История развития понятия измерения в математике

Разобравшись с помощью Бриллюэна с различием между «физической» и «математической» теориями измерения, я приступил к анализу «математической» теории измерения, которая, как известно, является одним из кирпичей, лежащих в основании математики.

Выдающийся советский математик академик Колмогоров в предисловии к книге А. Лебега «Об измерении величин» (1960, перевод французского) написал следующее по поводу роли измерений в математике: «В чем же основной интерес книги Лебега? Мне кажется, в следующем: у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная с уже готовых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Все здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег».

Как известно, первой «теорией измерений» был свод правил, которыми пользовались древнеегипетские землемеры. От этого свода правил, как свидетельствуют древние греки, берет начало геометрия, обязанная своим появлением (и названием) задаче об «измерении земли». Однако уже в Древней Греции происходит разбиение проблем измерения на прикладные, которые относятся к «логистике», и фундаментальные, относящиеся к геометрии; последние и становятся в центре античной математики.

Наука об измерении развивается в этот период преимущественно как математическая теория. Именно в этот период происходит открытие несоизмеримых отрезков, которое по праву считается одним из наиболее выдающихся открытий античной математики. Пифагорейцы сделали это открытие, изучая отношение диагонали к стороне квадрата. Они обнаружили, что это отношение не может выражено в виде рационального числа и поэтому это отношение, то есть число √2, они назвали иррациональным числом. Это открытие явилось причиной глубокого кризиса в основаниях античной математики, так как оно ниспровергало главный принцип математической системы пифагорейцев — принцип соизмеримости величин, в соответствии с которым отношение любых геометрических отрезков всегда можно было выразить рациональным числом.

Потрясение умов, связанных с этим открытием, было настолько большим, что Пифагор, как гласит легенда, свершил «гекатомбу», то есть, принес в жертву богам 100 быков. Это открытие, безусловно, стоило таких расходов, поскольку оно, как свидетельствует «История математики в 3-х томах» (1970, том 1), «явилось поворотным пунктом в развитии математики. Оно разрушило раннюю систему пифагорейцев и привело к созданию новых, очень тонких и глубоких теорий. Значение этого открытия можно, пожалуй, сравнить только с открытием неевклидовой геометрии в 19 в. или теории относительности в начале 20-го века. Так же, как и эти теории, проблема несоизмеримости получила громкую известность среди широких кругов образованных людей. Платон и Аристотель неоднократно обсуждали вопросы, связанные с несоизмеримостью».

Аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора

Для преодоления кризиса в основаниях античной математики выдающийся геометр Евдокс предложил «метод исчерпывания», с помощью которого он построил остроумную теорию отношений, лежащую в основе античной теории континуума. «Метод исчерпывания» сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Будучи прообразом интегрального исчисления, «метод исчерпывания» позволял античным математикам решать задачи вычисления объема пирамиды, конуса, шара.

В современной математике метод исчерпывания находит свое отражение в аксиоме Евдокса-Архимеда, называемой также аксиомой измерения. Эта аксиома гласит, что каковы бы не были отрезки А и В, такие, что A>B, всегда найдется такое натуральное число n, чтобы было: nB>A.

Но одной аксиомы измерения недостаточно для строгого обоснования математической теории измерения. Поэтому великие математики 19 в. Георг Кантор и Рихард Дедекинд также подключились к решению этой фундаментальной проблемы. В 1872 г. Георг Кантор (1845-1918) для строгого обоснования понятия действительного числа в рамках созданной им теории бесконечных множеств ввел аксиому о «стягивающихся» отрезках, которая гласит, что если построить бесконечную совокупность «вложенных друг в друга отрезков», каждый из которых меньше предыдущего, то существует, по крайней мере, одна точка, общая всем «стягивающимся» отрезкам.

Аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора, называемые также аксиомами непрерывности, относятся к разряду важнейших геометрических аксиом и составляют методологический базис математической теории измерения, являющейся, как уже говорилось, одним из кирпичей в основании математики.

Центральным результатом математической теории измерения, основанной на указанных выше аксиомах, является доказательство существования и единственности решения q основного уравнения измерения:

Q = qV,

(1)

где V — единица измерения, Q — измеряемая величина, q — измеряющее ее число.

Несмотря на кажущуюся простоту сформулированных выше аксиом и всей математической теории измерения, она тем не менее является продуктом более чем двухтысячелетнего периода в развитии математики и содержит в себе ряд глубоких математических понятий

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что «метод исчерпывания» и вытекающая из него аксиома измерения имеют практическое (эмпирическое) происхождение; они были позаимствованы древнегреческими математиками в практике измерений. В частности, «метод исчерпывания» является математической моделью процессов измерения объемов жидкостей и сыпучих тел путем «исчерпывания»; аксиома измерения, в свою очередь, концентрирует тысячелетний опыт человека, задолго до возникновения аксиоматического метода в математике миллиарды раз измерявшего расстояния, площади и временные интервалы, и представляет собой сжатую формулировку алгоритма измерения отрезка А с помощью отрезка В. Суть этого алгоритма состоит в последовательном откладывании отрезка В на отрезке А и подсчете числа отрезков В, укладывающихся на отрезке А. В современной практике измерений такой метод измерения называется алгоритмом счета.

Алгоритм счета играет фундаментальную роль в определении самого понятия натурального числа, которое в математике иногда называют «Евклидовым определением»:

N = 1 + 1 + … + 1 (N раз)

(2)

Этот же алгоритм лежит в основе таких важных математических понятий как «сложение», «умножение», «деление» и т.д.

Аксиома Кантора содержит в себе еще одно удивительное достижение математической мысли — абстракцию актуальной бесконечности. Еще со школы мы хорошо знаем, что понятие бесконечности является едва ли не центральным понятием математики. Но не все знают, что в математике нет строгого определения этого понятия. Более того. Это понятие является предметом ожесточенного спора в математике, которое привело к созданию так называемой конструктивной математики.