|
|
Истодин К.
Неполнота, парадокс дилетанта и самоприменимость
В данной работе будут обсуждаться соображения на основе идеи Курта Гёделя о неполноте, которая взбудоражила умы в 30-х годах прошлого столетия. Из-за нетривиальности данного им обоснования неполноты формальной системы арифметики, многие авторы иногда истолковывают эту идею весьма оригинально.
Имеется возможность дать такую интерпретацию понятия неполноты формально-логической системы, которая не была бы так глубокомысленно “заумна”, и не приводила к многочисленным (самонадеянным и даже нравоучительного толка) манипуляциям смыслом этого понятия? В связи с этим автор подвергает сомнению априорную достоверность, однозначность акта умозаключения как такового.
Как известно, “неполнота”, в одной из интерпретаций, означает невозможность установления истинности утверждения, применяемого в рамках какой-либо формально-логической (аксиоматически заданной) системы, с помощью её же средств (при неполноте), либо в этой системе можно доказать одновременно как истинность, так и ложность выведенного в ней утверждения (противоречивость при соблюдении полноты). В предлагаемом автором парадоксе фигурирует утверждение, которое безусловно истинно, но не выводимо ни в одной из существующих формальных систем, какого бы уровня абстракции (общности) она ни была.
Предварительная идея, заключается в том, чтобы показать невозможность доказательства или опровержения достоверности такого существенного принципа или инструмента порождения истинных утверждений (мета-правила), как принцип логического следования. Как предполагает автор, в основе этого принципа лежит принцип причинности реального мира. (Эти принципы практически идентичны, только один, скажем так, действует в “сфере материального”, а другой в несколько расширенном виде в “сфере идеального” или логики и является, в частности, метауровнем для описания или осмысления первого.)
В своей интерпретации автор сформулировал проблему, на его взгляд, гораздо проще, понятней чем у Гёделя, но возможно всё ещё в форме, недостаточно очевидной и тривиальной для восприятия. Для простоты назовем эту формулировку как “парадокс дилетанта”.
Итак, в чём заключается невозможность упомянутого доказательства?
Если мы будем доказывать утверждение о том, что применение правила (закона) логического следования (в широком смысле) правомерно, то при выводе, в самих рассуждениях, непосредственно будем использовать то, истинность чего требуется доказать, что, как известно, неприемлемо из-за образования логического круга в доказательстве;
если же мы будем доказывать обратное утверждение — о неправомерности применения правила логического следования в рассуждениях, то доказать мы его не сможем: а) само собой, в случае неудачи, и б) в случае успеха доказательство будет неверным из-за того, что в рассуждениях использовалось неправомерное (еще требующее своего обоснования) средство, т.е. оно, как бы, само себя дискредитирует, демонстрируя при этом нелепость доказательства.1)
Имеется другая, более выразительная интерпретация этого парадокса. Например (рассуждая строго формально): (1) чтобы считать себя вправе делать умозаключения, нужно хотя бы раз сделать умозаключение о том, что мы можем делать умозаключения (т.е., что они правомерны как метод или способ вывода заключений из посылок)2) . Следуя этой логике, мы никогда не сможем сделать никакого умозаключения вообще, которое бы было правомерным.
Пояснение. Умозаключение — это один из способов перехода от одного суждения (утверждения) к другому, с сохранением истинности. Форма простого умозаключения соответствует конъюнкции ("одновременности") суждения и импликации от этого суждения. Догадка о достоверности импликации, которая требуется в нашем случае, и представляет из себя переход с использованием импликации. Но строго говоря, мы не можем так поступать, так как пытаемся сделать умозаключение, когда его достоверность только предстоит обосновать. (Следует заметить, что Р. Декарт не довел, если можно так выразиться, до “полного” радикализма свои сомнения.)
Конечно, ситуация в каком-то смысле, искусственная, но формально неразрешимая.
Обретая с возрастом здравый смысл, мы интуитивно принимаем, что принцип причинности является истинным, а логический вывод применим и действенен в практической деятельности человека. Так может быть выявленная формальная неразрешимость следствие некоего табу, условности, которая отражена в высказывании, что “в плане чисто логическом ясно, что нельзя ... искать основы для первоосновы.”? [В.В. Налимов, Реальность нереального.] Может быть, чтобы преодолеть её, нужно сделать “откат”, в концептуальном смысле, в “до-аристотелевские” времена и критически оценить отвержение мыслителями древности некоторых “неудобных” явлений или ситуаций в логике?
Из только что сказанного следует, что, не прибегая к строгим доказательствам, можно убедиться, что действенность логического следования совершенно очевидна без доказательства, по принципу “от противного” (“ведь мы же его успешно применяем, так как же оно может быть неверным?”).
Метод доказательства от противного убедителен, но автору всегда казалось, что в нем имеется некая искусственность, “выверт”, плохо скрываемая недосказанность, которая снижает доверие к строгости обоснований, полученных на его основе. Приведу результат собственного исследования механизма такого доказательства.
В методе от противного, как полагает автор, в неявной форме (на основе манипуляцией с истинностью), нарушается принятое в настоящее время требование о недопустимости логических кругов в доказательстве. Во-первых, в качестве посылки такого доказательства берётся инверсия заключения (то есть, сродни “невинному лукавству”, исходным допущением считается доказываемое утверждение). Второе, когда мы, в результате доказательства от противного, в конце логической цепочки приходим к абсурду, то дальше применяем “правило контрапозиции” (эквивалентность теорем “прямой” и “противоположной обратной”), а оно позволяет нам искусственно замкнуть логический круг, поменяв первоначальное ложное допущение (наше инвертированное заключение, которое мы и доказываем) на истинное, которое тут же из допущения косвенного доказательства, чудесным образом (с помощью закона исключенного третьего) превращается в доказанное заключение исходной (прямой) теоремы… Было допущение; мы его запустили как посылку и в конце получили его же, но как истинное утверждение. Так как мы “переключали” истинность, “убегая” от абсурда, то логический круг на последней “сцепке” не замкнулся (по нашему умыслу) — и оказался, тем самым, замаскирован в этом методе доказательства?
Ситуация, если верны рассуждения, пикантная… Но дело, оказывается, не в ущербности метода, а в ценности самой идеи! Попробуем взять принцип логического круга на вооружение.
Дело, оказывается, в том, что отбрасывая логический круг, мы накладываем ограничение на применение принципа причинности: не рассматриваем одно из его естественных следствий — замкнутую цепь причинно-следственной связи (хотя многие сталкивались с замкнутыми, «заколдованными» кругами). В данном случае, ограничения, связанные с неприятием логического круга, вызваны традициями логического мышления, не приемлющими замкнутый круг как нечто “невразумительное”, как подозрительную профанацию, как нелепую игру, в которой рискуешь быть одураченным.
Вернемся теперь к парадоксу дилетанта. Если мы, с учетом вышеприведенных соображений, все же допустим правомерность логических кругов, то доказательство правомерности умозаключений состоится и оно будет правильным (с использованием “схемы”, аналогичной доказательству от противного, но без сведения к абсурду). Хорошо было бы попробовать, несмотря на неприязнь и возражения, провести такое доказательство и посмотреть, что при всем этом получается — ведь никто не исследовал логический круг методично, основательно и по существу. (Если Вы, все же, сомневаетесь, то пусть это будет, скажем, отдельная концепция формальной логики для чудаков (и причислите автора к их числу) — но не окажется ли, что за личиной “презренного” замкнутого круга искусно скрывается нечто неординарное.)
Характерной и главной очевидной чертой нашего мира является устойчивость, изнутри присущая стабильность существующих в нем образований. Можно сказать, что это “способ выражения” действительности, неотъемлемый аспект бытия, существования. (Замечу, что устойчивость образований, основанная на множественных (“точечных”) взаимодействиях, но проявляющихся локально, как в кристалле, стекле, полимере, породе, бетоне и подобных системах с регулярной и нерегулярной структурой, сейчас не рассматривается.)
Система (в данном контексте) – это неразрывное единство, образующееся от определенного взаимодействия частей. Существование системы предполагает наличие “сущностного” начала – механизма целостности. Механизм целостности, с помощью которого части системы соединяются в неразрывное целое, как таковой, основан на определенной “схеме” (структуре) взаимодействий, связей, зависимостей, обуславливающих друг друга процессов.
Именно устойчивость, позволяющая предсказуемо проявлять системам свои качества, является признаком и критерием естественности и истинности всех процессов, потенций, механизмов, взаимодействий, связей, приводящих к устойчивости. Иными словами, истинным можно считать то, что приводит к возникновению устойчивости (элементы и аспекты механизма целостности).
Физическая наука первая позволяет предположить, что все в реальной действительности основано на взаимодействиях или является результатом взаимодействий. Но необходимо также рассматривать взаимодействияъ как таковые, и в других, не только физических, сферах действительности (например, в политических, финансовых, информационных, интеллектуальных, психических и т.д., в том числе, в сочетании друг с другом).
Те или иные взаимодействия могут проявляться не при всяких, а при вполне определенных условиях. В результате взаимодействий, как правило, возникают определенные последствия: эффекты, последействия. Эти эффекты (прямо или опосредовано) могут влиять на набор условий (ситуацию). Влияние, воздействие результирующих эффектов на окружающую ситуацию, есть проявление причинно-следственной связи. Взаимодействие — причина, изменение условий — следствие. Как это ни парадоксально, но большей частью закрепляются такие взаимодействия, которые своим действием поддерживают или укрепляют условия своего возникновения, а причинно-следственная цепочка, которая описывает такую последовательность событий (в целом структуру взаимодействий), образует замкнутый круг — петлю причинности или “причинный цикл” (ПЦ). На самом деле было бы очень странно, если бы было наоборот — невозможность образования петель причинности.
В результате образования циклической связи появляется новое качественное образование, — устойчивая система взаимодействий — становящаяся элементом нового структурного уровня на данном “субстратном” уровне. (Субстрат может быть не только вещественным, но и идеальным, скажем в виде формально-логических структур в среде мышления.) С одной стороны это может выглядеть циклическим процессом, с другой – как возникновение нового объекта.
Так вот, автором было установлено, что устойчивость может быть описана с помощью замкнутой петли причинно-следственной.
На основе всех вышеприведенных рассуждений автор пришел к выводу, в противовес результатам К.Гёделя, что для разрешения «парадокса дилетанта» можно сформулировать и доказать теорему, которая способна обосновать принципы новой формальной логики (вернее, как дополнение существующей). Новая система будет являться согласованным основанием самой себя («самоприменимой») и тем самым с самого начала будет исключена возможность возникновения в себе неполноты и противоречивости. Доказательство будет заключаться в обосновании достоверности причинно-следственной зависимости, а также справедливости общезначимого принципа причинности (а заодно и логического вывода и умозаключения) путем обоснования естественности возникновения и устойчивости «причинных циклов» (замкнутых цепочек причинно-следственной связи, иногда называемых как замкнутые, «порочные» круги или «петли причинности»), как совершенно естественного следствия принципа причинности (ПП). (Полное оказательство этой теоремы (теоремы самоприменимости) будет дано в следующей работе.)
Нетрадиционность доказательства правомерности ПП состоит в том, что, мы будем доказывать посредством того, правомерность чего мы стремимся доказать, т.е. используя самоприменимость. Естественно, что такой подход неприменим в традиционных математике и логике — основания должны быть истинными (интуитивно, в силу определения или по соглашению). Но надо сказать, что он принципиально не отличается ни от подхода, используемого в доказательстве от противного (логически замкнутый круг), ни от подхода, использованного Гёделем в своих знаменитых теоремах для выявления неполноты (где также использовалась самоприменимость с образованием петли через семантику — кодирование натуральными числами символов, выражений и теорем формальной арифметики, а потом манипулирование с получавшимися числами по правилам этой самой формальной арифметики, чтобы получить неоднозначность или противоречивость).
Нас это приведет к положительному результату (вышеприведенные рассуждения о механизмах устойчивости нам позволяют рассчитывать на успех), поэтому мы, чтобы вообще иметь возможность рассуждать, сделаем допущение, что причинная связь (логическое следование) действенна и справедлива в умозаключениях. Такого рода допущение под названием “допущение прямого доказательства” (д.п.д.) является нововведением — по аналогии с “допущением косвенного доказательства” в методе доказательства от противного. Д.п.д. — это, в некотором смысле, как содержание подозреваемого до суда под стражей.
Автор предлагает также и другой метод доказательства — основанный на совпадении д.п.д. и доказываемого утверждения, путем прихода не к противоречию, как в методе от противного, а к соответствию, согласованной истинности. Назовем его как метод “от согласного”. Смысл состоит в том, что если в итоге такого доказательства приходим к совпадению истинности посылки и заключения (а в доказательстве от противного мы приходили от отрицания заключения к противоречию), при соблюдении правильности рассуждений, то допущение истинности доказываемого утверждения, принятого в качестве посылки, превращается в истину.
Вводя в практику метод от согласного, мы будем основываться на действенности ПП, хотя справедливость самого этого принципа будем обосновывать, используя этот самый метод от согласного… Такова специфика модифицированной логики, в которой заключается её кажущаяся “нелепость".
Теорема самоприменимости формулируется следующим образом:
«Если на основе причинной связи (ПС) создается или обуславливается устойчивое существование (явлений, процессов, систем), то ПС истинна (действенна и применима), а принцип причинности (ПП), как фактор действительности, правомерен».
С момента доказательства теоремы предполагается считать, что принцип причинности неизменно правомерен, и причинная связь законна и действенна, во всех тех сферах, где они, в явном или неявном виде, применяются (проявляются) или могут применяться (проявиться). Следовательно, поскольку в сфере человеческого мышления ПП используется в виде правил логического следования (для формально-логических рассуждений), то он в ней справедлив и действенен. Это более чем достаточно. На этой основе можно утверждать, что представленный раньше “парадокс дилетанта” разрешён.
Предлагаемый подход позволяет выявлять структуру и потенциальные возможности системы как организации (в контексте циклической причинной связи). В частности, позволяет, при становлении и самоорганизации (развитии) функционально сложных систем, расценивать функционирование усовершенствующейся организации системы как деятельность, связанную с автономной обработкой внутриконтекстной — возникающей в ней и значимой для самой себя (т.е., системы) — информации.
Однако, как представить развитие и прогресс, если системы образуются на основе замкнутых циклов, которые “до неприличия” однообразны, и из которых, по определению, нет выхода? В реальном мире, на основе устойчивости (поддержания целостности системы), обеспечиваемой ПЦ, возможно существование процессов, которые приводят к развитию и прогрессу.
Следовательно, прогресс возможен, когда существует круг причин и следствий, обеспечивающий устойчивую ситуацию (в указанном случае — это циклический процесс проектирования), при которой генерируются новые структуры, используемые для усовершенствования самого процесса. Они генерируются за счет существования и подбора разных вариантов реализации функциональной структуры сложных систем, которая поддерживает системообразующий ПЦ (устойчивость в целом), а также на основе избыточности набора функций, связанной со сложностью. Автор этого сочинения полагает, что можно создать формальную теорию, в которой такие процессы легко бы описывались.
Если мы хотим быть до конца последовательными в представлении действительности, то в каждой системе (теоретической концепции), использующей формальную логику, нужно, при необходимости, включить аксиому (или выводить теорему), утверждающую законность использования логического или замкнутого круга, в т.ч., в доказательстве и в определении (но, без необходимости обязательного применения.)
Истодин К. Неполнота, парадокс дилетанта и самоприменимость // «Академия Тринитаризма», М.,Эл № 77-6567, публ.10299, 27.03.2003
[Обсуждение на форуме «Наука»]
Неполнота, парадокс дилетанта и самоприменимость
“Следуя сущности знаменитой теоремы замечательного американского математика и логика Курта Геделя о неполности, которая утверждает, что в любой системе, аксиомы которой содержат арифметику, найдется утверждение, которое в данной системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто, автор понимал, что его гипотеза о возникновении земледелия мира 120-100 тыс. лет назад сегодня не может быть ни доказана, ни опровергнута.” [ Бараш 1999, с. 367]
Соображения по поводу доказательства от противного
Устойчивость и целостность — критерий истинности
Самоприменимость принципа причинности
Доказательство является ни чем иным как установлением причинно-следственной связи каждого последующего шага рассуждения от предыдущего.
Доказательство теоремы не является простым в обычном понимании, поскольку будет доказываться правомерность логического круга (истинность “системы”), через обоснование его устойчивости. Эта правомерность возникает из допустимости логического вывода, которое само обретает истинность в логическом круге, им же образованном. Т.е. истинности, не вытекающей из условий посылок и допущений по отдельности, но предполагаемой; и возникающей только после замыкания — обретения устойчивости (т.е. образования системы) — логического круга. В связи с этим, а также с необходимостью его обозримости, доказательство сделано “многопроходным” (итеративным).
В первой части доказывается правомерность ПП в целом. Во второй части — справедливость собственно доказательства как логической процедуры.
Вначале рассуждения носят гипотетический характер, поскольку мы используем основанный на ПС прием, способ вывода правильного суждения, а именно, логического следования (умозаключения), правомерность применения которого, в нашем случае не доказана, а только предполагается. Вначале, на основе рассуждений о свойствах и характере проявления причинной связи делается заключение о том, что возможно образование цепочки звеньев ПС, замыкающейся в кольцо. На этой основе, в силу аксиом 2 (сохранение устойчивости при неизменности условий) и 3 (неотвратимость “превращения” причины в следствие), делается заключение, что такая конструкция является устойчивой, поскольку может существовать неограниченно долго. Но поскольку ПС обеспечивает устойчивость и является неотъемлемой частью такого образования, то согласно 1-й аксиоме (всякое условие или фактор, обеспечивающие устойчивость целого – истинны), она истинна и законна (действенна). Соответственно, принцип причинности как фактор действительности в мире (мирах), где образуются ПЦ, правомерен.
Во второй части обосновывается справедливость самого доказательства. На основе уже законного использования ПС в процессе доказательства и отсутствия в нем противоречий, доказательство признается логически правильным. Это заключение делает доказательство достаточным
Перспективы
Например, прогресс микропроцессоров. При конструировании цифровой микроэлектроники для переработки связанной с этим информации используются всевозможные процессорные элементы (в компьютерах). Увеличение сложности цифровой микроэлектроники, обеспечивает увеличение объема и сложности перерабатываемой информации, а, в свою очередь, переработка большего объема и усложнённой информации позволяет увеличивать сложность тех самых устройств, которые, в дальнейшем, используются для её проектирования. Очевиден некоторый самодостаточный процесс (безусловно, с включенным в нее человеческим интеллектом), который идет “вразнос” (безудержно прогрессирует), и собственно прикладное значение этих устройств при этом, без преувеличения, оттесняется на второй план. Это видно по неоправданности темпов массовой модернизации компьютеров и необходимости находить применение “забежавшим вперед” по своим техническим возможностям устройствам.
Некоторые выводы
Примечания
- Кто-то может сказать, что вопрос поставлен неверно, так как правило следования, это метатеоретическое правило. Возможно. Тогда, казалось бы, нужно, следуя Б. Расселу, выделить метатеоретический уровень. Но правилом вывода на метауровне снова будет логическое следование [см., напр., Лорьер, 1991, с.154], правомерность которого мы и стремимся обосновать, и так до бесконечности (заметьте — тут тоже замкнутый круг с бесконечным «восхождением»). Но выход состоит в том, чтобы смешать (совместить) уровни описания — предметный и метауровень, и “обратить вред в пользу”.
- Обратите внимание: данное высказывание (1) — ни что иное, как применение в рассуждениях метода умозаключений, справедливость коего мы ещё не установили. Следовательно, рассуждая с позиций формальной логики: с помощью умозаключений, правомерность которых только предполагается, опровергается возможность самих же умозаключений. Но это, последнее утверждение, как умозаключение тоже сомнительно в силу самого нашего первого (1) умозаключения — получается странная ситуация мы вынуждены рассуждать, хотя по всем формальным правилам истинность наших рассуждений однозначно сомнительна. Существует ли тут вообще какой-либо выход?
Литература
- Бараш С.И. Космический “дирижер” климата и жизни на земле. Книга 2, — М.: “Аграрная наука”, 1999, 524с.
- Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла /Под ред. Д.А. Поспелова. — СПб.: Политехника, 1997
- Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта /Пер. с франц. — М, 1991, 568с.
Истодин К. Неполнота, парадокс дилетанта и самоприменимость // «Академия Тринитаризма», М.,
 |