Альфред Тарский в терминах математики доказал невыразимость всеобъемлющей истины, а именно то, что универсального арифметического множества не существует, поскольку всегда найдется как минимум два класса утверждений Q и Mn, по разному ведущих себя по отношению к некоторому утверждению n. В самом деле, поскольку все возможные утверждения или истинны, или ложны, то задача на выражение универсального представления истины ведет к появлению двух множеств: класса Q, о котором мы можем сказать – «все утверждения данного класса истинны», и класса Mn, о котором мы можем сказать – «истинно то, что все утверждения данного класса ложны». Попытка применения представлений одного из этих классов к другому ведет к логическим противоречиям, ибо об одном и том же утверждении нельзя сказать, что «данное утверждение истинно» и, вместе с тем, «истинно то, что данное утверждение ложно».

Тем не менее, после появления в XIX веке теории бесконечных множеств Г.Кантора в математическом аппарате появилось определение, претендующее на выражение универсального представления истины, – это определение актуальной, то есть завершенной бесконечности, применительно к которому, как оказалось, можно сказать – «утверждение о бесконечности истинно» и, вместе с тем, «истинно, что данное утверждение ложно, ибо эта бесконечность завершена». Г.Кантор настолько сильно уверовал в универсальность этого определения, что выдвинул гипотезу континуума, согласно которой множество действительных чисел должно выражаться через понятие актуальной бесконечности. Однако впоследствии К.Гедель и П.Коэн получили результаты, согласно которым в рамках общепринятого математического канона невозможно ни доказать, ни опровергнуть идею непрерывности и упорядочения числовой прямой, невозможно также ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу Д.Гильберта о непротиворечивости аксиом арифметики.

Таким образом, достижения современной математики пошатнули веру в способности человеческого разума и математической науки давать вполне определенный ответ на любую поставленную задачу.

формате PDF (140Кб)