Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко

Математическое эссе посвящено роли трансцендентного числа π в невозможности квадратуры круга или кругатуры квадрата, как синонима не разрешаемой проблемы и метафоры бессмысленно-бесполезного действа. Накануне Международного π-дня 14 марта.

На круглые квадраты число "пи" не распространяется.

Для простоты расчетов пи-военное принимается ровно за три.

Немного истории. Число π = 3,1415926… – особенное, намного больше, чем просто константа. Самое известное, наиболее изученное, знаменитое и самое упоминаемое [1]. Его важность в науке невозможно оценить и преувеличить.

Буквально «лезет в дверь, в окно и через крышу» (А.Морган).

Ежегодно 14 марта в 1:59:26 – международный день "пи", как и А.Эйнштейна.

Около 5000 лет даровитые математики всего мира применяли свой талант и умение, чтобы рассчитать число π с максимально возможной точностью, шаг за шагом добавляя новые знаки. Из античных ученых более всех продвинулся величайший математик древности Архимед, а в средние века – немецкий математик Людольф Цейлен, доведший точность числа до 35 знаков! Константу стали называть лудольфовым числом.

Непревзойденный гений и человек-компьютер И.Дазе (1824–1861) записал 200 знаков, произведя все расчеты в уме с перемножением 100-значных чисел.

Немецкий математик Ф.Линдеман доказал (1882), что π – трансцендентное, не алгебраическое число, то есть не является корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Поэтому его нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Значит, задача о квадратуре круга не разрешима, причем с применением любых алгебраических кривых: эллипсов, гипербол, кубических парабол и т.п. Разве что приближенно с разумной степенью точности. Например, в изложении удивительно талантливого С.Рамануджана (1914) по необычной формуле [2] π ≈ (9² + 19²/22)^1/4 с погрешностью 10^–9,

Задача о квадратуре круга разрешается геометрически, если в дополнение к циркулю и линейке использовать другие средства, в частности, квадратрису. Либо квадрировать луночки Гиппократа [3].

Невозможность квадратуры круга стала синоним проблемы, не имеющей решения. Яркой метафорой безнадежного, бессмысленного, тщетно-бесполезного действа, бесцельно и напрасно отнимающего время и силы неуемных любителей-поисковиков.

В настоящее время число π вычислено с десятками триллионов знаков и в качестве теста широко используется для поверки суперкомпьютеров.

Продолжают совершенствоваться алгоритмы с повышенной скоростью сходимости.

Изобретены BBP-формулы, позволяющие определять любой n-й знак в произвольной системе счисления, без необходимости рассчитывать все предыдущие, как новая эпоха в вычислениях.

Известный писатель и математик М.Гарднер предсказал (1966), что миллионный знак π равен 5. По англоязычной Библии (3 кн., 14 гл., стих 16), где используется магическое число 7, и седьмое слово содержит пять букв. На удивление, прогноз подтвердился (1974).

Японец А.Харагучи воспроизвел по памяти более 83 тыс. цифр числа π, установив новый мировой рекорд (2004)…

Аппроксимация – не порок. В математике известны разные варианты соотношений между фундаментальными константами π, e, Ф [4], которые весьма востребованы в науке. В частности, приближенное равенство π√Ф ≈ 3,9962. Произведение почти равно целому числу 4, одухотворяющему квадрат, тетраэдр, крест – символ целостности и направлений космоса, пифагорейский тетрактис, стороны света и времена года, 3+1_t = 4 измерения мира, тетраграмматон и так далее.

Призадумался один писатель, что полезного из этого можно выудить-извлечь.

Всё-таки хорошо, когда произведение равно в точности целому числу. Да ещё четверке – периметру классического единичного квадрата.

А что если один из сомножителей немного подправить-скорректировать, подумал он. Константу Ф золотой пропорции жалко. Да и гармония нарушается. Остается число "пи".

Тем более что «в методе точности вычисления значения "пи", начал сомневаться, можно сказать, со школьной скамьи... История уточнения числа "пи" шла параллельно с развитием всей математики... и она еще не закончилась» [5].

Не мудрствуя лукаво, вводит новое значение π_C = 4/√Ф = 4√ф ≈ 3,1446055, внешне похожее на π ≈ 3,1415926. Теперь длина окружности на диаметре √Ф равна π_C·√Ф = 4.

Дата рождения сохраняется 03.14, правда из последующих цифр 46055 никак не комбинируется сакральное время. Ничего, подумал писатель, настанет час, мы изменим и продолжительность суток... в рамках «Русского проекта математики гармонии». – Не важно, что анормально, зато своё, доморощенное.

К слову, для "пи" есть и другие прекрасные формы π = 4·k , например [1, с. 78]:

π = 4·arctg1 = 4·(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …);

π = 4·Σ_n arctg 1/F_2n+1, n = 1…∞, где F_k – числа Фибоначчи.

Площадь и периметр – основные измерения геометрических фигур. Они обычно изменяются с варьированием размера фигур. Но вовсе не обязательно. Нет никакой предустановленной связи между площадью и периметром фигур. Разве что в правильных формах. Для окружностей, правильных треугольников, квадратов и других n-угольников на евклидовой плоскости отношение периметра к квадратному корню площади (кратность формы) μ_n = p/√S одинаково для каждого семейства фигур независимо от их размера, например: μ₃ = 6/3^1/4 ≈ 4,5590; μ₄ = 4; μ₁₀ = √40·(3 + 4Ф)^–1/4 ≈ 3,6051; ... → μ_∞ = 2√π ≈ 3,5449.

Если удалить часть фигуры, её площадь уменьшится, но периметр может остаться прежним. Например, при отрезании от прямоугольника угловых прямоугольников меньшего размера. В идеале можно отрезать так, что получиться паутинообразный крестик: периметр тот же, а площадь ≈ 0.

Классический фрактальный квадрат (салфетка, ковер) Серпинского [6] имеет нулевую площадь (квадрат без внутренностей). Размерность топологическая = 1 (универсальная кривая), Хаусдорфова = ln8/ln3 ≈ 1,89. Польский математик доказал, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна подмножеству этого дырявого квадрата.

Геометрический фрактал "губка Менгера" имеет нулевой объем (на каждом шаге умножается на 20/27), но бесконечно большую площадь граней. Размерность топологическая = 1, Хаусдорфова = ln20/ln3 ≈ 2,73.

Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе правильного треугольника, обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь, равную 8/5 площади базового треугольника.

Мухи и котлеты. Для легитимности нового числа π_C и его формальной "прописки" в геометрии писатель переформатирует цель исследования [7]: «Вместо построения стороны (хорды) квадрата, равновеликого данному кругу, где x = R√π, я решил построить периметр круга, равновеликий периметру данного квадрата. То есть решить, так называемую, задачу "кругатуры квадрата", где задача сводится к построению диаметра круга, периметр которого численно равен периметру, равновеликому периметру квадрата, то есть равному 4». – Вообще-то " квадратура круга" и "кругатура квадрата" – это синонимические образы. Что в лоб, что по лбу. Их равновеликость, как и одинаковость периметров, не разрешимы, из-за невозможности построения трансцендентного числа π.

Писатель рассматривает задачу, в которой совмещает два положения [5]:

1) равенство площадей круга S_O и квадрата S₄,

2) равенство периметров круга p_O и квадрата p₄,

и объединяет их в одну систему уравнений (x – неизвестная сторона квадрата, d – заданный диаметр круга):

(S_O = π'd²/4) = (S₄ = x²) или π' = 4x²/d²,

(p_O = π'd) = (p₄ = 4x) или π' = 4x/d.

Приравняв π' (мы специально пометили апострофом), он получает x = d и восклицает, что такого не может быть, «в действительности d ≠ x».

Почему не может? – Очень даже может, когда котлеты с мухами.

Совместное решение принятой системы двух уравнений с двумя неизвестными дает абсолютно точное решение: x = d, π' = 4. Чтобы одновременно (!) выполнялись равенства площадей и периметров, необходимо круг вписать в квадрат (x = d), а число "пи" в формулах положить равным π' = 4. Тогда S_O = S₄ = d² и p_O = p₄ = 4d. То есть, де-факто имеем уравнивание периметров–площадей с одновременным округлением "пи" до удобного целого значения, удовлетворяющего обоим положениям 1) – 2).

Далее следует абсурдное заключение [5]: «Напрашивается вывод о том, что существуют два разных численных значения "пи", либо значение π = 3,1415926… не точно соответствует его истинному (онтологическому) значению. Трудно поверить в то, что данный парадокс не был ранее замечен математиками». – Парадокс создал сам писатель, объединив два разных положения в одной задаче, получив "правильный ответ" в виде решения системы двух уравнений с двумя неизвестными x и π', смешав зерна и плевела.

Какая музыка, такая и песня...

Конечно, дело не в числе π, которое для писателя играет роль коэффициента, посредством которого он соединяет сравниваемые равенства в одну систему.

На самом деле ситуация выглядит иначе (см. рисунок):

– конгруэнтные (одинаковые) круги образуют разные квадраты, a > b;

– если исходить из равных квадратов, то получаются разные круги, r₁ < r₂.

Вполне ожидаемая закономерность, поскольку среди всех плоских фигур с одинаковым периметром, круг имеет наибольшую площадь.

Объединять эти положения в одну задачу, с одним и тем же параметром x, нельзя!

Несуразность писательских фантазий можно продемонстрировать через родственное уравнивание "треатуры круга" и "кругатуры треугольника", рассматривая равные площади S и периметры p круга и правильного треугольника со стороной a = a₃:

(S_O = π'd²/4) = (S₃ = √3/4·a²) или π' = √3·a²/d², (p_O = π'd) = (p₃ = 3a) или π' = 3·a/d.

Откуда следует a/d = √3 и π' = 3√3 ≈ 5,2.

То есть, положив a = √3d и π' = 3√3, получим равные периметры и площади.

Аналогично для правильного 12-угольника: a₁₂ = d/(2 + √3) и π' = 12/(2 + √3) ≈ 3,2 и др.

Таким образом, для каждого правильного n-угольника получается своя пара значений a и π'. В пределе для правильного n-угольника n → ∞ выходим на π' → π.

Если «мухи и котлеты отдельно», то равенство площадей круга и квадрата приводит к отношению a₄/d = √π /2, равенство периметров – к другому отношению a₄/d = π/4.

Они разные, поэтому не объединяются в одной задаче. В противном случае получается круг, вписанный в квадрат, с числовым "военным" коэффициентом π' = 4.

Итак, (p_O < p₄, если S_O = S₄) и (S_O > S₄, если p_O = p₄). Жизнь π вне опасности, с его обозначением англичанина У.Джонса (1706).

Невозможность одновременного уравнивания периметров и площадей хорошо демонстрирует окружность, которая касается середины стороны квадрата и проходит через две его вершины (см. рисунок).

По теореме Пифагора для треугольника d² = (2a – d)² + a², откуда d = 5/4·a.

Следовательно, p_O / p₄ = 5/16·π ≈ 0,982 < 1 и S_O / S₄ = 25/64·π ≈ 1,227 > 1.

Если сторона квадрата a = 4, то d = 5 и образуется прямоугольный египетский треугольник (3, 4, 5), который только у писателя «не вписывается в окружность диаметром равным 5 единицам и не является строго прямоугольным» (АТ, публ. 22068, 04.05.2016).

Школа манипуляций. Можно привести множество других примеров, похожих на креативный алгоритм творческого хаоса "мухи и котлеты". – Не путать с созидательным поиском или инновациями, когда новое рождается из беспорядка – непредусмотренного и неожиданного несоответствия с привычным состоянием дел.

Ограничимся константой Ф золотого сечения (ЗС), разделив единичный отрезок на две части с их отношением Ф = (1 – x)/x, где x – меньший отрезок. Построим на этих частях круги. Золотое отношение их площадей равно Ф = (1 – x)²/ x².

Приравняв два значения Ф, получаем x = 1/2, то есть деление отрезка пополам.

Кто же теперь станет спорить с тем, что значение константы Ф ≈ 1,618 «не точно соответствует его истинному (онтологическому) значению... данный парадокс не был ранее замечен математиками» [5] и заодно всеми исследователями феномена ЗС. Оказывается, ЗС – обычное деление пополам.

Или словами писателя: «Что получится, если скрестить ужа с ежом? Ответ – колючая проволока». Совершенству манипуляций нет предела...

Step by step. Нужно отдать должное целеустремленности и цепкости писателя. Если за что-то взялся, то, как говорится, "мертвой хваткой". Причем с любопытным психоаналитическим подходом к изложению.

Сначала идет убаюкивающий текст с медленным погружением читателя в состояние легко транса. Используются сакральные мотивы, просторы Вселенной. Предстает галерея выдающихся ученых, античных философов. Вроде как мысли черпаются из глубокой древности, подзаряжаются космической энергией. В разных интерпретациях звучат слова: «интуитивные озарения», «Божий дар», «отдельные искатели Истины, поднявшиеся на более высокую ступень восприятия и познания космического бытия, ... на более высшую ступень пространственно-временного ощущения, знания и сознания». С обязательной теологически-туманной дымкой: «Наступило время понять простоту и гармонию мер бытия и творения Жизни, то есть наступило время познания законов Святой Троицы Творца» и так далее. Всего не перечесть. Нечто похожее на спиритические, шаманские техники.

После того, как сознание-внимание читателя немного притупляется, идет вбрасывание основной целевой информации, в том числе и заведомо ложной.

Читатель расслаблен, не парирует, легко заглатывает наживку и пропускает через себя эту информацию, особо не фильтруя. Только позже немного удивляется, как такое бывает. Времени и желания для глубоко анализа нет. Пожимает плечами, машет рукой. Ну, и ладно, может оное и вправду есть. Идеи Циолковского, Лобачевского тоже многие не воспринимали. Считали их чудаками.

Заставив хоть на толику усомниться в правильности числа "пи" в задаче «мухи и котлеты» и завершив тем самым артподготовку, писатель активизирует главный штурм безымянной высоты познания. Если не под силу "квадратура круга", то акцент переносится на придуманную "кругатуру квадрата".

Те же научно-философские яйца с фермы познания, только в профиль.

Причем довольно оригинально, взяв за основу произведение двух математических констант π·√Ф = 3,99616..., которое весьма близко к целому числу 4. Но вслух об этом не говорит, по примеру египетских жрецов и пифагорейцев, внося элементы таинства, скрытости, интриги: «Пусть это останется загадкой для догадливых» [7].

«Если построить единичную окружность < r = 1, d = 2 >, единичный квадрат < 1×1 > и равновеликую окружность периметру единичного квадрата в единой системе координат, то есть с началом измерения (единой нулевой точкой) … то мы сможем вычислить длину диаметра равновеликой окружности в единицах единой меры и вычислить константу "пи", которой присвоим символ π_C».

Далее следует второе погружение в транс. Ритуальное. Писатель выполняет сложные построения, дополняет их множеством утомительных вычислений на калькуляторе с точностью до 32 знаков. Как потом оказывается, с единственной целью: продемонстрировать на одном чертеже квадрат 1×1 и окружность диаметром = √Ф.

Хотя это делается просто (см. рисунок), буквально отдельными мазками: рисуется квадрат, проводятся две дуги и диаметр √Ф готов. – Как и загадывал писатель, в нулевой точке сходятся: единичная окружность, единичный квадрат, окружность диаметром √Ф и даже треугольник Кеплера с катетом √Ф. Только что с того? – Периметр вожделенной "равновеликой" окружности равен π√Ф = 3,99616..., но никак не 4.

Чуточку, но не дотягивает. Оптический микроскоп не помогает.

Поэтому вся возня-шумиха вокруг π_C – от лукавого.

Ноу-хау писателя состоит в том, что он, по сути, придумал новый парадокс, сходный с ахиллесовой черепашкой: как не удваивай количество сторон, правильный n-угольник никогда не превратится в окружность, и бегать черепашке всю жизнь не по окружности, а ломаной линии, спотыкаясь об углы. Чтобы исправить ситуацию и упростить ей жизнь, нужно всего лишь немного скорректировать число "пи" по формуле π_C = 4√ф ≈ 3,1446..., где нижний индекс "c" – наиболее вероятно, начальная буква фамилии Сергиенко.

На латыни или английском π_C читается "писи".

Золотую константу Ф = ф^–1 многие исследователи увязывают с гармонией в природе, значит, число "писи" автоматически становится гармоничным и озолоченным. Такой себе гармонично-брачный союз двух констант с золотыми кольцами одинакового периметра.

Только вот куда приткнуть это "писи" и что с ним дальше делать, никто не скажет, даже писатель. Разве что отправить в музей редкостных аномалий.

Как быть с "писи" π_C, вот в чём вопрос... Учитывая тождество малой константы золотого сечения постоянной ф² + ф = 1, можно отметить следующее:

π_C = 4√ф = √(4² – 4²ф²) – большой катет прямоугольного Δ-Кеплера со сторонами (a, b, c) = 4·(ф, √ф, 1);

π_C – алгебраическое число, как корень полинома z⁴ + 16z² – 256 с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом = 1.

Что делать дальше? – А ничего. Есть число "писи", нет "писи", всё остается по-прежнему. In statu quo ante. Имеет место обычное и не очень качественное приближение константы π ≈ π_C = 4√ф с точностью 0,003. Его применимость практически не просматривается. Даже если данное приближение позволяет подогнать под равенство не только периметры квадрата и круга (d = 1), но также их площади (d = 4).

Рядовое умственно-игровое упражнение. Да и зачем вообще менять "пи" на "писи" или шило на мыло, если можно использовать обычный коэффициент модуляции.

Например, известно абсолютное числовое тождество Ф = 2·cos(π/5), которое связывает константы Ф и π [4]. Но можно ли говорить здесь о функциональной связи π(Ф), позволяющей определять одно число через другое? – Конечно, нет. Всё равно понадобится обратная функция arccos. Перед нами одно и то же математическое свойство, но выраженное двумя эквивалентными способами или разными буковками. Здесь нет буквального соотнесения с числом π, ибо косинус cos(π/5) – не есть самостоятельное число. Но устанавливает опосредованное взаимоотношение, которое возникло искусственно, вследствие условного и как потом оказалось удобного принятия полного оборота в 360 градусов через 2π.

В математике и инженерной практике существует широкий арсенал аппроксимирующих формул, в том числе для константы золотого сечения Ф ≈ √(5/6·π).

Можно и наоборот π_B = 6/5·Ф² = 9/5 + 3/√5 с точностью 0,00005.

Остается объявить новую константу "пиби" π_B, а для её доказательства провести эксперимент писателя [5] с переливанием воды из мерного цилиндра диаметром d = 5 см и высотой h = 200 см в другой сосуд с квадратным сечением (V ~ 10 стопок).

Разница объемов воды должна составить: для π_C – 3,8 см³, для π_B – 0,1 см³.

Не знаем как "писи", но "пиби" точно не зарегистрирует разницу объемов при переливании воды «из пустого в порожнее». – За счет обязательной погрешности, обусловленной физическим "прилипанием" влаги к стенкам сосуда.

Успех гарантирован, и будет доказана новая мировая константа "пиби".

Подобно утверждению: тараканы слышат ногами.

Доказательство, экспериментально-логическое. 1) Ставим таракана на стол. Трясем погремушкой. Можно колокольчиком. Таракан слышит и бежит. 2) Отрываем таракану все ноги, ставим его на стол и снова шумим из всех сил. Таракан на месте. Значит, он слышит ногами. Утверждение доказано. – Достойно шнобелевский премии в номинации "акустика".

Писатель собирается поэкспериментировать с основанием натурального логарифма е ≈ 2,71828. Предлагаем использовать неплохую приближенную формулу И.Ткаченко для малой константы золотого сечения ф = Ф^–1 ≈ 5/7·e/π с погрешностью 0,000006 или точную формулу i ⁱ = e^–π/2, объединяющую комплексные и вещественные числа.

Знакомы мотивы. В алгоритме геометрического построения "кругатуры квадрата" [5] писатель детально описывает все шаги. Но два раза ограничивается лишь общей фразой: «проводим касательную линию к окружности в точке касания». Из последующих описаний становится понятным, что он проводит эту линию и определяет точку касания на глазок: «И увидел писатель, что <провел> хорошо. И был вечер, и было утро: день третий...». – Может оно и хорошо, но данная вольность становится источником принципиальных ошибок и не только [7]:

«Уникальность метатреугольника в том, что в его диагонали содержится информация о параметрах квадрата и информация о параметрах равновеликого ему прямоугольника». – Какая информация (да ещё о квадрате) может содержаться в диагонали, которой в треугольнике нет априори.

«При сжатии формы окружности, эллипса и ромба их периметры остаются постоянными» (?). – Ничего подобного. Периметры тоже изменяются. В чём легко убедиться, сжав фигуры до их превращения в практически линейные отрезки.

В квадрат вписана окружность. «Радиус перпендикулярен стороне квадрата и делит её на равные части. Быть перпендикулярным радиусу и делиться при этом на равные части – аксиома о точке касания отрезка к окружности» (?). – С квадратом понятно. А как быть с другими отрезками, например, сторонами треугольников или ромбов, в которые вписана окружность. Чем больше сплюснут ромб, тем ближе точки касания приближаются к его тупым углам, и никакого деления сторон-отрезков пополам в точках касания. – Это известно школьникам. Но у писателя своя ассоциативно-когнитивная логика (нумерация точек на рисунке): «Высота 0-5 перпендикулярна гипотенузе 1-2, но она не делит её на равные части, поэтому точка 5 не является точкой касания. Точкой касания отрезка 1-2 является точка 3. Она делит отрезок 1-2 пополам» (?). – Что называется, "приплыли".

Первое незнание: признаком касательной к окружности является её перпендикулярность к радиусу, а не пресловутое деление касательной на равные части. Точкой касания отрезка 1-2 является точка 5. Её следует не угадывать, а определять геометрически, циркулем и линейкой. Чтобы провести касательную из точки 1 к окружности, на отрезке 1-0 как на диаметре строится окружность, пересечение которой с исходной окружностью определяет точку касания 5. Как сопутствующий результат, образуется точка 9, дающая треугольник Кеплера 019.

Второе незнание: различие между высотой, биссектрисой и медианой. – Точка 3 лежит на биссектрисе прямого угла (диагонали квадрата). Гипотенуза 1-2 делится пополам медианой 0-7, совпадающей с диагональю прямоугольника.

Незнания порождают ошибки, ошибки приводят к неверным выводам, неправильные выводы становятся источником необоснованных нападок на оппонентов.

На нашем рисунке всё старательно и скрупулезно отмечено. Разжевывать не будем.

В подобных случаях математики Древней Индии писали: «Смотри!».

Отметим лишь узловые моменты, для фиксации внимания.

В треугольнике Кеплера 012: h – высота (равна радиусу 04), b – биссектриса прямого угла, m – медиана. Каждая из них делит гипотенузу 12 в таких отношениях: ф, √ф, 1, которые в точности повторяют отношения сторон самого Δ-Кеплера [8].

Прямоугольные треугольники 015 и 024 конгруэнтны: у них равные стороны 04 = 05 и все углы. Если гипотенузу 24 "уронить" вдоль вертикальной линии 02, то она совпадет с гипотенузой 01.

Прямоугольные треугольники 012, 015, 025, 024, 028, 048, 019, 049, 149 подобные, и все они – частные случаи Δ-Кеплера! Главная отличительная черта – это отношение сторон 1 : √Ф : Ф или равнозначно 1 : √ф : ф. Характерный угол β = arctg √ф ≈ 38,17⁰.

Точки 5 и 9 лежат на одной горизонтали и являются общими для четырех линий.

Метрика отрезков 04 или 01 не важна и принимается любая удобная.

4 – точка ЗС отрезка 01; 5 – точка ЗС отрезка 12; 8 – точка ЗС отрезков 24 и 09.

Согласно пропорциям сторон Δ-Кеплера, следующие отрезки равны: 02 = 15, 08 = 49, 04 = 19. То есть малый катет равен части гипотенузы, отсекаемой высотой из прямого угла и прилегающей к большему катету.

Если в каждом из вновь образуемых треугольников Кеплера проводить свою высоту, то получим самоподобную фрактальную структуру: все геометрические фигуры подобны каждому своему фрагменту. – Под любым микроскопом.

Королевство кривых зеркал. На евклидовой плоскости отношение периметра круга к квадратному корню его площади (кратность формы) не зависит от размера и равно μ = 2√π ≈ 3,5449. Теперь же кратность формы окружности μ' = 2√π_C ≈ 3,5466. Полный оборот вокруг оси становится равным 360,35⁰, прямой угол – 90,09⁰.

Параметры окружности: диаметр d = √Ф; периметр p_O = π√Ф ≈ 3,9962; площадь S_O = πФ/4 ≈ 1,2798. Параметры квадрата: сторона b = 1; периметр p₄ = 4; площадь S₄ = 1.

Число π_C дает периметр p'_O = 4 и площадь S'_O = π_CФ/4 ≈ 1,2720. То есть периметр окружности "причесали-подравняли" под целое число периметра квадрата, а площадь просто изменилась, и всё. Как говорится, ни уму, ни сердцу.

Известно абсолютное тождество: 2cos π/5 = Ф. Что делать с ним? Будем тоже ремонтировать? Константа Ф остается, число π уже исправили на π_C.

Остается хирургическое вмешательство в функцию косинуса. Ну, и ладно. Не жалко. Всё равно слово нерусское co(mplementi) sinus, а там, куда кривая выведет (sinus кривизна), – на исконно старославянский (русский) авось, который спасал в самых отчаянных и безвыходных ситуациях, как черта национального характера.

Поскольку π_C число надуманное, в задаче писателя проще всего положить π' = 4.

Тогда она будет иметь решение, и совпадут не только периметры, но и площади квадрата 1×1 и круга единичного диаметра: π'd = 4, π'd²/4 = 1.

Плоскость превращается в поверхность с небольшой кривизной. Но самый печальный момент состоит в другом. "Рассыпаются" практически все построения, выполненные ранее на евклидовой плоскости, в том числе: геометрическое представление константы золотого сечения Ф, теорема Пифагора, прямоугольный Δ-Кеплера, а с ним заодно и его частный случай – "мета-Δ", и так далее. Мы уже не говорим о поверхностях и объемах геометрических тел. – За что боролся, на то и напоролся.

А может не нужно городить огород и рисовать круги на воде? – Если уж сильно "свербит" уравнять периметры квадрата и окружности, не проще ли подыскать подходящую поверхность постоянной кривизны... Не трогая математические константы.

Возможно, вместо кривых зеркал родится геометрическое пространство или поверхность Сергиенко. На зависть маститым ученым-современникам и на радость благодарным потомкам. И овцы целы (константы π, Ф), и волки сыты...

Или рассмотреть обычную сферу.

Если разделить поверхность сферы тремя взаимно перпендикулярными большими кругами, то на поверхности получим восемь равносторонних сферических треугольников (октантов) с тремя прямыми углами, стороны которых равны четверти большой окружности. Сумма углов равна 3/2∙π, периметр – 3/2∙πR, площадь – πR²/2.

Восемь октантов образуют сферу, а 8 плоских правильных треугольника формируют октаэдр – один из пяти платоновых тел. Часть шара, осекаемая плоскостью, называется шаровым (сферическим) сегментом. Площадь его поверхности равняется произведению его высоты на окружность большого круга 2πRh.

Отрезай шаровые сегменты разной высоты и приравнивай периметрам и площадям правильных фигур, а после сокращения равенств на константу π, получай безупречные кругатуры, квадратуры, треатуры и др.

Под знаком "пи". Писатель демонстрирует слабое знание предметной области. При этом прикрывается неким русским проектом, эксплуатируя само понятие "русское" и, по сути, принижая его. К слову, более десятка своих ранних статей писатель разместил в 2020 году на сайте Украинской Академии оригинальных идей, стал её академиком. Однако, о русском проекте ни слова. Куда и делся патриотизм. Возможно потому, что руководит этим "союзом непризнанных интеллектуалов" (В.Коскин, 2007) И.Шуляк с нескрываемыми политическими настроениями, о которых свидетельствует, например, его недавняя монография (ВА837953, Национальная б-ка им. В.Вернадского) «Московитський націонал-соціалізм Радянської імперії». – К.: Фенікс, 2019. – 207 с.

Даже в этих работах писатель сумел отличиться нескрываемой некомпетентностью в части геометрических построений (о других не судим).

Например, по обсуждаемой теме [9]: «Численное значение π_C является константой метагеометрии, … её универсальность позволяет решать множество, ранее не решаемых задач, например, построения и вычисления: прямоугольника равновеликого равностороннему треугольнику, правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковые грани являются равносторонними треугольниками, додекаэдра и преобразования др. геометрических объектов». – Прямоугольник, равновеликий равностороннему треугольнику со стороной b, строится элементарно: достаточно провести в треугольнике высоту h и достроить прямоугольник h×b/2. Построение развертки пятиугольной пирамиды с равными ребрами (многогранника J₂ Джонсона) тоже тривиально: из вершин правильного пятиугольника проводятся пересекающиеся засечки радиусом, равным стороне.

Цитируемая работа [9] от 29.10.2020 в преддверии 14 марта стала катализатором в написании настоящего математического эссе.

В целом, авторская мета-геометрия напоминает "геометрию с квадратными колесами", поскольку отражает единственный геометрический пример: уравнять периметры круга и квадрата. – Всё, конечная остановка! Далее тупик.

Он нисколько не шутит по поводу "открытого" числа π_C и действительно представляет его альтернативным заменителем константы π [7]: «Геометрическая простота и эффективность решения задачи квадратуры круга мерой "золотого" сечения, поражает наше воображение… Окончательное выявление факта, что S_O > πr², на 0,00301 квадратных единицы, говорит о том, что существующая математика выстроена не на точном, естественном фундаменте природных начал Разума и Жизни, а на фундаменте приближенных значений, удовлетворяющих творение утилитарных вещей».

Вспоминает о намерении «представить решение задачи квадратуры круга к награждению премией им. Н.И.Лобачевского "За лучшее геометрическое решение"».

Вполне серьезно считает, что «установлен абсолютный… рекорд на точность и оригинальность решения задачи квадратуры круга геометрическим методом».

«Суета сует, – всё суета! ... и томленье духа... И обратился я, чтобы взглянуть на мудрость, и безумие, и глупость … потому что мудрого не будут помнить вечно, как и глупого» (Еккл. 1:2, 1:14, 2:12).

Число "пи" – абориген и самый почетный житель числовой оси. Его следы-проявления обнаруживаются везде, даже в области целых чисел.

Например, вероятность того, что два произвольных целых числа являются взаимно простыми, равна 6/π² ≈ 0,608..., немного не дотягивая до константы ф. Казалось бы, натуральные числа с их проверкой на общие сомножители и константа π. Что у них общего... Тем не менее, это доказанный математический факт.

Вероятность того, что произвольный треугольник со сторонами (а < 1, b < 1, с = 1) является тупоугольным, равна (π – 2)/4 ≈ 0,2854.

Максимальная плотность упаковки дисков на плоскости (гипотеза Кеплера) составляет π/√12.

Изумительное по красоте знаменитое тождество Эйлера e^iπ + 1 = 0 или немного видоизмененное [4] e^iπ + ф·(ф + 1) = 0 связывает шесть фундаментальных констант математики. Среди них: нуль, две единицы (действительная 1 и мнимая i), в том числе 1 и 0 – нейтральные элементы по арифметическим операциям умножения-сложения, и тройка "квадратичных" чисел (π, e, ф), которые "замыкают константами" конические сечения в виде совокупности окружностей (эллипсов), парабол и гипербол.

Установленные свойства числа "пи" можно перечислять долго. И они продолжают открываться, изумляя новыми пи-проявлениями в разных областях физико-математических знаний.

Вместо заключения. В инженерной практике достаточно использовать несколько значащих цифр иррациональных чисел. Но это не означает, что отныне можно "не париться" и все пи-подобные числа заменить подходящими рациональными аналогами.

Всё относительно и познается в сравнении.

«Клубок ниток кажется мухе с большого расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит "большую точку" – диск (топологическая размерность 2). С более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность 1). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити. Какова же "истинная" размерность клубка шерсти? Да её просто не существует: все зависит от точки зрения наблюдателя, разрешающей способности его глаз или прибора» [10, с. 188; 11]. «Облака – не сферы, горы – не конусы, берега островов – не окружности, кора дерева отлична от поверхности цилиндра, а молния ударяет отнюдь не по прямой… Человек всё идеализирует. Прямая линия – его изобретение, в природе прямых нет» [10, с. 49].

Число "писи" π_C – конечно, утопия (место, которого нет). Обсуждать тут нечего. Его злоключение, к сожалению, усугубляется писательской верой в безупречность модели.

В реалиях становится негативным ярлыком-символом трактатов, содержащих неосуществимый путь радикального преобразования геометрии. В этом «Ему слава во веки веков» (Евр. 13:21) через числа Фибоначчи 13:21 ≈ ф. Как пример квадратно-гнездовой или кругатурно-квадратной логики. В назидание потомкам, что дважды два – всё-таки 2² = 4. Пусть 5. Самое большое 6. Но никак не 8 = 2³...

Если отвлечься от математического нигилизма, то справедливости ради заметим, что писатель не одинок в своих муках творчества. Рассуждая о базовых соотношениях между фундаментальными константами [4], замечательный логик-исследователь А.Никитин отмечал буквально следующее (2012). – Отношение констант в математической формуле – малая часть вопроса поиска связи этих постоянных. Более значимым является поиск приближенного перехода от одной константы к другой для объяснения видимого формообразования живых объектов. Переход от линейных форм к круговым и сферическим аналогам, от линий – к плоскости и объему. Так, как они создаются в живых объектах, а вовсе не из-за математических соображений-представлений. В формах природных объектах мы не находим ни одной точной сферы. И все же точно видим, что перед нами сфера. С ошибками-неточностями, с отдельными искажениями, но идет приближение к сфере, эллипсоиду, параболоиду и т.п. Возможно, в это время осуществляется переход от Ф к "пи", но вряд ли растение или коралловая колония об этом задумываются. Мы ищем эти переходы, эти связи, а совсем не формулу. Классическая математика и точность результата тут не являются главенствующим результатом. Возможно, именно поэтому 2Ф ≈ π.

Желаем уважаемому писателю не унывать. Бодрости духа, здорового тела и внутренней гармонии, как у совершенного додекаэдра.

Ничто не исчезает бесследно и стремится к востребованию.

Объективная критика достойна благодарности. На неё потрачено время, силы, желание. Мнением оппонентов следует дорожить, находя в их словах разумные подсказки на будущее. Кто как не они дают свежие импульсы для переосмысления и позволяют вносить нужные правки-коррективы. – Во время исполнения ошибки имеют наивысший приоритет (закон Мерфи).

Некий француз Лакомм не только считал (1836) π = 13/4, но на удивление был награжден авторитетными учреждениями за свои открытия, связанные с этим числом [1, с. 111] . Не перевелись ещё меценаты и на Руси. «Всему свое время... время разрушать, и время строить ... время искать, и время терять ...» (Еккл. 1:1–8).

Литература:

1. Мир математики: в 40 т. Том 7: Хоакин Наварро. Секреты числа π. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.
2. Approximate geometrical constructions for π / Quarterly Journal of Mathematics. – XLV (1914), 350-374.
3. Василенко С.Л. Золотые двуугольники, египетский треугольник и модель всевидящего ока // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22038, 25.04.2016. – URL: trinitas.ru/rus/000/a0000001.htm.
4. Василенко С.Л. Базовые соотношения между фундаментальными константами // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17327, 20.02.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161934.htm.
5. Сергиенко П.Я. Алгоритм построения "кругатуры квадрата" и вычисления "Пи" // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 18051, 02.06.2013. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/00162127.htm.
6. Sierpinski W. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – Paris. – Tome 162, Janvier. – Juin 1916, p. 629-632.
7. Сергиенко П.Я. Константа π_C метагеометрии гармоничного мироустройства // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22688, 06.11.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163113.htm.
8. Василенко С.Л. Треугольник Кеплера как объединитель теоремы Пифагора, золотого сечения и современных мифов // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22385, 05.08.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163016.htm.
9. Сергиенко П.Я. "Кругатура" квадрата, построение и вычисление константы π_C. Алгоритм построения окружности равной периметру единичного квадрата / Украинская академия оригинальных идей. – 29.10.2020. – URL: iaoi.info/krugatura-kvadrata-postroenie-i-vychislenie-konstanty-s/.
10. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.
11. Данилов Ю.А. Фрактальность // Знание – сила, 1993, № 5, с. 94-100.

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]