Дискуссии - Наука

Ф.И. Маврикиди

В книге выдвинут постулат о функциональной асимметрии природы, образованной двумя универсальными формообразующими процессами – сжатия и расширения, непрерывности и разрывности. Обоснована двойственность её фрактальной геометрии. В качестве формального аналога двойственности рассмотрена модель числовой асимметрии – объединения вещественных и р-адических чисел в единую самодвойственную систему. Показано, что она логически связывает различные математические результаты о двойственности, которые согласуются с бинарным характером естественных наук и диалектикой общей теории систем. Апории Зенона рассмотрены с точки зрения приложений математики – как тест на её адекватность естествознанию. Предложено единое толкование всех апорий с точки зрения числовой асимметрии. Рассмотрены возможности согласования математических понятий с основными понятиями языка, биологии, сознания, физики и религиозного мировоззрения.

Книга адресована прикладным математикам, всем исследователям, применяющим математику и системные идеи в своей работе.

Содержание

Введение

ЧАСТЬ 1

Глава 1. Функциональная асимметрия Природы. Топологизация понятий

Глава 2. Фракталы

Глава 3. Нефундированные множества и р-адические числа

Глава 4. р-Адические числа, нефундированные множества, теоретическая информатика и фрактальная геометрия

Глава 5. Двойственность Стоуна, соответствия Галуа, арифметика Пресбургера, булева алгебра, проективная геометрия

Глава 6. Степенные законы: измерения и восприятие

Глава 7. Двойственность в основах

Глава 8. Апории Зенона

ЧАСТЬ 2

Глава 9. Опыт сведения понятий в естествознании

Глава 10. Естественный язык

Глава 11. Биология

Глава 12. Сознание и мышление

Глава 13. Математическая физика

Глава 14. Религия, высшая реальность

Послесловие

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В книге представлен опыт поиска подхода к математической теории систем в её первичном смысле как теории двойной углублённости, двойной осмысленности или конкретности прикладной математики, понятия и методы которой должны быть общими для математики и естествознания. Показано тождество фракталов и системной реальности. Из анализа литературы выдвинуто положение о бинарной динамической природе фракталов, которая заключается в порождении фракталов двумя базовыми природными процессами, общими названиями которых являются: энтропия – негэнтропия, дивергенция – конвергенция, различение – гомогенизация, сжатие – разрежение, дискретность – непрерывность. В качестве формального аналога этой пары предлагается самодвойственная числовая система, состоящая из вещественных и р-адических чисел, связанных отношением инволюционного антиизоморфизма, названная числовой асимметрией.

Показано, что за этой конструкцией стоит междисциплинарная универсальность фракталов, специфически системные явления и ряд согласованных между собой фактов из чистой математики – от теории множеств Мириманоффа, через р-адические числа Кронекера и Гензеля, арифметику Прессбургера, интуиционистскую логику Брауэра, проективную геометрию до теоретической информатики. Эти факты расширяют арсенал физических методов математики, образуя их логико-топологическое дополнение, непривычное для математической физики, но хорошо узнаваемое в естественных науках.

Ключевым для принятия фрактальной топологии за основу теории систем является общность феномена двойственности, или бинарного архетипа, – сквозное присутствие оппозитных пар, хорошо известных в методологии и философии науки. Их неполный перечень, продолжающий базовые оппозиции: локальное – глобальное, единое –- многое Платона, часть – целое, материя – символ, внутреннее – внешнее. Эти общие оппозиции имеют свои формальные аналоги в виде результатов о двойственности – Стоуна, проективной двойственности, преобразования Фурье, парадокса Левенгейма-Сколема. Упомянутые факты позволяют расширить этот список парами: множества Кантора – множества Мириманоффа, вещественные – р-адические числа, вторая теорема Гёделя – арифметика Прессбургера, соответствия Галуа и принцип двойственности в теории решёток, двойственность аргументы – функции в теоретической информатике, известной как принцип неразличимости операторов и операндов.

Анализ опыта приложений математики показывает, что именно бинарность оказалась тем барьером, который обусловил неуспех приложений математики в естествознании. Известной моделью бинарности служат апории Зенона, часто упоминаемые в связи с системной идеей. Их общий смысл в ограниченной адекватности классических методов формализации наблюдаемым явлениям. Предлагаемый подход к построению теории позволяет интерпретировать апории Зенона таким образом, что их структура узнаётся в основных разделах системной теории – биологии, сознании/мышлении человека, естественном языке, физике. Логическая связность формальных результатов позволяет, включив бинарность в модель, превратить парадоксы Зенона из тупиков в естественнонаучных теориях в связующие мосты, открывая тем самым путь к междисциплинарной науке.

Отдельную тему представляет раздел, посвящённый религии – высшей реальности. Показано, что в своих основных положениях религиозное мировоззрение не противоречит математике.

Введение

В данной работе предпринята попытка интерпретации в теории систем тех математических результатов, которые остались в тени математической физики и не имеют на сегодняшний день общепризнанной естественнонаучной интерпретации.

Основной мотив книги составляет поиск математической теории сложных систем. Во второй половине ХХ века теория систем наряду с кибернетикой составляли содержание прикладной математики, составляя два её полюса. Теория систем начинала с целостности и была направлена на поиск закономерностей общесистемного характера; кибернетика представляла собой противоположный полюс: она обычными математическими средствами стремилась познать природу целого нефизических объектов и явлений исходя из поведения их частей.

Прикладная математика, возникшая в развитых странах в 1960-е годы, математическими физиками часто понималась как «дистрибьютор» классических математических результатов, как второсортная математика, не имеющая собственного предмета и методов. Иные ожидания были у предметных специалистов, с которыми столкнулись прикладники. Предметники ожидали решения собственных задач, развития их специфических научных методов. Однако взаимодействие математиков со специалистами-естественниками редко проходило в форме диалога. Типичным был монолог математика, который требовал формализации задачи в соответствии с существующими и признанными формальными теориями. Как правило, при этом приходилось подгонять предметную задачу под формальную схему, делая неоправданные допущения и упрощения.

В итоге, как известно, нефизические приложения математики не дали прироста нового знания. Прямолинейная математизация естественных наук не состоялась, однако непрерывная её критика философами и практиками оставила богатую литературу, содержащую много ценного. Эта ситуация требует отдельного разговора и детального технического анализа с привлечением специалистов разного профиля, имеющих опыт приложений и сформировавших свои взгляды и методы использования математики. Скажем лишь только, что применения математики ограничивались расчётами, что нередко вызывало озабоченность самих математиков, обеспокоенных узостью понимания роли этой науки.

Можно указать целый ряд фактов в основаниях существующей версии математики, ответственных за её ограниченную адекватность. Такими являются игнорирование теории моделей, сведение нелинейности к линейным схемам, ограничение восприятия/наблюдения, выключение чувственного опыта очевидности и сведение всего знания к манипулированию символами. В итоге формализация природы состоялась как частичная, а всё, что не укладывалось в схему, объявлялось ненаучным и вытеснялось. Оправдывалось это «бесконечным приближением к истине». Однако, как показала практика, этот тезис означал такую же бесконечную от неё удалённость.

В самой математике немыми, не имеющими интерпретации остались результаты о двойственности и парадоксы, несмотря на то, что прикладная математика постоянно сталкивалась с этими явлениями. Помимо этого, есть скрытая проблема, препятствующая образованию прикладной математики как единого поля знаний. Она заключается в том, что прикладную математику трудно отделить от чистой. Это часто признаётся: возникновение математики в прошлом было тесно связано с нуждами практики. Однако эта практика была всё-таки специфичной – достаточно простой и связанной с техническими задачами (наука начиналась с падающих камней, а не с развивающихся растений). Со временем практика усложнилась настолько, что один человек уже не мог адекватно охватить и осмыслить поведение сложных объектов. Поэтому изменились цели, методы и направленность результатов науки.

«Конечно, специального предмета “прикладная математика” не существует. Зато, безусловно, существуют “прикладные математики” – люди, занимающиеся приложениями математических методов к решению конкретных практических проблем» [Грекова И. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе её развития//Вопросы философии №6, 1976, с.104–114].

Это значит, что «прикладная математика» как бы затеряна между наук – без собственных журналов, специализированных советов, критериев научности и результативности. Не секрет, что журналы по инженерным и естественнонаучным дисциплинам плохо воспринимают (если вообще воспринимают) статьи с развитой математикой – инженеров и естественников этому не учат, и, соответственно, рецензенты не готовы к квалифицированной оценке. Математические же журналы признают только теоретико-физическую тематику, которая малоинтересна прикладникам. То же при защите диссертации прикладными математиками. Их, как правило, отводят в такие же советы, члены которых математику знают зачастую на уровне школы, а более развитую встречают «в штыки»: рассматривая как посягательство на их компетентность – «у вас уравнения, но у нас своя специфика». В чём заключается эта специфика до сих пор никому не известно.

Поэтому единственными степенями свободы для «прикладных математиков» остаётся программирование, либо занятие одной из физико-математических академических дисциплин. Не имея собственных журналов, они остаются разобщёнными, и их опыт и материал не синтезируется в единую систему взглядов [Налимов В.В. Вероятностная модель языка. М.: Наука, 1979, с.161], которая могла бы составить нечто вроде «Курса по прикладной математике». Работая в «иноязычной среде» других специальностей, они утрачивают значимость своей квалификации – руководством признаётся только конечный результат, хотя сама проблема в математическом плане может оказаться просто огромной, под силу разве целой лаборатории, и, зачастую, просто не имеющей общепризнанного математического решения. Задача может формулироваться, например, так: «У японцев (американцев, немцев,…) это есть. Математика, как известно, может всё. Мы тоже хотим. Задача – обеспечь нам это как у японцев (американцев, и т.д.)». Такие ситуации далеко не редкость, и порождены они безответственной популяризацией, экстраполяцией и рекламой возможностей математики, имевшей место (и до сих пор продолжающейся, хотя и в заметно меньшей степени) в период прямо-таки «конвойной» математизации наук.

Кроме того, прикладная математика является в значительной степени производственной, то есть связанной с ресурсами, прибылью, капиталовложениями, конкуренцией. Поэтому всё, что работает в этих областях, никогда не публикуется. Публикуются только результаты рекламного вида, либо паранаучные рассуждения физико-математического характера по заданной теме, причём, как правило, со скрытыми пробелами и намеренными ошибками, препятствующими восстановлению метода. Как следствие, прикладные математики оказались плохо обеспечены эффективными методами и вынуждены в подавляющем большинстве мигрировать в другие, зачастую далёкие от своей специальности, области.

По мнению автора, особенность приложений математики заключается в том, что она перешла от решения простых физических задач, от схемы чёрного ящика к систематическому изучению распределённых систем: эколого-экономических, больших технических, нейробиологических, организационных, то есть от систем, наблюдаемых извне, к системам, требующим согласованного двойного наблюдения – изнутри и извне. Иными словами, перешла от атомизма к ан-атомии, где привычные статистические методы усреднения неадекватны. И аксиоматический, то есть атомистический метод классики оказывается уже явно неполным и потому неприемлемым.

Проблемы возникают даже на уровне таблицы умножения – не все арифметические операции допустимы в системных объектах, хотя процессы, ими реализуемые, сохраняются. Если учесть, что проблема элементарной сущности как далее неделимого объекта сегодня во многом остаётся открытой [Сачков Ю.В. Макромир и микромир/Новая философская энциклопедия, т.2, с.481], то переход к ан-атомии не выглядит чересчур произвольным. Приведём в связи с этим одно рассуждение, на которое далее будем ссылаться как на ГЛГ-аргумент (аргумент, вытекающий из результатов Гёделя, Лиувилля, Гельмгольца).

ГЛГ-аргумент. Рассмотрим любую физическую теорию, созданную в аксиоматическом методе. Она представляет собой логическую систему с атомарными переменными x,y,z, … t,p.q. …; функциями f,g,h, …; предикатами P,Q,R,S. …; известными правилами арифметических и логических операций. При помощи гёделевой нумерации сведём её к арифметике натуральных чисел N, ⁺, ^× . По теореме Лиувилля из геометрии, сложению соответствует сдвиг, умножению – растяжение. Вычитание и деление также понимаются как сдвиги и растяжения, обратные сложению и умножению (хотя и не входят в арифметику натуральных чисел). Отсюда легко перейти к арифметическому 3-мерному евклидову пространству R³. Как показал Г.Гельмгольц, евклидово пространство допускает локально линейные движения и соответствует механике деформируемого твёрдого тела (МДТТ) [Гельмгольц Г. О фактах, лежащих в основаниях геометрии. В кн. Норден А.П. Основания геометрии. М., 1956, с. 366–383]. Поэтому любые уравнения математической физики, как бы они ни назывались – статистическими, квантовыми, социальной и экономической динамикой и т.д. и т.п., заменяют искомую динамику механикой ДТТ, то есть оказываются изоморфными [Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966, с. 353]. В этом же, кстати, и состоит причина того, что теория вероятностей не может предсказать движение одной частицы, но только однородного большого их числа – большое число однородных частиц есть не что иное, как (деформируемое) твёрдое тело. Иными словами, то, что желает исследователь, и то, что могут уравнения – вещи разные.

Проблемы прикладной математики и теории систем невозможно представить так, как в физике: при помощи простых настольных/лабораторных экспериментов. Если физические объекты «меньше человека» и на них можно смотреть извне взглядом экспериментатора, то системные объекты «больше человека», и на них приходится смотреть как извне, так и в большей степени изнутри. Поэтому единственный способ их осветить – обратиться к мнениям самих участников процесса математизации и людей, так или иначе ею задетых. Уже сложился целый пласт неакадемической литературы в России и за рубежом, авторы которой, видные и опытные учёные-естественники, физики и математики, направили своё внимание на нефизическую реальность, организуя обсуждение способов преодоления физико-математического аутизма, расширения поля зрения науки, согласования её с общечеловеческими ценностями.

Прикладная математика как соответствие математической реальности миру и человеку появилась, конечно, не в ХХ веке. Вычислительные рецепты древних народов Индии, Вавилона, Китая, Египта, Шумера хорошо известны. Но была и другая сторона математики – пифагорейско-платоническая, идущая от того же корня. Её отличительной стороной были: вовлечённость человека в мир, стремление объяснять, а не переделывать мир, не экспериментальный, а созерцательный (т.е. взгляд изнутри) характер, стремление к постижению Абсолюта, а не абстрагирование от него [Свасьян К.А. Становление европейской науки. М.: Эвидентис, 2002, с. 361–388]. Эту ветвь математики можно назвать, в отличие от физико-технической, математическим естествознанием. Именно эта ветвь несёт потенцию синтеза с естественными науками. Беспомощность абстрактной математики в этом направлении можно считать итогом глобального эксперимента по недавней математизации наук.

«Система суждений в математике строится без апелляции к неявно предполагаемым допущениям, здравому смыслу или свободным ассоциациям. Задача заключается в проверке, что результаты действительно следуют из начальных допущений. Бессмысленной является сама постановка вопроса о проверке правильности исходных аксиом в каком-то «физическом» смысле. Математиков беспокоит только логическая состоятельность аксиом – они должны быть внутренне непротиворечивыми. … У Клини мы находим следующую характеристику принципиальных установок Гильберта: “… символы сами по себе являются окончательными предметами и не должны использоваться для обозначения чего-либо отличного от них. Математик смотрит на них, а не через них и на то, что находится за ними; таким образом, они являются предметами без интерпретации и значения”. Часто игру в шахматы рассматривают как модель математики, или, если хотите, как пародию на математику. … Но самое интересное в таком сопоставлении – это то, что логические операции здесь (как и при формальном доказательстве теорем в математике) производятся без какой-либо интерпретации в терминах явлений внешнего мира» [Налимов В.В. Вероятностная модель языка. М., Наука, 1979, с. 141].

Современные антинаучные настроения в существе своём имеют причину именно в неадекватности классических математических методов. В силу своего положения «самой научной из наук» последствия экстраполяции стандартной математики на нефизические области выходят далеко за рамки внутринаучной проблемы. Негативные эффекты математизации, то есть упрощения сложного мира, сегодня известны как гуманитарный, экономический и экологический кризисы. Возник неожиданный ракурс известного тезиса И.Канта о научности математики: развитие наук лимитируется развитием математики.

Хорошо известна книга М.Клайна, содержащая обширный материал [Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984], посвящённая как внутренним, так и прикладным проблемам математики. Для чистого математика-профессионала она не представляет большого интереса из-за неизбежной ограниченности его своей специализацией. Но для прикладного математика, не ограниченного одной математической дисциплиной в своих задачах, эта книга служит хорошим путеводителем – лоцией по «прибрежной зоне», освещая её рифы и подводные камни.

«Теорема Гёделя о неполноте свидетельствует о том, что любая система аксиом не позволяет доказать (или опровергнуть) все теоремы той области математики, для описания которой данная система аксиом предназначена. Теорема Левенгейма-Сколема утверждает, что любая система аксиом допускает намного больше, существенно больше различных интерпретаций, чем предполагалось при её создании. … Иначе говоря, из неполноты следует некатегоричность [там же, с.316-317] … Математика продолжает жить на проценты от репутации, заработанной их предшественниками. … Чистые математики пошли ещё дальше – они изгнали прикладных математиков из своего братства … они выбросили за борт богатейший источник идей и беспечно транжирят накопленное ранее богатство. … Они утверждают, что создают модели для теоретического естествознания. Но в действительности подобная цель их нисколько не интересует. Более того, поскольку большинство математиков абсолютно несведущи в естественных науках, они просто не в состоянии создавать такие модели [там же, с.351]. … Итак, все эти ведущие учёные, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что попытка создать приемлемую для всех, логически безупречную математику провалилась. Математика – одна из разновидностей человеческой деятельности, и она подвержена всем слабостям и порокам, присущим всему человеческому» [Клайн М. «Математика. Утрата определённости М.: Мир, 1984, с. 381].

Кроме книги М.Клайна, разнообразный и весьма полезный материал для прикладника содержится в работах: Налимов В.В. Вероятностная модель языка. М.: Наука, 1979 – широкое обсуждение не только языковой сферы, но и особенностей логики и методологии прикладной математики; Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982 – по математическим основам теории систем; Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М., Григорян А.А., Девяткова Г.Н., Угер Е.Г. Математическое моделирование в экологии: Историко-методологический анализ. М. Языки русской культуры, 1999 – по опыту моделирования больших систем; Блехман И.И., Мышкис Ф.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1983 – по проблемам математической техники в механике; Петров Ю., Петров Л. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. СПб.: БХВ-Петербург, 2005 – по собственно формальным методам преобразования уравнений; Непейвода Н.Н. Прикладная логика. Новосибирск: НГУ, 2000 – первый систематический опыт изложения всего спектра логических проблем для образования прикладников. По мнению автора, первой систематической книгой по теории фракталов системной направленности в русскоязычной литературе, в которой к тому же систематически проводится идея двойственности пространства, числа и динамики систем, является книга: [Александров В.В., Арсентьева А.В. Информация и развивающиеся структуры. Л.: ЛНИВЦ, 1984]. Много ценной информации содержится в книгах и статьях Н.Н.Моисеева.

Эти работы и разнообразный статейный материал, по сути, снимают блокировку мышления прикладника, которую создаёт стандартное математическое образование, психологическим и методологическим стержнем которого является категоричность во всех её проявлениях – синтаксических и семантических.

Отдельно следует отметить наиболее желательную в приложениях проблему прогноза, особенно в теории принятия решений, которая имеет смысл предсказания будущего – сложной системы, а не полёта снаряда, ракеты, то есть материальной точки. Её приложения весьма обширны – от политических, социальных до коммерческих. Здесь, со времён Аристотеля, известна проблема фатализма – связь между истиной (т.е. точностью), временем и необходимостью (т.е. доказуемостью), которая полностью игнорируется математикой [Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего. М.: ЛКИ, 2008]. Эта тема, как и апории Зенона, пока полностью принадлежит философии. Опыт альтернативной науки – прогностики изложен в: [Бестужев-Лада И.В. (ред.-сост.) Мир нашего завтра. М.: Эксмо, 2003]. Ничего содержательного математика в этом направлении пока предложить не может, продолжая полагаться на дифференциальные уравнения в евклидовом пространстве. Модальная логика, семантики возможных миров, имеющие явную направленность в будущее, пока остаются внутренним материалом, не имеющим содержательной интерпретации и отделённым от остальной математической техники.

Сегодня прикладная математика представляет собой композицию двух компонент: более или менее редуцированного традиционного физико-математического аппарата [Lin C.C., Segal L.A. Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences SIAM. Philadelphia, 1988; Strang G. Introduction to Applied Mathematics Wessley-Cambridge, 1986; Logan J.D. Applied Mathematics. Wiley&Sons 2006; Малинецкий Г.Г. (ред.) Будущее прикладной математики. Эдиториал УРСС, 2005] и компьютерных методов вычислений и имитации [Гусев А.В., Малинецкий Г.Г., Торопыгина С.А. Прикладная математика – проблемы и перспективы// Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 2013, №44].

Это тот же диалог «человек – машина», сформировавшийся в эпоху кибернетики, только на гораздо более мощной – программной и аппаратной – вычислительной базе, использующий развитую математику информационных процессов (theoretical computer science, TCS – англ.). Оказалось, что евклидово пространство плохо приспособлено к решению задач. Собственно разностные схемы решения дифференциальных уравнений, заменяющие гладкое пространство дискретным, являются тому примером. Такая двойственность симптоматична, она означает, что евклидово физическое пространство расширено пространством состояний компьютеров, которое является усечённым фракталом, точнее, подпространством 2-адических чисел. Эта двойственность отвечает существу дела: компьютер есть теоретический, а не просто вычислительный инструмент. Его теория – это теория хаоса и р-адических чисел, его эмпирия – фрактальная геометрия. Математика теоретической информатики, теория доменов (domain theory – англ.) явилась реакцией на эту проблему.

В предлагаемой работе эта двойственность названа числовой асимметрией и для неё показано, что она обеспечена рядом согласованных математических результатов, имеющих эмпирическое содержание.

В конце прошлого века в тени математизации наук зазвучала теория детерминированного хаоса, нелинейной динамики и фракталов Б.Мандельброта. Особенностью фрактальной геометрии явилось то, что она оказалась узнаваемой специалистами во всех разделах естествознания, в психологии, лингвистике, биологии, производстве. Первоначально, как и теория систем, фракталы подверглись обработке теориями математической физики, но без ожидаемого успеха, следствием чего явилось заметное угасание интереса к этой теме. Тем не менее, после периода «бури и натиска», математическая разработка фрактальной теории продолжается: в многочисленных публикациях присутствуют прямые или косвенные ссылки на фрактальную геометрию или содержатся отдельные разделы, главы, посвящённые вопросам её теории, – распределение публикаций по теории фракталов само является фракталом.

Теории фракталов и детерминированного хаоса обязаны своим звучанием развитию цифровых компьютеров. На заре развития вычислительной техники был недолгий период, когда цифровые компьютеры конкурировали с аналоговыми, построенными на идеологии дифференциальных уравнений. Затем была попытка создания АЦВК – аналого-цифровых вычислительных комплексов. Результат сегодня налицо: функции аналоговых полностью поглощены цифровыми. В частности, именно благодаря цифровым, стало возможным увидеть нелинейность в полном объёме – заработали рекурсивные алгоритмы, появились фрактально-хаотические странные аттракторы, фрактальные образы. Эти новые объекты воспринимались классикой математики как патологические, не имеющие естественнонаучного смысла, как зоопарк красивых фигур.

Однако изучение математики нелинейности обнаружило многочисленные связи практически со всеми разделами, так же как и изучение фракталов продемонстрировало единство топологии всех естественных наук. Возникло новое основание, взамен прежнего механико-математического, для построения системной теории, выработки формальных методов междисциплинарной идеи. Стало возможным видеть сквозь символы, вскрывать чёрные ящики понятий и наблюдать как внешнюю, так и внутреннюю динамику.

В этой ситуации напрашивается сведение эмпирической универсальности фракталов, цифровых компьютеров и математики нелинейности в единую основу для прикладной математики. Как представляется автору, для такого шага есть основания. Данная работа представляет опыт такого рода.

Известно, что в морском путешествии самое красивое – близость берега, а в сухопутном – вид прибоя. Кроме того, на береговой линии сходятся все стихии, необходимые человеку для жизни – тепло (Солнце), земля, вода, воздух, известные как четыре первоэлемента древних. Это соображение и определит строй нашего изложения – возможно эклектичный, но так легче понимать задачи прикладной математики. Прикладная математика, собственно, из-за своей двойной углублённости, есть пример береговой линии, границы взаимодействия естественных наук и математики (подробнее об этом см.: [Налимов В.В. Вероятностная модель языка. М.: Наука, 1979, гл. IV]). Поэтому мы будем пользоваться всеми доступными (естественно, пониманию автора) идеями и фактами естественных наук, не ограничивая себя лишь физико-математическим материалом, хотя центральным является именно содержание самой математики. Такое расширение экспериментальной базы наполняет содержанием ранее немые математические структуры и даёт возможность выхода на системные идеи.

Поэтому метафорически траектория логики нашего изложения – это геометрия береговой линии – классический пример фрактала. Это значит, что в нашем движении будет множество округлений и прямолинейных участков – точно повторить фрактал невозможно. Мы будем стремиться лишь в общих чертах уловить очертания берегов и удостовериться в их пригодности для жизнедеятельности математики и математиков. Поэтому многие факты математики лишь упомянуты своим первоначальным смыслом.

Каждая из затрагиваемых в книге тем может быть развита в своём направлении, своими методами. Интерес представляет не логика специализации, а логика синтеза. Поскольку мы сосредотачиваем внимание на нефизических сложных системах, то можно вспомнить в связи с этим мысль Н.Н.Моисеева: «Для того чтобы человек имел нужное понимание (понимание, а не знание, что не совсем одно и то же), ему необходим голографический портрет явления. А его могут дать только интерпретации. В построении таких интерпретаций на основе эмпирических данных (а значит, и согласованных с ними) и состоит основная задача современной науки» [Моисеев Н.Н. Как далеко до завтрашнего дня…1917–1993. Свободные размышления. М.: Аспект Пресс, 1994, с. 199]. Сложные системы как раз и являются многогранными объектами, дающими для анализа разнообразные данные различных наук (междисциплинарная реальность).

О терминах подзаголовка. Фракталы – естественноприродная геометрия, являются равнодействующей сил отталкивания (деления) и притяжения (соединения). Их универсальность и вездесущесть подтверждены большим числом экспериментальных работ, не только в материальных, но и в гуманитарных науках. р-Адические числа (2-адические числа) являются числовым содержанием фракталов. Они обеспечивают связь материальной теории с теоретической информатикой, дедуктивными теориями классической математики и включают в арсенал моделирования много новых полезных результатов. Апории Зенона понимаются как неадекватность формального отображения всей чувственно воспринимаемой реальности (а не только движения), то есть в итоге невозможность формализации естества Природы стандартными средствами. Это ключевой момент, поскольку все естественные науки потому и «естественные», что полагаются именно на полноту чувственного восприятия. О сложных системах мы упоминаем по ходу накопления теоретического материала, исходя из эмпирии фракталов. Наша схема позволяет восстановить бинарный архетип и дополнительность, хорошо известные в естественных науках и философии, при помощи результатов, ранее не вовлекавшихся в математическое моделирование. Иными словами, дополнительность присуща и самой математике.

О структуре книги. Книга состоит из двух частей. В первой части даётся интерпретация результатов, связанных с фракталами и р-адическими числами. В математическом отношении эта часть не содержит ничего нового. Мы лишь последовательно развиваем интерпретацию С.Улама р-адических чисел как инвариантов бесконечной делимости материи и общей основы противоположностей. Именно здесь включается богатый арсенал философии и положения естественных наук. Сквозной идеей этой части является согласование результатов о двойственности – эмпирии фракталов и самой математики. Во второй части она применяется в очень небольшом объёме к поиску соответствий с основными разделами системной науки – языком, биологией, сознанием, физикой. В общенаучном плане – диалога науки и религии, рассмотрены соответствия с религиозным мировоззрением.

Как оказалось, для прикладной математики камнем преткновения стало то, что ненаблюдаемо. Поэтому мнения и в`идение учёных разных специальностей служат «экспериментальным материалом», и другого пути преодоления физического аутизма для математики не видно. Поэтому в изложении переплетены материал естественных наук и формальный материал математики, представленные цитатами, коих много и они зачастую обширны. Фокус изложения расположен в области, которую впервые описал И.В.Гёте, а позже – П.А.Флоренский, и в которой прикладные математики оказываются всякий раз, когда им приходится разрабатывать модель нового явления. Эта область формализации задачи – между явлением и уравнением – является обязательной для приложений, она связывает понятия формальной теории с понятиями и методами измерения конкретной науки. Лишь тогда формальная техника вычислений не разойдётся с процессом:

«Если естествоиспытатель хочет отстоять своё право свободного созерцания и наблюдения, то пусть он вменит себе в обязанность обеспечить права природы. Только там, где она свободна, будет свободен и он. Там, где её связывают человеческими установлениями, он будет связан и сам. … Теория – это обыкновенно результаты чрезмерной поспешности нетерпеливого рассудка, который хотел бы избавиться от явлений и подсовывает поэтому на их место образы, понятия и даже слова. … Нет ничего труднее, чем брать вещи такими, каковы они есть на самом деле. … Все попытки решить проблему природы являются по сути дела, конфликтами мыслительной способности с созерцанием» (цит. по [Свасьян К.А. Гёте – естествоиспытатель. М.: Evidentis, 2001, с. 88–89, 96, 98–111]).

Или, говоря словами П.А.Флоренского,

«в произведении два слова, слово действительности и слово художника соединяются в нечто целое. … То, что говорит о себе чрез произведение самая действительность, есть конструкция в произведении; а то, что говорит об этой действительности художники, есть композиция произведения. … Конструкция есть то, чего хочет от произведения самая действительность; а композиция – то, чего художник хочет от своего произведения» [Флоренский П.А. Анализ пространственности (и времени) в художественно-изобразительных произведениях / Флоренский Павел. Собр. соч. История и философия искусства. М.: Мысль, 2000, с. 152–153].

Конструкция и композиция в этом рассуждении Флоренского точно соответствуют теоремам Э.Бета и Крейга теории моделей: синтаксис теории определяется семантикой предмета.

Отрицание есть простейшая форма связи, или, как говорят китайцы, «определение указывает не только на то, что оно определяет, но и на то, что остаётся за его рамками». Несмотря на то, что автор не является физиком ни по образованию, ни по опыту работы, который полностью состоит из моделирования в нефизических, то есть системных областях, он считает своим долгом отметить сильное влияние работ пионеров р-адической физики – российских математиков: В.С.Владимирова, И.В.Воловича, Е.И.Зеленова, А.Ю.Хренникова, знакомство с которыми способствовало пониманию р-адических чисел даже в их нефизической интерпретации. Эта интерпретация имеет собственный вход в теорию систем с работ С.Улама 1955-57 годов, которые позже, в 1984 году, были развиты А.Н.Паршиным, и которая поддерживается эмпирией теории фракталов. С неё начиналось развитие фрактально – системно – р-адических взглядов автора. Именно идеи работ Улама и Паршина являются для автора определяющими. В силу того, что р-адические числа полностью отсутствуют в образовании и, соответственно, в литературе, хронология знакомства с работами здесь буквально броуновская.

Автор воздерживается от окончательных диагнозов в различиях подходов, оставляя вопрос открытым. Во всяком случае, без работ российских математиков, пионеров р-адической науки, сложности возросли бы экспоненциально.

---

Полный текст доступен в формате PDF (4661Кб)

---

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]