В свое время Г.Харди писал [1]: «Есть только четыре числа, исключая единицу, которые равны сумме кубов своих цифр: 153 = 1³+5³+3³, 370 = 3³+7³+0³, 371 = 3³+7³+1³ и 407 = 4³+0³+7³. Это необычный факт, очень удобный для головоломных разделов в газетах и для развлечения любителей, но в нем нет ничего, что бы привлекало к нему математиков. Доказательства не трудны и не интересны – лишь немного утомительны. Теоремы не являются серьезными ... и не содержат каких-либо серьезных обобщений».

В значительной мере великий математик, конечно, прав.

Хотя формальное расширение его умозаключений ставит под некоторое сомнение полезность вообще теории чисел, изучающей целые числа и сходные объекты [2–4]. Поскольку всё ставится в зависимость от того, насколько та или иная задача интересна для профи-математика, когда система доказательств попросту превращается в некий соревновательный процесс.

То есть бывают любопытные интригующие фокусы (задачки с числами) и не очень.

При таком подходе высшая арифметика по большому счету может интерпретироваться набором занимательных манипуляций, различающихся лишь уровнем сложности.

Да, и чисел в природе нет.

В лучшем случае мы можем наблюдать некоторые свойства, приписываемые нами этим числам, как плод собственного воображения.

«Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за "конкретное" – воплощаемое в ряде натуральных чисел – обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности» [5, с. 81].

Не будем далее развивать эти достаточно спорные рассуждения, оставив их будущим дискуссиям. Как бы там ни было, но целые числа продолжают завораживать человека своей непредсказуемостью и неопознанностью феерических кульбитов, неожиданными свойствами и гармонией.

Часть из них обусловлена удивительными способностями самообразования или самоопределения чисел через собственные, составляющие их цифры (знаки).

Главная такая особенность заключается в самой записи чисел в тех или иных позиционных системах счисления на основе ограниченного набора цифр.

Кроме того, существует целый пласт разнообразных преобразований над цифрами исходного числа, приводящих опять к этому же числу.

формате PDF (171Кб)