|
|
А.В. Кочетков, П.В. Федотов
Авторами проводится исследование аксиоматики поворота, основываясь не только на источники по механике и физике, но и с учетом современных представлений о моделях развития науки, научных направлений и физических теорий.
В качестве решения проблемы вводятся понятия неэвклидовых систем координат и векторов в виде разделов топологической механики.
Приводятся примеры использования криволинейных векторов (кортов и ортов) в обобщенных технологических координатах роботов для силовых операций гибки с растяжением и раскатки роликом длинномерных сложнопрофильных изделий авиастроения.
Книга представляет интерес для широкого круга специалистов, занимающихся аксиоматикой, историей и философией точных наук.
Оглавление
Предисловие
От авторов
Глава 1. Поворотные силы – особые силы
1.1. Постановка задачи
1.2. Специфические силы вращения
1.3. А как же Галилей?
Глава 2. Классическая механика
2.1. И. Ньютон и классическая физика (историческая справка)
2.2. Первый закон Ньютона и закон инерции Галилея
2.3. Третий закон Ньютона
2.4. Силы инерции в абсолютном, переносном и относительном движении
2.5. Движение гироскопического тела
2.6. Два подхода к теориям в науке
2.7. Геометрический вывод формулы ускорения Кориолиса
2.8. Основное уравнение механики
2.9. Решение общего уравнения динамики
2.10. Частные случаи решения
2.11. Обсуждение
2.12. Выводы
Глава 3. Механика Ньютона, Лагранжа и Гамильтона
3.1. Введение
3.2. Ньютоновская механика
3.3. Лагранжева механика
3.4. Гамильтонова механика
3.5. Решение проблемы необратимости
3.6. Силы инерции
3.7. Об истинном и видимом движении
3.8. Физика и Математика. Две точки зрения
3.9. Ускорение Кориолиса
3.10. Вычисление дополнительных членов
3.11. Работа поворотных сил инерции
3.11. Выводы
Глава 4. Унифицированное мнемоническое правило рук
Глава 5. Приведенный коэффициент верчения. Постановка фундаментальной проблемы
Глава 6. Применение математики в физике
6.1. Матрицы
6.2. Векторы
6.3. Скалярное произведение
6.4. Умножение матриц
6.5. Умножение тензоров
6.6. Тензоры в римановых пространствах
6.7. Параллельные кривые?
6.8. Выводы
Глава 7. Топологическая механика
7.1. Введение
7.2. Состояние проблемы решения задачи сферического маятника
7.3. Сведение к одномерной задаче
7.4. Сферическая механика
7.5. Полярная система координат на сфере
7.6. Что такое вектор?
7.7. Понятие топологического вектора
7.8. Произведение т-векторов
7.9. Дифференцирование т-векторов
7.10. Т-механика
7.11. Переход задачи движений сферического маятника к одномерной
7.12. Что такое принципы наследования и как их эффективно использовать
7.13. О решениях математических задач в физике и в строительной механике
7.14. Выводы
Глава 8. Применение криволинейных векторов в прикладных задачах машиностроения
8.1. Особенности заготовительных операций гибки с растяжением в авиастроении
8.2. Новые задачи совершенствования технологических роботов для силовых операций гибки с растяжением
8.3. Формирование координатной сетки и структуры комбинированного программирования технологических роботов для силовых операций
8.4. Объемное компьютерное моделирование конструкций технологических роботов для силовых операций гибки с растяжением
8.5. Особенности кинематического замыкания технологического робота для силовых операций гибки с растяжением
Глава 9. Прикладные задачи применения топологических векторов
9.1. Анализ возможностей применения рядов Фурье в дорожной отрасли
9.2. Математическое моделирование обобщенных координат распределения вяжущего и щебня при устройстве шероховатой поверхностной обработки
9.3. Измерения векторных и тензорных величин
9.4. Ударные стенды
9.5. Малогабаритные упрощенные стенды для исследовательских испытаний
9.6. Малая центрифуга
9.7. Роторный стенд, работающий на выбеге
9.8. Маятниковый стенд
9.9. Малогабаритный ударный стенд для создания ударных ускорений малой длительности
9.10. Выводы
9.11. Постановка задачи «активная прецессия»
Список литературы
Предисловие
В монографии объектом обсуждения является методология научного анализа ряда разделов физики, в первую очередь классической механики, но не в рамках сложившейся учебной дисциплины "теоретическая механика". Авторы преимущественно выражают и аргументируют собственное мнение по поводу понимания законов механики.
В наше время трудно найти науки, в которых не использовались бы активно математические методы, поэтому зона охвата научной проблематики предельно широка. Нужно учитывать, что традиции в науках сложились в различное время в результате стараний часто вполне определенных выдающихся ученых или узких коллективов со своими пристрастиями. Получилось так, что эти пристрастия оказались «законсервированными» на многие десятилетия, а достижения в смежных областях основываются на других концепциях.
В былые годы внушалось, что все накопленные противоречия в разных разделах разных наук можно устранить на основе единственно правильного использования гиперобобщенного философского метода материалистической диалектики. Эта идея давно полностью дискредитирована. В настоящее время, как представляется, никто не верит во всемогущую силу каких-то единых, универсальных методологических подходов и концепций. При этом выход заключается в гибкости при выборе подходов на основе глубокого понимания сути задач. Рецензируемая монография относится к числу сочинений, в которых совокупность рассматриваемых задач разнообразна и не покрывает все поле современной науки, а освещает отдельные фрагменты. При этом нет и не может быть претензий на всеохватывающую общность.
Авторы монографии основное внимание обращают на методологию изложения основных положений в разных разделах физики, выбор иллюстрирующих примеров, обоснование математических моделей, решение и трактовку результатов. Из этого следует вывод, что монография имеет по преимуществу методологический характер и ориентирована на использовании в преподавании.
Приходится согласиться с тем, что при преподавании в вузах отношения между математикой и физическим смыслом далеки от гармоничных. Значительное место и время в лекциях уделяется выкладкам, формально-математическим выкладкам (в духе многократного повторения заклинания «подставим — получим»), в то время, как содержательная интерпретация занимает довольно скромное место.
При обобщенной формулировке общих приложений значительное внимание уделяется достаточно простым иллюстрирующим примерам.
Связь с преподаванием в высшей школе очевидна. Профессионалам хорошо известно, что вузовская механика консервативна, и ее реальное содержание и, в особенности, иллюстрирующие примеры относятся преимущественно к первой половине ХХ века, к числу новшеств не самого последнего времени относится внедрение аппарата теории матриц, что, однако, приводит лишь к упрощению записей математических соотношений и дифференциальных уравнений, но содействует дальнейшему отрыву от реальности, студентам не рассказывается о простейших задачах, которые нужно глубоко понимать, а потом по индукции переходить к более сложным.
Нужно прояснить соотношение между классической механикой Ньютона и аналитической (Лагранжа). В этом плане интересны соображения о том, что аксиоматика Ньютона, Лагранжа и Гамильтона эмпиричны по сути. В отношении сил инерции, несмотря на подробный разбор этой проблематики в монографиях А.Ю. Ишлинского и И.Е. Иродова, нужно навести порядок.
Уровни сложности математических моделей различных объектов и процессов в монографии существенно различаются: иногда они глобальны, иногда имеют характер частных математических примеров (даже просто числовых).
В природе существуют два вида движения, прямолинейное и вращательное. Любое криволинейное движение можно разложить на эти два движения. При этом надо учитывать, что к вращательному движению относятся и поворотные движения.
Главное различие между вращательным и поворотным движениями только в углах поворота. При вращательном движении исследуемая материальная точка или тело совершает постоянные повороты на 3600 вокруг центра вращения, при поворотном движении та же точка или тело совершает поворот меньше 3600. Общим для поворотного и вращательного движения является то, что и для поворота, и для вращения можно выделить центр поворота или вращения и то, что и поворот, и вращение осуществляется по дуге окружности. Но имеются и существенные отличия. Траектория вращения – это окружность, по которой материальная точка или тело проходит многократно, траектория поворота – это кривая, по которой материальное тело или точка проходит один раз.
Но принципиальные отличия вращательного (поворотного) движения от прямолинейного не в этом. А в том, что силы, вызывающие вращение (повороты), отличаются от сил, вызывающих прямолинейное движение. Причем разница не в природе сил; силы, как раз одни и те же, а в результатах действия сил на материальную точку или тело. Первое отличие, которое сразу бросается в глаза, это то, что при действии сил на материальную точку или тело в процессе сохранения прямолинейного движения, материальная точка или тело получает реальное ускорение, т.е. у него реально изменяется величина количества движения (импульса). А в результате поворотного или вращательного движения, изменения количества движения не происходит, т.е. импульс остается неизменным по величине, меняется только направление его вектора.
Тем не менее, в современной научной и учебной литературе принято любое изменение импульса называть ускорением. Таким образом, ускорение, реализуемое как изменение скорости по величине, инстинктивно (на уровне чувств) воспринимается как ускорение, называется ускорением. Так и изменение направления скорости, которое не меняет величину скорости, также называется ускорением. Такое смешение понятий вызывает некоторый когнитивный диссонанс в начале обучения, но, в последствии, ученик привыкает к принятым названиям и воспринимает как должное, что под термином «ускорение» понимается два совершенно разных понятия.
Но, т.к. под термином «ускорение» понимается два принципиально разных процесса, то естественно появляется необходимость изобрести два дополнительных термина, чтобы различать одно ускорение от другого. Так и появились термины «тангенциальное ускорение» и «нормальное ускорение». Первый термин описывает, ускорение в смысле изменения величины скорости, в результате действия сил вдоль вектора скорости. А второй термин описывает изменение направления скорости, под действием сил перпендикулярных вектору скорости, причем величина скорости при этом не изменяется.
От авторов
Данная монография затрагивает вопросы преподавания естественных наук, т.к. именно от того, как преподают естественные науки в средней и высшей школе в первую очередь зависит состояние этих самых естественных наук. Причем, методики преподавания влияют на развитие науки и применение в технике новейших научных достижений намного больше, чем любое финансирование на развитие науки и технического прогресса. Потому, что если науку не понимают большинство инженеров, то никакое финансирование не заставит их внедрять достижения этих самых наук.
Но, эта книга не по педагогике. Она не о том: КАК надо преподавать? Эта книга о том: ЧТО надо преподавать.
Видный русский математик М. В. Остроградский уделял много внимания проблемам преподавания (это не очень широко известно, тем не менее, это так) совместно с А. Блумом написал брошюру «Размышления о преподавании» [106] в этой брошюре авторы осудили методы преподавания в современной им школе.
«Обучение ведется слишком сухо, абстрактно, оторвано от потребностей жизни, без учета наклонностей и интересов детей… Кто из нас не видел, что из 50 соучеников, по крайней мере, 40 отвращены и обескуражены навсегда абстрактными идеями, которые нам вначале преподносили, прежде чем сделать их понятными с помощью примеров, взятых из практической жизни. Действительно, на уроках арифметики, алгебры, геометрии ничто не свидетельствовало о необходимости их изучения для практической жизни. Ничего не было рассказано об истории наук. Глубокие теории, сухие, непонятные определения были изложены, повторены и, осмелимся сказать, пережеваны, не давая никакого другого результата, чем образование небольшого количества учеников. Кажется, что жрецы древнего Египта еще руководят тайнами наук» [106].
Остроградский призывал к внесению в программу среднего образования элементов высшей математики [106], великий математик не знал, что элементы высшей математики в программу среднего образования будут внесены, но стойкое отвращение большинства обучающихся к изучению математики и физики, более чем через полтора века, останется неизменным.
В некоторой степени этот парадокс разъясняет другой великий физик и математик Анри Пуанкаре, который также уделял много внимания методологии преподавания, понимая важность обучения для науки.
«Что же тогда происходит? Вначале, они (ученики, прим. Авт.) еще схватывают те очевидные вещи, которые представляются их взору; но, так как последние связаны чрезвычайно тонкой нитью с предшествующими и последующими, то они не оставляют никакого следа в их мозгу; они тотчас забываются. Освещенные на одно мгновение, они сейчас же исчезают в сумраке вечной ночи. А когда люди следят за дальнейшим развитием доказательства, для них исчезает и прежняя эфемерная ясность, так как теоремы опираются одна на другую, а теоремы, которые им нужны, уже забыты. Таким образом, эти люди становятся не способными понимать математику.
Не всегда здесь виной преподаватель; зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков ее. Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает. [106]
«В построении математической науки и ее преподавании различаются две противоположные тенденции – аналитическая и интуитивная. По мере развития науки первая стремилась выйти вперед. Обе, однако, играют необходимую роль. В преподавании необходимо обратится к интуиции, чтобы развить некоторые способности ума, полезные для ученого и особенно для инженера. В самой науке интуиция остается, за исключением нескольких привилегированных умов, главным инструментом изобретения, в то время как анализ все более стремиться стать единственным законным инструментом доказательства» [106].
С того времени как были написаны эти пророческие слова, прошло много времени. И сейчас уже можно посмотреть результаты этого пути развития. В науке все меньше остается места для интуиции и размышления, а все больше внимания уделяется аналитическим методам (читай математическим) исследования.
Все больше значение в науке приобретает знание математики, и все меньше места остается другим наукам. Иногда в шутку, иногда всерьез используется выражение: «Каждая наука настолько является наукой, насколько в ней математики».
Но, математика – это палка о двух концах. Существуют и другие цитаты, например, «Математика – это самый совершенный способ водить самого себя за нос». Эти слова принадлежат автору специальной и общей теории относительности А. Эйнштейну. Эти теории в современной физике невозможны без сложного математического аппарата. Но, тем не менее, эти слова сказаны и явно, что Эйнштейн знал, что он говорит.
Следовательно, данная работа посвящена проблемам взаимоотношениям математики и физики и, несмотря на то, что в книге много математических формул и определений основное для авторов, все-таки физика, хотя современную физику невозможно представить без математики.
Одной из главных задач преподавания физики следует считать формирование представлений о единой картине мира, основанной на достижениях теоретической и экспериментальной физики. Между тем именно эти вопросы не находят пока должного отражения в существующих учебниках. И дело здесь не только, и не столько в нежелании авторов современных учебников, сколько в том, что современная физика, пока еще не предоставляет подобной возможности.
Проблема, в первую очередь в том, что современная физика представляет собой конгломерат по крайней мере трех течений. Это классическая физика, квантовая физика и теория относительности. Каждое из этих течений предъявляет к читателю свои особые требования не только в области математической подготовки, но что самое главное особого, отличного от других философского взгляда на весь физический мир.
Так, классическая физика, основанная на философии материализма, предполагает объективное существование мира, в пространстве и во времени независимо от субъективизма наблюдателя. Ньютон учил, есть «абсолютное, истинное и математическое время», текущее однообразно, «без связи к каким–либо внешним предметом». Точно также, Ньютон говорил об «абсолютном пространстве». Он рассматривал его как некую емкость, которая вмещает весь мир, и которая «без связи с каким-либо внешним предметом постоянно остается одинаковой и неподвижной». Причем пространство и время объективно не зависят друг от друга. Строгая детерминированность, причинно – следственные связи, независимо от наблюдателя и т. д. Другими словами, объективная реальность не зависит от того, наблюдает ли за ней наблюдатель или нет, и тем более, от того, из какой системы отсчета производятся наблюдения.
С другой стороны, теория относительности основана на философии позитивного релятивизма. Релятивизм (лат. relativus – относительный) - утверждает, что все события в мире относительны, условны и субъективны. А в физике релятивизм утверждает, что и результаты наблюдения о происходящих событиях зависят от системы отсчета, из которой эти события наблюдаются. Философия позитивизма, – отрицая ценность теоретических исследований, требует, чтобы теории строились только на наблюдаемых в опыте величинах, истинную ценность имеют только эмпирические данные. Отсюда признание, в теории относительности, самым важным, понятие наблюдателя, который наблюдает событие из выделенной системы отсчета, и объективизация субъективных наблюдений. Чтобы сохранить инвариантность законов природы взаимно увязываются пространство и время в единый 4-мерный континуум. При этом, признается как факт, предельность скорости света для всех скоростей и равенство скорости света во всех инерциальных системах отсчета, несмотря на то, что никакими экспериментами ни то, ни другое не подтверждено.
Квантовая теория, с другой стороны, вводит понятие наблюдателя. Согласно этой теории объективная реальность микромира, зависит, от возмущения, которые вносит наблюдатель своим наблюдением (проводимым экспериментом), в результате объективная реальность становится непредсказуемой, так как экспериментатор видит только результаты возмущений в результате исследования, и не может сказать, что происходит без участия экспериментатора. Так как эксперимент вносит возмущение, то, во-первых, знания о природе становятся субъективными, и относительными (каждый экспериментатор может придумать любую картину мира, каким он мог бы быть, если бы экспериментатор не вмешивался в эту картину), а значит релятивистским. Во-вторых, так как объективная реальность не поддается объективному описанию, то нет смысла пытаться описывать мир в теоретических терминах, не поддающихся прямой экспериментальной проверке, отсюда позитивизм.
Несмотря на то, что некоторые авторы современных учебников пытаются совместить эти три учения, этого невозможно сделать без потерь. Материализм находится в непримиримом противоречии с идеалистическими течениями в философии, позитивизмом и релятивизмом, поэтому для создания стройного здания современной физики необходимо отказаться либо от материализма, либо от идеализма, третьего пути нет.
Для того, чтобы представить какое направление в современной физике побеждает, приведем определение неопозитивизма [90]. «Отвергнув психологизм, в отличии от махизма, в котором психология творчества занимала крайне ведущее место, переходящее в субъективизм, представители этого направления пошли по линии сближения «логики науки» с математикой, по линии формализации гносеологических проблем».
Остается только поражаться, как это из учебников совсем не убрали все рисунки и графики, и не оставили только математические формулы.
И здесь, мы плавно подошли ко второму недостатку современной физики, ее математизация. С одной стороны, без математики не существует точных наук. Но, с другой стороны, уровень математики, необходимой для понимания (или хотя бы усвоения, Р. Фейнман писал «даже большие ученые не понимают настолько, насколько им хотелось бы») общей теории относительности и квантовой теории, настолько высок, что эти теории преподаются только на физико-математических специальностях университетов, отрезая тем самым от новейших достижений науки инженерных и других специальностей ВУЗов.
Известно высказывание одного крупного ученого физика ХХ века «теория хороша, но достаточно ли она сумасшедшая, чтобы стать верной», теория, предлагаемая авторами данной книги, с точки зрения современной физики абсолютно сумасшедшая – авторы предлагают вернуться к классической теории в атомной физике, теории относительности и теории гравитации. При этом, несмотря на устоявшееся мнение о науке, состоящее в том, что, чем новее теория, тем она сложнее и непонятнее, авторы глубоко уверены, что если теория непонятна непрофессионалам, то она либо не верная, либо не доработанная. Поэтому, одна из задач, которую пытаются решить авторы – это путем упрощения математических выводов в физике максимально расширить количество людей, понимающих достижения науки.
Также необходимо отметить наличие в книге исторического материала, и это тоже убеждение авторов, что любой современный тупик – это результат ошибки, совершенной в истории. Но историю творят люди, а не бездушные роботы, как можно представить из современных учебников, где ученые упоминаются только по имени как авторы какого-либо закона, теоремы постулата и т. д. Но Ньютон не мог опубликовать теорию относительности Эйнштейна, не потому, что было разное время, а потому, что это два совершенно психологически противоположных человека.
Ньютон как создатель анализа бесконечно малых стал известен миру только через тридцать с лишним лет. Об открытии всемирного тяготения ученый мир узнал лишь через 20 лет. Согласно исследованиям биографов, Ньютон открыл закон тяготения в 1666-1668 г., но из-за расхождения теоретических расчетов, соответствия силы земного тяготения на поверхности Земли и на расстоянии лунной орбиты, с астрономическими данными движения Луны, не опубликовал свое открытие. И только после опубликования новых уточненных геодезических измерений Пикара, во Франции, и астрономических измерений, Кассини и Ремера, расстояния до Луны опубликовал его в «Математических началах...» 1687 г.
Эйнштейн в 1905 г. опубликовал теорию относительности, основанную на постулате абсолютности скорости света. Постулат, который не доказан экспериментально до сих пор, даже через век после публикации.
Как говорится, почувствуйте разницу.
Поэтому, отказ от психологизма (неопозитивизм) так же плох, как и возвеличивание психологического фактора в махизме.
Другой недостаток современного преподавания физики - это статичность, устоявшихся догм, в настоящее время от ученика не только не требуется критически мыслить, но наоборот, такой критический настрой тщательно вытравляется, так как современные теории на проверку не выдерживают критики. Совершенно аналогичное состояние физики описывает А. Эйнштейн, каким оно было во времена его юности:
«Несмотря на то, что в отдельных областях она (физика) процветала, в принципиальных вещах господствовал догматический застой. В начале (если таковое было) бог создал ньютоновы законы движения вместе с необходимыми массами и силами. Этим все и исчерпывается; остальное должно получаться дедуктивным путем, в результате разработки надлежащих математических методов». Слова актуальные и в наше время.
По крайней мере, отказ «математической» сухости и догматической статичности описания физики, позволит, повысить интерес к изучению предмета, что также не маловажно, и позволит преподавать физику как живой и вечно молодой предмет, а не застывшую мумию, состоящую из набора устоявшихся истин, которые не обязательно понимать, а только заучивать.
«Ибо человек не машина, и он хиреет, если лишается возможности самоопределения и свободы высказывать собственные суждения». А. Эйнштейн
Работа является изысканиями авторов в поиске противоречий в недостаточно методически (или теоретически?) отработанных методах представления материала и, в принципе, не претендует на достаточную доказательность.
Понимая, что данная книга является первой попыткой изложения проблемы классической теории в отдельных разделах современной физики, авторы будут благодарны всем читателям за критические и конструктивные замечания, и советы по ее улучшению.
Авторы выражают искреннюю признательность академику РАН С.С. Григоряну за внимательное и доброжелательное рецензирование и квалифицированные советы при публикации цикла статей в журнале «Пространство и время».
Полный текст доступен в формате PDF (7973Кб)
А.В. Кочетков, П.В. Федотов, Топологическая механика // «Академия Тринитаризма», М.,
 |