Предлагаемая книга является результатом совместной работы – как практической, так и учебной – химика-материаловеда (первый автор) и прикладного математика (второй) с конца 1995 года, направленной на понимание разрыва между наблюдаемостью и моделируемостью – почему химические процессы далеко не всегда воспроизводятся формальными методами?

Исходным пунктом осознания проблемы явилась известная мысль И.В. Тананаева о необходимости введения координаты размера частиц как отдельной степени свободы материальных преобразований. Фракталы самым непосредственным образом содержат эту координату под видом скейлинга, понимаемого как "углубления в детали", которую авторы назвали "координатой или степенью свободы делимости материи". На ней в дополнение в известной масштабной инвариантности наблюдается "масштабная вариативность свойств частиц веществ.

Книга является введением в эту расширенную версию фрактальной геометрии. Основной акцент сделан на демонстрации двойной феноменологии – материальной и математической, и возможности сопряжения понятий формальных терминов с понятиями материаловедения, которое проходит по теории измерений.

Книга может быть полезной как для студентов-материаловедов старших курсов, аспирантов, так и для исследователей, использующих в работе идеи фрактальной геометрии.

Введение

1. Междисциплинарность материаловедения

2. Научная проблема создания материалов

3. Антиномия материи: апории Зенона, нарушение симметрии

4. Фракталы: координата делимости материи

5. Функциональная асимметрия в природе и фракталы

6. Фракталы: эмпирическое рассмотрение

7. Фракталы и нелинейная динамика

8. Теоретическая информатика – связь с фракталами

9. Классика фракталов: физика и информатика

10. Лексикографическое дерево: перекрёсток физики, информатики и математики

11. Делимость и р-адические числа

12. К теории измерений фрактальных объектов

13. Голографическая модель материи

14. Геометрия как параметр

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Список литературы

Во второй половине ХХ века произошло знаменательное событие – было обнаружено математическое содержание в типичных, всюду существующих и повсеместно наблюдаемых материальных объектах, в их геометрии, структуре и поведении. Зазвучала идея фрактальной геометрии Природы. Если учесть, что физико-математическая наука всячески избегала подобного натурализма, концентрируясь на сингулярных и изолированных объектах, то значение этого события – введение в круг научных понятий и представлений фрактальной геометрии – трудно переоценить.

Фрактальная геометрия долго оставалась, и во многом эта тенденция сохраняется и поныне, в тени идеи сведения всех научных дисциплин к математической физике. Эта идея и составляла содержание «новой физики» – кибернетики, прогремевшей и угасшей параллельно с нарастанием фрактальных идей во второй половине ХХ века. Лишь по завершении этого этапа стало очевидным, что те задачи, которые устояли перед кибернетикой, могут иметь и иные основания для своего решения – общность фрактальной структуры материи.

Развитие идеи фрактальности материи привело к тому, что термин фракталы стал пониматься как синоним естественности, как единая топология объектов и явлений естественных наук. И здесь возникла необычная познавательная дилемма. Принято считать, что законы Природы имеют математический вид. Но тогда что делать? Следует ли считать естественные объекты внеприродными или их математическое описание неадекватным?!

Математическое содержание фрактальных феноменов в настоящее время почти полностью состоит из физических представлений. К классике фрактальной теории сегодня относят те её стороны, которые удалось свести к одной из стандартных теорий математической физики – статистической механике, термодинамике, теории броуновского движения и т.д. В тени физики фракталов пока остаётся бурное развитие теоретической информатики (theoretical computer science – TCS). Несмотря на то, что понятие информации прочно утвердилось в науке и сегодня происходит конвергенция методов математической физики и информатики, по инерции эта «компьютерная наука» рассматривается более как вспомогательная дисциплина, призванная разрабатывать алгоритмы и программы для воплощения физических теорий.

Компьютерные методы генерации фрактальных образов пока не подняты до естественного явления, достойного занять место в ряду фундаментальных теорий Природы. Также не получила широкой известности глубокая мысль Э. Джейнса, имеющая непосредственное отношение к материаловедению, о том, что компьютер как физическая система должен быть согласован со статистической физикой, термодинамикой, квантовой теорией и теорией информации [1].

Компьютер как физическое явление можно вообще рассматривать как пример фрактальной теории материи. Цифровые компьютеры – это усечённые, приближённые фракталы, поэтому они наследуют почти всё из арсенала фрактальной теории. Здесь скейлинг, или масштабная инвариантность, принимает, с одной стороны, вид миниатюризации его материальной базы, с другой стороны – это независимость основных информационных операций от материалов и/или их масштабов. По результату работы программы невозможно определить на какой материальной базе она выполнялась, так же как по микрофотографии фрактала невозможно определить его физико-химическую природу, является он материальным или математическим.

Эта универсальность цифровых компьютеров имеет теоретическую основу – вычислительную универсальность машин Тьюринга. Сегодня она воплощена в их предметной универсальности и разнообразии функций. Свойство предметной и ситуационной гибкости компьютеров, то есть их способность порождать любые тексты и выполнять любые вычисления – это то, чего всегда не хватало теориям «гладкой математики». Можно вспомнить начало развития вычислительной техники, когда недолгое время цифровые, то есть фрактальные, компьютеры конкурировали с аналоговыми, созданными на идее воплощения дифференциальных уравнений математической физики. Результат сегодня очевиден – функции аналоговых поглощены цифровыми.

Также очевидно то, что развитие материальной базы вычислительной техники как увеличения диапазона скейлинга, принявшего вид миниатюризации материальных компонентов, за последние десятилетия привело к гигантскому расширению её возможностей, причем не только в объёме памяти и быстродействии, но более выразительных «несчитающих» её функций – способах генерации, визуального моделирования и исследования образов природных явлений. Эта ветвь играет большую роль в медицине, географии, геологии, биологии. В технике она составляет основу автоматизации проектирования сложных систем.

Для математической физики информатика является тем же, что и физика для информатики – вспомогательной дисциплиной. Причём очевидно, что происходит взаимное обогащение этих дисциплин теоретическими результатами. Развитие материальной базы компьютеров способствует эволюции математических теорий, которые, в свою очередь обеспечивают материальную науку новыми методами. Немного преувеличивая, можно сказать, что сегодня компьютер – это материя, сконструированная из своих теорий и свойств. Поэтому компьютеры демонстрируют тот факт, что материя может быть понята как синтез теорий, описывающих её различные проявления.

Вопросы, к которым подводит это явление параллелизма фракталов и компьютеров, можно сформулировать следующим образом – как может подобная вездесущесть и универсальность быть вне законов природы? И, обратно, возможно ли в исследовании материальных объектов использовать весь набор теорий – физических и информационных, которые представляет современный компьютер?

С точки зрения химической науки и материаловедения изъян современной фрактальной теории в том, что масштабная инвариантность, то есть однородность геометрических свойств, которая широко эксплуатируется, в химии сопряжена с обратным явлением – масштабной детерминированностью, то есть зависимостью химических свойств веществ от величин и диапазона масштабов. Очевидно, что именно в этом диапазоне химия исследует свойства материалов как эффект совместного действия различных физических теорий. Этот факт был отмечен в опыте применения фрактальной геометрии в химии, но развития, насколько известно авторам, не получил.

Точка зрения предлагаемой работы и состоит в том, чтобы показать возможность формального описания этой масштабной зависимости свойств материалов. Эта зависимость есть не что иное, как зависимость свойств веществ от размеров частиц. В химии известно предложение И.В. Тананаева считать размер частиц четвёртым измерением, столь же фундаментальным, как объём, давление и температура.

Формализация этой идеи составляет суть введения координаты делимости вещества как отдельной степени свободы изменения размеров и описание тех формальных математических методов, которые оказываются причастными к этой координате. Эмпирическим, экспериментальным базисом служат факты фрактальной геометрии.

Основам фрактальной теории посвящено много превосходных книг разного уровня как общего плана [2], так и более специальных [3]. Кроме того, в многочисленных специальных монографиях и статьях наличествуют главы, посвященные фрактальным версиям теорий. Фракталы часто появляются в связи с ренормгрупповыми методами, универсальностью и критическими явлениями в фазовых переходах, статистической физике и неупорядоченных системах. Фрактальная тематика занимает значительный объём в недавно вышедших энциклопедиях нелинейной науки и сложных систем [4].

Поэтому классике предмета в данной работе уделяется немного внимания. В основном это обзорная информация, призванная продемонстрировать экстенсивно-интенсивную двойственность природы фракталов, сочетающую протяженность материи с её делимостью, и сформировать точку зрения, из которой влияние размеров на свойства веществ становится прозрачным. Эта точка зрения является отправной для дальнейших построений. Бинарность фракталов уходит корнями в античность и связана с именем Платона и апориями Зенона, которые в современной науке приобрели вид парадоксов теории множеств и «пропасти между дискретным и непрерывным» описаниями в физике. Интерес к этой древней теме не исчезает, чему свидетельство постоянное появление публикаций, анализирующих её с самых разных позиций – от истории науки до современных теорий физики [5].

Основной акцент изложения перенесён на описание взаимодействия физики и информатики, которое проходит по координате размера или делимости материи как внутренней степени свободы вещества. В качестве введения в основы подхода можно рекомендовать книгу [6], содержащую подробное изложение физических и информационных теорий, составляющих проблему сложности фрактальной материи и связей между ними.

формате PDF (2536Кб)