Аннотация. Рассматриваются возможные варианты тождеств значений площади и периметра ряда двумерных фигур (квадрат, круг, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник), объема и площади – трехмерных (платоновы тела, конус, цилиндр, пирамида и сфера).

Ключевые слова: тождество значений, двумерные фигуры, трехмерные фигуры, параметры геометрических фигур, периметр, объем, площадь.

Введение. В одной из своих публикаций [1] рассматривались возможные случаи тождества (числового равенства) ряда двумерных и трехмерных геометрических фигур. По мере накопления материала исследования количество такого рода фигур возросло. И может еще возрасти силами любителей геометрии. В этом отношении есть надежда, что значительно пополнив «реестр» подобных геометрических фигур может быть сформулирована очень красивая теорема.

Основная часть. Расчеты параметров ряда двумерных и трехмерных фигур производились посредством онлайн калькулятора «Geleot». Расчеты, требующие точности более трех знаков после запятой, производились самостоятельно на основе соответствующих формул, с помощью калькулятора.

По результатам расчетов выявлены следующие числовые равенства площади и периметра ряда двумерных фигур:

– квадрата, когда сторона равна 4 (площадь и длина периметра, соответственно, будут тождественны значению 16), радиус вписанного круга равен 2;

– круга, когда наблюдается тождество площади и длины окружности при значении 12,566… или 4 π (радиус вписанного круга равен 2);

– прямоугольного треугольника с иррациональным значением площади и периметра, когда площадь и длина периметра равна значению 27,416324… ≡(√5+3)², радиус вписанного круга равен 2;

– равнобедренного треугольника, при значении площади 23,314… (при этом катеты равны 6,8285…), радиус вписанного круга равен 2;

– равностороннего треугольника, при значении площади 20,7846… (при этом длина стороны равна 6.928…≡√48), радиус вписанного круга равен 2;

– героновых треугольников со сторонами: (5, 12, 13 – прямоугольный треугольник); 6, 25, 29; 7, 15, 20; 9, 10, 17 (тупоугольные треугольники), радиус вписанного круга равен 2.

По результатам расчетов выявлены следующие числовые равенства объема и площади ряда трехмерных фигур:

– куба при грани равной значению √8, объем и площадь поверхности куба – 216, радиус вписанной сферы равен 3;

– сферы (тождество объема и площади поверхности) равной значению 113,097335526… или 36 π (при этом диаметр сферы равен 6, а ее окружность – 18,85…≡6 π), радиус вписанной сферы равен 3;

– тетраэдра (тождество площади и объема) равной значению 374,123… (при этом длина ребра равна 14,69693845669907…≡√216), радиус вписанной сферы равен 3;

– октаэдра (тождество площади и объема) равной значению 187,061… (при этом длина ребра равна 7,348469228349534…≡√54), радиус вписанной сферы равен 3;

– икосаэдра (тождество площади и объема) равной значению 136,4595… (при этом длина ребра равна 3,9695…), радиус вписанной сферы равен 3;

– додекаэдра (тождество площади и объема) равной значению 149,8578… (при этом длина ребра равна 2,694168…), радиус вписанной сферы равен 3;

– цилиндра (тождество площади и объема) равной значению 54π ≈ 169,646… (при этом радиус равен 3, а высота – удвоенному значению радиуса – 6). Площадь боковой поверхности равна 113,097… (объем и площадь вписанной в фигуру сферы) или 36π, а площадь одного из двух оснований – 9π, радиус вписанной сферы равен 3;

– конуса (тождество площади и объема) равной значению 96π ≈ 301,593… (при этом радиус основания равен 6, образующая – 10, а высота – фигуры – 8). Площадь основания (круга) равна 113,097… (объем и площадь вписанной в фигуру сферы) или 36π, радиус вписанной сферы равен 3;

– трехгранной пирамиды (=тождество площади и объема тетраэдра) при высоте 12, стороне основания – 14,6969384567…≡√216 и равно значению 374,123…, радиус вписанной сферы равен 3;

– четырехгранной пирамиды (тождество площади и объема) при высоте 12, стороне основания – 8,485281374…≡√72 и равно 288. Отношение высоты к стороне основания – √2. При этом площадь боковой поверхности пирамиды в три раза больше площади основания (216 и 72), радиус вписанной сферы равен 3;

– шестигранной пирамиды при высоте 12, стороне основания – 4,898979485…≡√24 и равно 249.415…, радиус вписанной сферы равен 3.

На основании проведенных расчетов сформулировано заключение: в двумерных фигурах квадрат, круг, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник радиус вписанной окружности при тождестве значений площади и периметра равен 2; в трехмерных правильных фигурах платоновы тела, конус, цилиндр, 3-4-6-гранная пирамида и сфера радиус вписанной окружности при тождестве значений площади и объема равен 3.

1. Ворон, А.В. Тождество значений площади и периметра ряда двумерных фигур, объема и площади – трехмерных // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25873, 14.11.2019.