном выборе масштаба А(0) (черная область) будет представлять область состояния фермиона(ов), и в пространстве состояний она отделена от ультраметрического пространства (область серого цвета) фрактальными множествами, что соответствует представленной выше классификации:
ультраметрическое пространство ↔ фракталы ↔ евклидово пространство
Явное описание свойств РГ в рамках иерархической фермионной модели порождает ряд нетривиальных гипотез для иерархических и евклидовых бозонных и фермионных моделей. В дальнейшем с их помощью мы попытаемся объяснить явление квантовой не локальности и передачу квантовой информации между двойственными пространствами.
Теперь перейдем непосредственно к построению самой модели.
Иерархическая решетка Λ определяется как множество целых чисел Z с иерархическим расстоянием dn( i, j ), i, j ∈ Z, где d( i, j ) = n s (i,j), если i ≠ j;
s(i, j) = min{s: существует k такое, что i ∈ Vk,s, j ∈ Vk,s};
Vk,s = {j : j ∈ Z, (k − 1)ns < j ≤ kns};
n — размер элементарной ячейки (некоторое фиксированное натуральное число). В случае, когда n = pd, где p — простое число, решетку Λ можно интерпретировать как решетку чисто дробных d-мерных p-адических векторов с p-адическим расстоянием между ними. Каждой вершине i решетки Λ поставлен в соответствие четырехкомпонентный набор элементов алгебры Грассмана
Все эти элементы с одной стороны являются 4-х компонентными фермионными полями, а с другой образующими алгебры Грассмана8. Фермионная модель на иерархической решетке задается эффективным гамильтонианом:
состоящий из гауссовой части и Лагранжана, α – вещественнозначный параметр модели. Как всегда, гауcсова часть отвечает за состояние квантового поля и свободное движение фермионов между различными узлами i и j решетки, а лагранжиан за взаимодействия типа фермион-фермион и бозон-фермион в одной и той же точке решетки и записывается как потенциал скалярного 4-х компонентного фермионного поля в виде (1):
Функция L(ψ∗; r, g) содержит две константы связи r и g:
r :
- Параметр масштаба : В рамках иерархической модели, r может интерпретироваться как параметр, связанный с масштабом или уровнем иерархии взаимодействий. Например, r может определять уровень взаимодействия внутри блоков, когда система рассматривается на разных уровнях иерархии.
- Локализация на решетке : В иерархической модели на решетке r может определять, как фермионы локализованы на узлах решетки и как они взаимодействуют с ближайшими соседями.
g :
- Интеракции между уровнями иерархии : В иерархической модели g может интерпретироваться как параметр, определяющий взаимодействия между различными уровнями иерархии. Он может определять взаимодействия между блоками на разных уровнях иерархии, что важно для изучения критических явлений и фазовых переходов.
- Корреляции между узлами решетки : В контексте решеточных моделей g определяет корреляции между узлами решетки, на которых находятся фермионы. Взаимодействия, описываемые g, могут определять корреляционные длины и характер связей между фермионами на больших расстояниях, а также силу взаимодействия между фермионами, характеризуя интенсивность взаимодействий и корреляции между узлами решетки
Чтобы перейти к представлению модели в проективном пространстве, мы будем использовать понятие грассмановозначной “плотности” свободной меры:
f(ψ∗) = exp {−L(ψ∗; r, g) } ,
В общем случае “плотность” свободной меры задается выражением:
где c = (c0, c1, c2) ∈ R3. В регулярном случае, когда c0 не равно нулю, связь между координатами r, g и c задается формулами:
Мы трактуем набор (c0, c1, c2) как точку двумерного вещественного проективного пространства RP2, и поэтому два набора, отличающиеся друг от друга ненулевым множителем, задают одно и то же гиббсовское состояние.
Поток РГ создается с помощью блок-спинового преобразования Вильсона–Каданова:
Гауссовская часть гамильтониана модели является инвариантной относительно преобразования блок-спинового преобразования, поэтому не влияет на изменения потока, а в не гауссовской части оно сводится к преобразованию констант связи R(α) :
R(α)(r, g) = (r′, g′) (*),
где λ = nα−1. Преобразование РГ в пространстве коэффициентов “плотности” свободной меры мы также обозначаем R(α):
R(α)(c0, c1, c2) = (c′0, c′1, c′2) (**),
Если c2−2c1+c0 ≠ 0, мы можем опустить этот множитель, поскольку речь идет о преобразовании в проективном пространстве.
Рассмотрим реализацию проективного c-пространства в виде полусферы:
в которой противоположные точки граничной окружности с12+с22 = 1 отождествлены. Для получения плоской (двумерной) картины мы используем ортогональную проекцию S на диск D = {( с1, с2) : с12+с22 ≤ 1}. Тогда регулярная точка (r, g) будет отображаться во внутреннюю точку (c1(r, g), c2(r, g)) диска D, где:
Доказано, что если координата c2 при некоторой итерации РГ превышает определенное пороговое значение, то дальнейшие итерации будут стремиться к точке δ только справа или только слева, и сама неподвижная точка δ является единственной притягивающей точкой при α > 1. Все точки одной окрестности по координате c1 находятся слева от нуля (левая окрестность), все точки другой окрестности по координате c1 находятся справа от нуля (правая окрестность). Используя эти результаты, мы конструируем алгоритм, который позволяет классифицировать точки проективной плоскости по способу их стремления к точке δ при итерациях РГ (через правую или левую окрестности):
Шаг 1. Для точки (c1, c2) ∈ D\D1 вычисляем компоненту:
Шаг 2. Применяем к вектору (c0, c1, c2) отображение R(α), заданное формулами (*):
Шаг 3. Если d0 ≤ 0, то обращаем знак: (d0, d1, d2) = −(d0, d1, d2)
Шаг 4. Нормируем вектор (d0, d1, d2) и проецируем на диск D:
Шаг 5. Если
то мы окрашиваем точку в черный цвет (итерация РГ для данной точки (c1, c2) попала в левую инвариантную окрестность и дальнейшие итерации будут стремиться к точке δ слева).
Если
то мы окрашиваем начальную точку (c1, c2 ) в серый цвет (итерация РГ для данной точки попала в правую инвариантную окрестность и дальнейшие итерации будут стремиться к точке δ справа).
В других случаях мы полагаем:
и возвращаемся к шагу 1.
Доказательства теорем о корректности данного алгоритма, существовании неподвижных и особых точек {δ, 1, 2, 3, 4, 5}, доказательство инвариантности соответствующих областей можно найти, например в [9].
Примечания
*) Поясним идею с помощью которой определяется искривление дискретного квантового пространства. Представьте себе, что вы находитесь на Северном полюсе и идете на юг, пока не достигнете экватора. При этом вы несете с собой стрелку, которая показывает вперед. Дойдя до экватора, вы поворачиваете налево, не меняя направление стрелки. Она по-прежнему показывает на юг, который теперь находится для вас справа. Пройдите немного на восток вдоль экватора, а затем поверните обратно на север, опять не меняя направление стрелки, которая теперь будет показывать назад.
Когда вы вернетесь на Северный полюс, ваш маршрут замкнется, образовав петлю, но стрелка уже не будет показывать в том же направлении, что и при старте (рис. 3). Угол, на который повернулась стрелка при обходе петли, служит мерой кривизны данного пространства.
В теории ПКГ мы суммируем все петли в области, для которой мы хотим определить искривление, выбирая спин-сеть (рисунок 1), представляющей квантовое состояние геометрии данной области и ее эволюцию с помощью спин пены, учитывая квантовые констрейнты. Тогда окончательно кривизна выразится через производные от коннекции Аштекара :
**)
В последнее время построение петлевой квантовой гравитации проводят как преобразование Уравнений Эйнштейна и Шредингера к переменным Аштекара, поэтому вопросы с размерностью стали неактуальны
***) уже рассмотренный принцип Ферма, а также минимальные пленочные поверхности на петлях, метод конечного элемента и барицентрические координаты для расчета влияний гравитации в малых областях.
1)
Во многих фрактальных пространствах (включая три указанных ниже на картинке SG, SC, VS) существует локальная регулярная форма Дирихле (и связанная с ней диффузия), тепловое ядро которой удовлетворяет суб - гауссовой оценке:
для некоторых α > 0 и γ > 1 (Барлоу, Басс, Чен, Хэмбли, Кигами, Кумагай, Кусуока, Перкинс и др.) Как показал М.Барлоу, любое γ ≥ 2 может быть реализовано в (**) на некотором фрактальном пространстве.
На схеме ниже графически представлена классификация регулярных метрических пространств в соответствии со значением размера шага β*. Евклидовы пространства Rn и p-адические пространства Qnp лежат на противоположных границах этой масштабной шкалы, при этом внутренняя часть между ними заполнена погранслойным мульти-фрактальным пространством.
2) В терминах jump kernal классификация была приведена в [9].
3) О разнице смысла терминов «погружение» и «вложение» см [10].
4) Одним из аргументов в пользу изучения таких моделей является то обстоятельство, что многие сложные проблемы статистической физики и квантовой теории поля существенно упрощаются в силу свойства ультраметричности p-адического расстояния. Например, фейнмановские амплитуды могут быть вычислены в любом порядке теории возмущений [12], естественным образом устраняются расходимости в разложениях через формальные ряды, а фермионная иерархическая модель с p-адическими числами является единственной моделью, имеющих замкнутые решения в конечной форме для ренормгруппы. Это дает возможность изучать поведение состояний системы в глобальном плане, в то время как исследование в евклидовых пространствах только локальны.
5) С точки зрения анализа квантовой информации поток РГ является потоком активной информации [7]. Рождение активной квантовой информации и ее способность к самоструктурированию порождает новые эмерджентные состояния, которые отражаются в пространстве гиббсовских состояний параметров r и g
6) Неподвижные точки являются кандидатами для транспортных коридоров и могут быть связаны с «проходами» между двойственными пространствами. Дальнейший подход представляет рассмотрение вопросов о передаче квантовой информации между состояниями частиц в ультраметрическом пространстве и порождающем кванте(ах), а также появляющейся энтропии, как свойства информации, в запутанности (и связности квантовых ансамблей) в внешнем пространстве.
7) В ультраметрическом пространстве две окружности с одинаковыми радиусами или не пересекаются или являются одной и той же. Любая точка внутри окружности является ее центром. Расстояния между любыми точками внутри окружности одинаковые. В ультраметрическом пространстве возможны только равнобедренные треугольники, причем длины боковых сторон больше или равны длине основания:
Но самое главное, в нем не выполняется аксиома Архимеда.
7) Для тех, кто не знаком с алгебрами Гроссмана просто укажем, что они используются для описания симметрий и связанных с ними инвариантов. Образующие (генераторы) этой алгебры представляют собой операторы, которые генерируют преобразования между бозонными и фермионными состояниями или полями, с помощью симметричных трансформаций, связывая бозоны (целый спин) с фермионами (полуцелый спин).
Симметричные преобразования, такие как калибровочные U(1), обеспечивают инвариантность Лагранжиана, и соответствующих уравнений движения. Например, для калибровочного поля уравнение движения получается из уравнений Максвелла
Литература
1. CARLO ROVELLI AND FRANCESCA VIDOTTO “Covariant Loop Quantum Gravity”
2. А.Ашкетар “New Variables for Classical and Quantum Gravity I” “Physical Review Letters” (том 57, номер 18, страницы 2244-2247) 1986 г
3. R.Dedekind, ¨Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Math. Ann., 53, (1900),
4. G. Birkhoff, On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc., 31 (1935).
5 "Как устроен наш мир" https://habr.com/ru/articles/774930/
6. CARLO ROVELLI AND FRANCESCA VIDOTTO “Covariant Loop Quantum Gravity”
7. А. Ф. Тиман, И. А. Вестфрид, Любое сепарабельное ультраметрическое пространство изометрично вкладывается в l2, Функц. анализ и его прил., 1983, том 17, выпуск 1
8. "Как устроен наш мир" https://habr.com/ru/articles/774930/
9. М. Д. Миссаров, Ренормализационная группа в фермионной иерархической модели в проективных координатах, ТМФ, 2012, том 173, номер 3
10. А.А.Григорян, Analysis on ultra-metric and fractal spaces. Heat equation approach, January 9-14, 2023, Vladimirov-100, Steklov Mathematical Institute, Moscow
11. “Isometric Embeddings in Euclidean Spaces” by Luis Silvestre
12. М. Д. Миссаров, Р. Г. Степанов, О вершинных частях p-адических фейнмановских амплитуд, Труды МИАН, 2009, том 265
Автор: @arheo_pterix
Информация , Расширенное пространство // «Академия Тринитаризма», М.,
 |