Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Истодин К.
Наваждение Геделя и «метафизика» самоприменимости (Geodel and «Metaphysic» of self-references). Часть I

Oб авторе
ЧАСТЬ I. «МАТЕМАТИКА»
Логик, так сказать, разлагает каждое доказательство на множество элементарных операций; когда рассмотрят одну за другой эти операции и констатируют, что каждая из них правильна, можно ли думать, что понят истинный смысл доказательства?
Анри Пуанкаре. О науке.

Передо мной не стоит задача переубедить специалистов и теоретиков, которые, на предметном уровне, хорошо понимают существо доказательства Геделем неполноты и противоречивости. Но есть потребность и желание раскрыть некий неочевидный общетеоретический смысл, содержащийся в подходе Геделя, представить его в понятной форме и, может быть, использовать. Вообще, интерес к «проблеме» геделевой неполноты проявился в связи с «выходом» на феномен самоприменимости, с помощью которого легко можно представить решение проблемы самоорганизации и развития «с нуля» автономных информационных структур в компьютерах. Но многие, манипулируя неполнотой и к месту и не к месту, говорят, например, что «нельзя сознанию познать, что оно такое, изнутри самого себя» и, соответственно, нельзя запустить самоорганизацию в компьютере.
Сознаюсь, что опровергнуть Геделевское доказательство по сути для меня проблематично, скорее всего в традиционной постановке оно неопровержимо, но можно создать систему формальной логики, где не будет сформулированного им ограничения.
Суть, по большому счету, «неполноценности» или «неубедительности» рассуждений Геделя состоит в том, что, манипулируя смыслом арифметизирующего в рамках или в отношении арифметизируемого в своем доказательстве, он достигает не согласия, а разночтения и получает двусмысленный результат. Казалось бы, ничего необычного нет, ведь есть же парадокс множества «правильных» множеств. Но, в каком-то смысле, это напоминает (хотя сами по себе покойник и документ на предъявителя не абсурдны) намеренную выдачу свидетельства о смерти «на предъявителя», чтобы продемонстрировать тем самым «неполноту». Такое возможно при несоблюдении, сформулированного ниже, «принципа соответствия» (обязывающего учитывать семантику), который должен накладывать ограничения на манипуляции с использованием самоприменимости (самоссылочности) чем, по сути, и является арифметизация Геделя.
Первым основательным исследователем смысла доказательства Геделя на предмет феномена самоссылочности является Дуглас Хофштадтер, выпустивший на тему «странных петель», непревзойденный («мультимедиа» на бумаге) и увлекательный 800-страничный труд [1], который не так давно вышел юбилейным, по случаю 20-летия, изданием (и даже переведен, как говорят, на русский язык).
Единственная, видимо, возможность правильного истолкования выводов Геделя о неполноте и противоречивости, заключена в попытке показать неправомерность или некорректность его доказательства в контексте иной, учитывающей ограничения принципа соответствия, расширенной системы формальной логики. На этой же основе может быть дано объяснение возникновению парадоксов и логики, и теории множеств.

Предыстория

После обнародования Г. Кантором своей теории множеств были сделаны попытки разрешить парадоксы, которые возникали при ее истолковании. Учитывая это обстоятельство, Уайтхед и Рассел в своем капитальном труде (Whitehead A., Russell B. Principia Mathematica.), изданном в Кембридже, для исключения «порочных» кругов, предложили формальную теорию, основанную на запрете «смешения типов» и разделении метатеоретических уровней, из-за смешения которых и возникали парадоксы самоприменимости. «Рассел был убежден, что для математической системы возможность рассуждать о самой себе равносильна «поцелую смерти», …он создал тщательно разработанную (и бесконечную) иерархию уровней, каждый из которых, был изолирован от остальных…» [1]. В 1931 году К. Гедель выпустил статью с названием (в переводе с немецкого): «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем», что говорит о ее связи с концепцией Уайтхеда и Рассела.
«Антиномия Евбулида из Милета. Допустим, что некоторый субъект произносит следующую фразу: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Ложно само это высказывание или нет? Из допущения, что высказывание истинно, и из его смысла следует, что оно должно быть ложно. С другой стороны, из его ложности немедленно следует, что оно не может быть ложно. … Идея этого парадокса лежит в основе доказательства знаменитой Геделя теоремы о неполноте формальных аксиоматических теорий».
Статья математического энциклопедического словаря. 1988
Между тем, как видно из цитаты, Гедель по сути отошел от расселовской концепции логики при доказательстве своих знаменитых теорем (что представляется некорректным, если уж неполнота формальной системы должна быть выведена средствами самой системы):
  1. при арифметизации он нарушил требование (или идею) той формальной логики, с которой связывал свои доказательства, а именно — игнорировал не смешение типов — натуральные числа используются и как собственно числа, и как кодовые номера (метаобъекты) и этих чисел, и всей аксиоматики формальной арифметики (и при этом, фактически применял натуральные числа до их выведения из кодируемой ими аксиоматики);
  2. он сознательно имитировал ситуацию, при которой возможно возникновение парадоксов — путем создания (см. выше цитату из мат. энциклопедии) «самопровокационных» ситуаций (попробуйте, например, походить в ботинках с развязанными шнурками, и вы будете убеждены, что ходьба, как способ передвижения, ущербна; причем, после падения будет трудно, с непривычки додуматься до его причины, поскольку зажатый было шнурок уже свободен);
  3. числа в арифметике, скорее всего, не являются метатеоретической категорией достаточного уровня абстракции, как например, модус поненс или конъюнкция. В таком качестве они лишь служат Геделю кодовыми обозначениями, которые по ходу доказательства вдруг начинают использоваться как числа по чисто формальному соответствию (идентичности изображения). Нужно было обосновать правомерность или неправомерность смешения понятий объектного и мета уровней. Например, «понимание» этому требованию удовлетворяет: можно понимать факт своего понимания или непонимания, а, скажем, попытка самоприменимости множества всех правильных множеств — как известно, не удовлетворяет.
В результате, по словам Ж.-Л. Лорьера, мы имеем следующее: «Формальная метаарифметика содержится в множестве натуральных чисел, а оно само содержится в интерпретации формальной арифметики»[3]. В тоже время, это очень похоже на замкнутый круг самоопределения, а по структуре или схеме — на парадокс множества всех множеств. Причем, в наихудшем варианте — когда заведомо обусловливаются неоднозначность и противоречивость. Это все равно, что вы будете доказывать виновность подозреваемого, провоцируя его на противоправные действия. Правильно ли считать это удачной находкой в данном случае?

О принципе семантической однозначности или соответствия.

Не стоит перечисленные претензии относить только к недостаткам — все зависит, как выяснится в дальнейшем, от сферы и способа применения использованного подхода. (В случае с Геделем была проявлена непринципиальность, отход от концепции расселовского формализма.) По большому счету, Гедель своей теоремой о неполноте показал, что использовать формальную логику можно лишь с ограничениями, накладываемыми, на мой взгляд, особенностями проявления принципа причинности в сфере действительности, где его проявление создает зависимость предметного (объектного) и семантического уровней описания между собой. «Важный аспект работы Геделя — это демонстрация того, что смысл утверждения может иметь глубокие последствия даже в предположительно бессмысленной вселенной. (…) Как будто скрытый геделевский смысл утверждения имеет какой-то приоритет перед пустыми, смыслонепроницаемыми правилами системы…» (Хофштадтер).
Возможность построения парадоксального условия как раз и связана с таким ограничением — когда при «возведении» самоприменимости нарушается некоторый принцип однозначности или соответствия, вследствие чего самоприменимость может быть не согласованной (противоречивой).
Принцип однозначности состоит в том, что как высказывания (идеальное), так и природные явления (наличная действительность) — при естественном и независимом происхождении, — в отношении внутреннего содержания, своей сути, должны быть непротиворечивы. Иными словами, смысл и форма для высказывания, сущность явления и его воплощение — от природы должны быть адекватны друг другу, семантически едины. Самоприменимость (и как полагает автор, существование) зиждется на этой согласованности. Высказывание или рассуждение, не учитывающее смысла своего содержания может, при формальной правильности рассуждения, привести к семантическим казусам (парадоксам). Например, престарелый мужчина женился на молодой женщине, но его взрослый сын, как оказывается, старше этой особы. Новая мама может усыновить его (с, точки зрения формальных родственных отношений это допустимо), но это противоестественно, так как в действительности не бывает, чтобы мать была моложе своего сына. Здесь, так же как и в случае свидетельства о смерти на предъявителя, мы имеем парадокс. Таким образом, создание парадоксальных условий в рассуждениях — можно считать проявлением произвола, небрежности, так называемой математической «свободы» или компромисса. Воплощение парадоксальной ситуации в реальной действительности, в естественных условиях, в силу этого принципа невозможно (не происходит согласования в точке замыкания самоприменимости из-за отрицательной связи, при которой следствие подавляет свою причину). Иными словами, необходимо, чтобы всякое естественно возникающее образование (бытие, идея, суждение, структура, система и т.п.) было самоадекватным4.
В согласии с этим принципом всякое высказывание (в утвердительной или отрицательной форме) изначально считается правдивым, доверительным, а не лживым (т.е., соответствующим контексту истинности, а не ложности). Такая априорная доверительность или правдивость высказываний (суждений, утверждений) подразумевается по умолчанию, хотя формально каждое высказывание можно предварять «переключением» контекста, типа: «высказываемое далее правдиво» или «высказываемое далее ложно». Поэтому в контексте, например, априорной ложности по отношении к самому себе противоречиво уже не высказывание «я лгу» (парадокс Эвбулида), а противоположное: «я изрекаю правду». (То есть, в контексте «всеобщей лживости» парадоксом лжеца будет изречение «я изрекаю правду»!)


Плавая возле берега, не откроешь неизвестные земли.
Истодин К.

Воспользуемся положением об «истинности и недоказуемости» в применении к правилу, логической операции. В языке, так же как и в логике вообще, существует недоказуемое и априорно истинное правило логического вывода, а именно, «правило заключения», которое подразумевается абсолютно правомерным. Этот переход, являющийся логическим следованием, соответствует принципу причинной обусловленности. «Откуда у нас уверенность в достоверности утверждений, полученных из аксиом путем логического вывода?… Из разбора формального логического вывода… видно, что наша уверенность в том, что на каждом шаге мы из истинных утверждений можем получить только истинное утверждение, основывается на логических аксиомах… и по той же причине — абсолютной невообразимости противоположной ситуации»[5], т.е. всего лишь на убежденности, хотя и беспрецедентной. Тогда никто не мешает нам сформулировать, в духе выводов Геделя, но в более простой и понятной форме, неполноту всей системы формальной логики как таковой: связь двух выражений (утверждений) в логическом рассуждении путем умозаключения достоверна (истинна), но не доказуема.[12] (Кстати, и это представляется существенным — истинность умозаключения — единственное самоочевидное положение, что выпало из поля зрения Декарта и не было им подвергнуто сомнению.) Можно считать эту претензию надуманной, но формально она неразрешима и для автора это формальный повод заняться изобретением системы формализма, не страдающего неполнотой.
При существующих традициях (парадигме) формальной логики обосновать справедливость умозаключения невозможно, но его достоверность в некоторой «иной», ограниченной выше упомянутым принципом соответствия, системе формальной логики, о которой пойдет речь ниже, может быть 100%-но обусловлена.
То, что перенос истинности через умозаключение достоверен, нет повода сомневаться (математика, логика, криминалистика, судебная практика, деятельность разведывательных служб, предсказуемость действий компьютеров, рассуждения здравого смысла и т.п., подтверждают это). И все же — поставив себя на место Декарта, мы натыкаемся на «непреодолимое» препятствие — при любой попытке обоснования достоверности умозаключения мы образуем круг в доказательстве: будем доказывать справедливость принципа умозаключения с помощь его же самого[12]. По этой же причине нельзя использовать, как оказывается, и вывод от противного. (Кстати, «неполнота» по Геделю, в одной из интерпретаций, как раз и означает невозможность установления истинности утверждения, применяемого в рамках какой-либо формально-логической (аксиоматически заданной) системы, с помощью ее же средств.)
Таким образом, можно «сделать вывод», что логика основана на способе рассуждений или принципе, формально недоказуемом. Это есть антиномия, которую автор назвал (ввиду экстравагантности формулировки) «парадокс дилетанта»: т.е., когда с помощью логического следования строятся правильные рассуждения, причем строгие, а истинность его самого строго не обоснована. И где-то в глубине остается сомнение: абсолютно ли во всех без исключения случаях связь на основе логического или причинного следования достоверна? (Ведь не разрешены же до сих пор логические парадоксы, например.)
Принцип самоприменимости («автоморфизма»), использованный Геделем, по своей логически-семантической схеме (тут лукавить не стоит) аналогичен замкнутому кругу в доказательстве или определении (т.е. замкнутой цепи причинной обусловленности), и, не отследив или игнорировав принцип соответствия, можно прийти к неподходящему результату — к выводу об «ущербности» построений с помощью формальной логики. (По большому счету, причинная обусловленность (а также и логическое следование), является метатеоретическим аспектом любой без исключения, взятой наперед, как материальной, так и смысловой сферы, и в том числе — по отношению к самой себе. Отказываясь от фундаментальности этого положения, мы сами создаем себе проблемы.)
Легко было бы обвинить Геделя в искусственном создании круговой логической (вернее, смысловой) зависимости, которая приводит к противоречивости. Но может быть нужно совсем по-иному взглянуть на феномен самоприменимости и подобную циклическую зависимость? Может быть истина в том, что правильнее было бы не идти вслед за Расселом и разделять классы (собственно, Гедель и показал тупиковость этого пути), а наоборот, положить в основу возможность образования взаимозависимости между разделяемыми уровнями логических структур («level-crossing feedback loops», как определил их Д. Хофштадтер), исследовать все вытекающие отсюда последствия, понять и сформулировать ограничения. С другой стороны, с подобной же идеей согласуется идея сформулированного выше принципа соответствия. И в-третьих -- в конце концов, неприязнь и предвзятое отношение к логическим и замкнутым кругам не может служить основанием для объявления их противоестественными (хотя и нелепыми, «неудобными», бессмысленными) образованиями — они являются естественным и законным следствием принципа причинности6.
Таким образом, раз требование согласованности в использовании самоприменимости надо соблюдать, то парадокс дилетанта и неполноту в новой формулировке, надо пытаться решать через образование согласованной самоприменимости! (Дальше самоприменимость мы будем использовать именно в смысле согласованной самоприменимости.) Идя по такому пути мы можем создать формальную систему, непротиворечивость которой будет определяться ею самой — т.е. нужно, хотя это звучит крайне необычно, сделать ее своей собственной адекватной интерпретацией.
Нужно сделать «ходьбу стабильной, без помех» — «завязать собственные шнурки». В нашем случае это означает допустить: 1) смешение, согласование разных уровней — объектного и метаописания и 2) существование причинной (логической) их взаимообусловленности на основе самоприменимости. (И мы ведь используем это, например, при записи самопринадлежности множества: X Î  X, которая не одноуровнева и ее следовало бы, более корректно, записать как X Î  (X), т.е. X принадлежит содержанию X.) Далее, в приведенном ниже доказательстве теоремы самоприменимости, мы будем использовать тот факт, что логическая связь (вывод) на основе импликации (в частности, правило модус поненс): является таковой по своей сути на любом, сколь угодно абстрактном уровне, т.е является метаоперацией (метаправилом) и позволяет манипулировать с собой, как с логическим объектом низшего, предметного уровня.

Примечания и литература.

  1. Hofstadter D.R. «Gö del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid». Basic Books, Inc., 1979 (Предисловие к юбилейной редакции). Цитируется по http://zipper.paco.net/indexless
  2. Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. Кол.: С.И..Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1988.— 847 с.
  3. Ж.-Л. Лорьер. Системы искусственного интеллекта. -- М., 1991.
  4.  (Замечание исключительно для Дугласа Хофштадтера.) Оказывается, особенно интересно применение принципа соответствия к самому себе — образуется что-то наподобие «абсолютной истины или идеи»: коль скоро полагается что он выполняется, то применяясь к самому себе (как высказыванию), он подтверждает соответствие выражаемому им принципу. Замыкается самосогласованная петля на метатеоретическом (смысловом) уровне и эта петля является интерпретацией (в понятиях формальных систем) этого принципа соответствия. Но, с другой стороны, такая интерпретация представляет собой «идею», которая воплощается через свою реализацию (самоприменимость принципа соответствия) и эта дву-аспектная конструкция в себе и для себя взаимообусловлена и неизменно истинна (непоколебима) — принцип обрел самим собою созданную «резиденцию».
  5. Турчин В.Ф. Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции. Изд.2-е — М.: 2000.
  6.   «…К концу 30-х годов специалистам по радиотехнике удалось приручить «обратную связь», в результате чего они смогли уяснить сущность неограниченных регенеративных или циркулирующих по замкнутому контуру причинно-следственных воздействий, а также научились управлять ими» (Эшби У. Несколько замечаний.// Общая теория систем. Пер. с англ. под ред. Алтаева В.А., М.: Мир, 1966, с. 171)

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

Истодин К. Наваждение Геделя и «метафизика» самоприменимости (Geodel and «Metaphysic» of self-references). Часть I // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.10365, 29.04.2003

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа
© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru