Аннотация. Определены формулы для расчета суммы ряда чисел – так называемой постоянной – составляющих квадрат и куб определенного порядка. Проанализирована центральная симметрия магических квадратов от 2-го до 8-го порядка, а также – магических кубов от 3-го до 5-го порядка. Выявлено, что магические квадраты 2-го, 3-го, 4-го, 5-го, 7-го, 8-го порядка имеют «однородную» центральную симметрию (относительно диагоналей), а магический квадрат 6-го порядка – «смешанную» центральную симметрию. Таким же образом определен характер симметрии и для магических кубов 3-го, 4-го, 5-го порядков. «Однородная» симметрия характерна для магического куба 3-го порядка и 5-го порядка, а «неоднородная – для магического куба 4-го порядка. Исходя из логики построения магических квадратов и кубов, построены два подобных магических объекта – куб в кубе и кубы в кубе. Первый – построен на основании магического квадрата 4-го порядка (Albrecht Dürer, 1514), а второй – на основании магического квадрата 8-го порядка. Указанные магические фигуры обладают «смешанной» симметрией.

Ключевые слова: центральная симметрия, магические квадраты, магические кубы, порядок магического квадрата и куба, постоянная магического квадрата и куба.

Введение. Известно, что магический квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим. Четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из его осей симметрии. Суммы пар чисел, занимающих центрально-симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре. Число, располагающееся в центре квадрата (для квадратов нечетных порядков) будет равно порядковому номеру клетки, если пронумеровать все клетки по порядку построчно сверху вниз. Для магических кубов, если числа на каждой диагонали поперечного сечения также суммируются с магическим числом куба, то куб называется совершенным магическим кубом. Если суммы чисел на разорванных пространственных диагоналях магического куба также равны магическому числу куба, куб называется пандиагональным магическим кубом. Представляется весьма актуальным рассмотрение числовой симметрии магических квадратов и кубов.

Основная часть. Определены формулы для расчета суммы ряда чисел – так называемой постоянной (∑_S) – составляющих квадрат (1) и куб (2) определенного порядка (n). На их основании составлены таблицы основных математических показателей и их значений для магических квадратов (таблица 1) и кубов (таблица 2) от 2-го до 8-го порядка:

∑_S = n×(1 + n²)/2                                              (1)

∑_S = n×(1 + n³)/2                                              (2)

Определены так же формулы для расчета суммы всех чисел (∑_S) составляющих магический квадрат (3) и магический куб (4) определенного порядка (n):

∑_S = n×(1 + n²) /2×n                                              (3)

∑_S = n×(1 + n³)/2×n²                                              (4)

формате PDF (1104Кб)