АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА

Институт Золотого Сечения - Под знаком "Золотого Сечения"

А.П. Стахов

Под знаком «Золотого Сечения»:
Исповедь сына студбатовца.
Глава 4. Золотое сечение в истории культуры.
4.15. «Фибоначчизация» современной науки

Oб авторе

---

Золотое сечение в Солнечной системе

С давних пор человечество пытается найти законы расположения и движения планет. Такую попытку предприняли еще пифагорейцы, считавшие, что Земля имеет форму шара и расположена в центре Вселенной. Вокруг нее располагаются сферы с планетами, последней из них является сфера звезд. Пифагорейцы считали, что расстояния между сферами соответствует музыкальным интервалам: от Земли до Луны – один тон, от Луны до Меркурия – полутон, от Венеры до Солнца – полтора тона и так далее. Получалась интересная аналогия музыкальной октавы. Предполагалось, что при вращении каждая сфера издает музыкальный тон, а вся система сфер образует гармонию – «музыку сфер». Именно идея всеобщей гармонии во Вселенной, выраженная образно пифагорейской «музыкой сфер», побудила Иоганна Кеплера искать закономерности в движении планет Солнечной системы, используя «платоновы тела» (об этом я рассказывал выше).

Поиски закономерностей расположения и обращения планет в Солнечной системе продолжаются. Совсем недавно (1978 г.) русский астроном К. Бутусов рассчитал средние периоды обращения планет Солнечной системы и сопоставил их с «золотой» геометрической прогрессией. Получилось весьма точное соответствие. Найденная закономерность соблюдается с надежностью 95%, среднее отклонение расчетных данных от фактических всего около 4%.

Бутусов установил, что отношение периодов обращения соседних планет вокруг Солнца равны либо золотой пропорции 1,618, либо ее квадрату 2,618. Бутусов также устанавливает следующее:

«Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным t, т.е. спектр, построенный на основе «золотого сечения»! Иными словами, спектр гравитационных и акустических возмущений, создаваемых планетами, представляет собой консонансный аккорд, наиболее совершенный с акустической точки зрения…

Кажется весьма удивительным, что Кеплер, писавший о «золотом сечении» и занимавшийся проблемой гармонии мира, не открыл этой закономерности!

Заканчивая этот раздел, мы можем сделать вывод, что утверждения пифагорейцев и Кеплера о «музыке сфер» действительно соответствуют реальным фактам, а не являются только символическими».

Какова же причина такого «странного» поведения планет, движения которых подчиняются «золотому сечению»?

В 1988 г. было сделано важное научное открытие в области механики. Это открытие удостоверяло существование нового явления в Природе – синхронизацию вращающихся тел, основанную на явлении резонанса, которое приводит к тому, что между скоростями вращающихся тел устанавливаются определенные фазовые соотношения.

Возникает вопрос: не является ли резонанс главным «дирижером космического ансамбля планет»? Приведенные Бутусовым математические выкладки показывают, что решением алгебраических уравнений, описывающих резонансные явления между планетами, действительно является либо золотая пропорция, либо квадрат золотой пропорции.

Значение резонанса в природе и технике трудно переоценить. В технике явление резонанса учитывают при расчете конструкций машин и других инженерных сооружений. Уже давно хрестоматийным примером разрушающегося действия резонанса является некий мост в Петрограде, по которому «в ногу» прошла рота солдат, и мост рухнул под воздействием резонанса. Явление резонанса лежит в основе гармонического сочетания звуков в музыкальных произведениях. Резонансу подчинены разнообразные биоритмы человеческого организма, работа его отдельных органов, например, биение сердца.

В последние годы появилась гипотеза, объясняющая природу гармонических пропорций, в частности, золотой пропорции, явлением резонанса. Гармоничные пропорции живых организмов, обеспечивающие их жизнеспособность, также обусловлены резонансом. Согласно этой гипотезе, резонанс, как невидимый дирижер, незаметно и настойчиво настраивает системы, объединяет их в гармоничное целое, подчиняет всеобщему ритму бытия. Без него нет мелодии, нет очарования музыкального произведения, воздействующего на наши сердца.

Приведенные выше закономерности в расположении планет и их периодах вращения, основанные на золотой пропорции, достаточно убедительны. Можно ожидать, что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и прослеживаются в самых различных образованьях. В этом и проявляется единство природы. Идея такого единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора дот наших дней.

Квазикристаллы

Всякий научный результат является новым достижением, совершаемым в процессе научного познания природы и общества. Однако особое значение имеют так называемые революционные открытия, которые затрагивают фундамент науки и опровергают некоторые устоявшиеся научные теории и воззрения. Примером такого открытия в астрономии являются знаменитые законы Кеплера, давшие начало новой астрономии, в математике таким открытием является неевклидова геометрия, предложенная русским геометром Лобачевским, а в физике — теория относительности Эйнштейна.

К разряду таких научных достижений подобного рода в современной физике, в частности, в кристаллографии, с полным правом можно отнести открытие нового вида металлических сплавов, сделанное в 1982 г. израильским физиком Даном Шехтманом и названное им квази-кристаллами.

Чтобы понять и оценить значение этого открытия, необходимо вспомнить основные законы классической кристаллографии. Как известно, кристаллами называются все твердые тела, в которых слагающие их частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены строго закономерно наподобие узлов пространственных решеток.

В течение долгих столетий геометрия кристаллов казалась таинственной и неразрешимой загадкой. В 1619 г. великий немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер обратил внимание на шестерную симметрию снежинок. Он попытался объяснить ее тем, что кристаллы построены из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг другу (вокруг центрального шарика можно плотно разместить только шесть таких же шариков). Впоследствии многие великие умы (Роберт Гук, Михаил Ломоносов, Рене Жюст Гаюи, Браве и др.) приложили много усилий для раскрытия тайны кристаллов. Итогом этих изысканий было установление важнейшего закона кристаллографической симметрии, согласно которому для кристаллов возможны оси симметрии лишь первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Тем самым на кристаллических фигурах никогда не бывает симметрии пятого порядка, а также осей симметрии выше шестого, так как они невозможны в кристаллических решетках.

Так был найден важнейший закон, проводящий разницу между симметрией кристаллов и симметрией растений и животных, которые широко используют пятерную симметрию. Для кристаллов пятерные оси и оси порядка выше шестого категорически запрещены. Таковы были каноны традиционной кристаллографии до открытия Шехтмана.

Сплав алюминия и марганца, открытый Шехтманом, образуется при сверхбыстром охлаждении расплава со скоростью 10⁶ К в секунду. При этом образуется сплав, упорядоченный в узоре, характерном для симметрии икосаэдра, обладающего осями симметрии 5-го порядка.

Плитки Пенроуза

Для теоретического объяснения феномена исследователи привлекли так называемые «фигуры или плитки Пенроуза». Английский математик Р. Пенроуз занимался «проблемой паркета», то есть проблемой плотного заполнения плоскости с помощью многоугольников. В 1972 г. ему удалось покрыть плоское пространство всего двумя простыми многоугольниками, расположенными апериодически. В своей простейшей форме «плитки Пенроуза» представляют собой неслучайный набор ромбовидных фигур двух типов, одни с внутренним углом 36°, другие — 72°. Заметим, что указанные ромбы образуются в результате соединения своими основаниями двух «золотых» треугольников, которые модно найти в «регулярном пентагоне».

«Плитка Пенроуза» на рисунке (с) образуется из «золотых» ромбов на рисунках (а) и (b). Рисунок (с) демонстрирует начало построения «плитки Пенроуза». Возьмем 5 «золотых» ромбов типа (b) и образуем из них пятиугольную звезду. После этого добавим к пятиугольной звезде 5 «золотых» ромбов типа (а). В результате мы получим декагон, то есть правильный десятигранник. Продолжая этот процесс, то есть, пристраивая к декагону новые «золотые» ромбы, можно покрыть плоскость с использованием только двух типов ромбов (а) и (b). При этом возникает некоторая апериодическая структура, называемая «плиткой Пенроуза». Доказано, что отношение числа «толстых» ромбов типа (b) к числу «тонких» ромбов типа (а) в такой структуре в пределе стремится к золотой пропорции!

Паркет (мозаика) может быть хорошим аналогом кристалла. Трехмерное пространство кристалла заполняется элементарными ячейками так же, как в паркете двухмерное пространство заполняется плитками. Идея Пенроуза о плотном заполнении плоскости с помощью «золотых» ромбов типа (а) и (b) была трансформирована на трехмерное пространство. При этом роль «ромбов Пенроуза» в новых пространственных структурах играют икосаэдры, о которых я рассказывал выше. Эти пространственные структуры и представляют собой «квази-кристаллы» или «шехтманиты».

Как отмечает Д. Гратиа в статье «Квазикристаллы» (1988 г.) «понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом» ключевым понятием дальнего порядка. Это понятие привело к расширению кристаллоографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире миненралов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике».

Идея «квазикристаллов» и «плиток Пенроуза» вдохновляет многих современных художников. Одним их них является словенская художница Тейя Крашек, создавшая ряд великолепных художественных образов «плиток Пенроуза».

Каково же практическое значение открытия квазикристаллов? Как отмечает Гратиа, «механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами … Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу».

Химия «по Фибоначчи»

А теперь рассмотрим такую научную дисциплину, как химия. Одним из фундаментальных химических законов является закон постоянства состава химических соединений. Этот закон утвердился в химической науке после исследований французского ученого Ж. Пруста (1754-1826). Исследуя химические соединения, в частности, окислы металлов, он пришел к выводу, что химические соединения имеют строго постоянный состав, не зависимый от условий их образования. Трудами английского ученого Д. Дальтона (1766-1844) в химии утвердилось атомарное учение. Был сформулирован закон кратных отношений, по которому между атомами в соединениях устанавливаются простые целочисленные отношения. И сейчас каждый школьник знает, что состав воды описывается формулой H₂O, поваренной соли — NaCl, окиси цинка — ZnO. Химия стала точной наукой. Родилась даже целая область химии, изучающая соотношение атомов в соединениях и называемая стехиометрией. Утверждение закона кратных отношений – одно из замечательных достижений мировой науки: из хаоса атомарных представлений выросла простая, стройная, красивая система. Атомы различных элементов могут образовать бесконечно много всевозможных сочетаний, соединенных силами химической связи. Но только некоторые из них являются устойчивыми и сохраняются, а другие погибают, распадаются на более устойчивые соединения. А устойчивыми будут те сочетания атомов различных элементов, которые отвечают простым целочисленным отношениям компонентов. Удивительно просто, ясно, доходчиво и … полностью соответствует представлениям древних пифагорейцев о главенствующей роли чисел в организации Вселенной.

Однако такая формулировка одного из основных химических законов вызывает некоторое недоумение. Что означает «простые целочисленные отношения»? Неясно, что понимать под «небольшими» целыми числами атомов в формулах соединений. Пока изучали сравнительно простые химические соединения, отношение атомов в них обычно отвечало небольшим числам, например, в H₂O, Al₂O₃, Fe₃O₄, As₂O₅. Но круг изучаемых химических соединений стремительно расширяется. Появились формулы соединений со стехиометрическими коэффициентами 7, 9, 15, 21 и т.д. А когда начали изучать состав органических соединений, о простых целочисленных отношениях и говорить стало неудобно. Своеобразным чемпионом в стехиометрии стала ДНК бактериофага, описываемая формулой C₅₇₅₀H₇₂₂₇N₂₂₁₅O₄₁₃₁S₅₉₀. Какие уж тут отношения «небольших» целых чисел – здесь фигурируют четырехзначные величины.

Мы не будем углубляться в химию различных образований. Нас будет интересовать только один вопрос – не проявляются ли в формулах соединений числа Фибоначчи, не подчиняется ли химическая организация золотой пропорции?

Ответ на этот вопрос и попытался дать украинский химик Н. Васютинский, автор замечательной книги «Золотая пропорция» (1990 г.). Ему удалось обнаружить соединения, основанные на числах Фибоначчи, при изучении окислов урана и хрома. При окислении урана состав образующихся окислов изменяется не непрерывно, а скачкообразно – от одного устойчивого соединения с целочисленными соотношениями атомов к другому. Между окислами урана UO₂ и UO₃ образуется целый ряд промежуточных соединений, состав которых описывается формулами U₂O₅, U₃O₈, U₅O₁₃, U₈O₂₁, U₁₃O₃₄. Как видим, в них отношения атомов равны отношениям чисел Фибоначчи, расположенным через одно. Мы уже знаем, что такое отношение в пределе стремится к квадрату золотой пропорции. Но мы также встречали подобное отношение при изучении ботанического явления филлотаксиса!

Каждый из описанных окислов урана может быть представлен в виде суммы двух граничных окислов ряда UO₂ и UO₃, взятых в различных пропорциях, например: U₅O₁₃ = 3UO₃ + 2UO₂; U₈O₂₁ = 5UO₃ + 3UO₂. Здесь коэффициенты перед окислами UO₃ и UO₂ отвечают рядом расположенным числам Фибоначчи. Вот и получается, что состав рассмотренных окислов урана полностью подчиняется числам Фибоначчи, расположенным не случайно, а строго закономерно. Заметим, что по утверждению Н. Васютинского аналогичный состав имеют и окислы хрома Cr₂O₅, Cr₃O₈, Cr₅O₁₃, Cr₈O₂.

Общепринято состав химических соединений определять соотношением атомов элементов, входящих в эти соединения. Но можно химическое соединение рассматривать состоящим из атомов (ионов) различных элементов и подвижных валентных электронов, которые «отвечают» за образование химических связей между атомами. Так, например, в оксиде Cr₂O₅ на 7 атомов хрома и кислорода приходится 10 валентных электронов. Если произвести аналогичные расчеты для всех оксидов ряда Фибоначчи, получим следующие отношения сумм атомов к суммам валентных электронов: 10/7; 16/11; 26/18; 42/29; 68/47. Заметим, что числители этих дробей связаны «фибоначчиевым» отношением, а знаменатели представляют собой числа Люка. Если теперь последовательно уменьшим числители и знаменатели этих дробей на числа Фибоначчи, отвечающие количеству атомов металлов в соединениях: 2, 3, 5, 8, 13, то в результате получим ряд отношений соседних чисел Фибоначчи 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; в пределе эти отношения стремятся к золотой пропорции.

Таким образом, Н. Васютинский достаточно убедительно продемонстрировал, что химические соединения, организованные «по Фибоначчи», существуют!

«Фибоначчиевые резонансы» генетического кода.

Установление наукой ныне широко известного факта поразительной простоты основных принципов кодирования наследственной информации в живых организмах относится к числу важнейших открытий человечества. Эта простота заключается в том, что наследственная информация кодируется текстами из трехбуквенных слов – триплетов или кодонов, составленных на базе алфавита из четырех букв – азотистых оснований А (аденин), С (цитозин), G (гуанин), T (тимин). Данная система записи по существу едина для всего необозримого множества разнообразных живых организмов и называется генетическим кодом.

В 1990 г. Jean-Clode Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований ТСАG внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые «РЕЗОНАНСАМИ». «Резонанс» представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …).

Например, рассмотрим 144 соседних нуклеотидов ДНК, образующихся из 55 оснований типа Т и 89 оснований типа А, С. G; тогда пропорция (55-89-144) и представляет собой «резонанс». Именно эта «фибоначчиева» пропорция является ключевой идеей открытия Jean-Clode Perez, названного «ДНК SUPRA-кодом». Суть ДНК SUPRA-кода состоит в следующем. Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа ТСАG, и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С или G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода представляет собой «резонанс», то есть «резонанс» есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). При этом допустимы любые комбинации оснований, то есть С против АGT, А против ТСG, или G против ТСА. Открытие состоит в том, что ДНК состоит из множества «резонансов» рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F_n, разбивается «золотым сечением на множество оснований типа Т, число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F_n-2, и суммарное множество остальных оснований, число которых равно F_n-1. Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество «резонансов», называемое SUPRA-кодом ДНК.

Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами, в частности профессорами Montagnier and Chermann, исследовавших ДНК вируса СПИДа.

Что же лежит в основе биологического обоснования указанного закона? Автор открытия Jean-Clode Perez дает следующее объяснение этому феномену. Изучение чувствительности ДНК к шумам и незначительным изменениям показывает, что такой принцип построения ДНК является суперчувствительным к незначительным изменения. В результате возникает парадоксальное соответствие между СТАБИЛЬНОСТЬЮ и ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ.

Несомненно, что рассматриваемое открытие относится к разряду выдающихся в области ДНК, определяющих развитие генной инженерии. По мнению автора открытия Jean-Clode Perez SUPRA-код ДНК является универсальным био-математическим законом, который указывает на высочайший уровень самоорганизации нуклеотидов в ДНК согласно принципу «золотого сечения».

В замечательной книге С.В. Петухова «Бипериодическая таблица генетического кода и число протонов» (2001 г.) приведены последовательности триплетов в синтетических генах для a — и b -цепей инсулина. Для b -цепи эта последовательность имеет следующий вид:

Заметим, что все основания типа Т в указанной последовательности окрашены красным цветом.

Проверка «Закона Jean-Clode Perez » на примере b -цепи молекулы инсулина привела к следующему результату. Общее число триплетов в b -цепи равно 30, то есть молекула содержит 90 оснований (89 — ближайшее число Фибоначчи). Если подсчитать число оснований Т в b -цепи, то оно равно 34 (34 — число Фибоначчи), а число остальных оснований равно 90-34 = 56 (55 — ближайшее число Фибоначчи). Таким образом, между основанием Т и остальными основаниями в b -цепи соблюдается следующая пропорция: 90-56-34. Эта пропорция очень близка к «резонансу»: 89-55-34. Из этого анализа вытекает, что «Закон Jean-Clode Perez» для b -цепи инсулина выполняется с весьма высокой для практики точностью. Если теперь взять первые 18 триплетов b -цепи, содержащих 54 основания (55 – ближайшее число Фибоначчи) и подсчитать число оснований Т на этом отрезке, то оно равно 22 (21 — ближайшее число Фибоначчи), то есть в первом отрезке мы имеем пропорцию: 54-32-22, что также близко к «резонансу»: 55-34-21, то есть «Закона Jean-Clode Perez» на этом отрезке также выполняется. Если взять отрезок, состоящий из оставшихся 12 триплетов (36 оснований), то число оснований Т на этом отрезке равно 12 (13 — ближайшее число Фибоначчи), то есть имеем пропорцию: 36-24-12, которая является приближением к «резонансу»: 34-21-13. Таким образом, как для b -цепи молекулы инсулина в целом, так и для ее отрезков «Закон Переза» выполняется с достаточной для практики точностью. Можно также увидеть, что практически в любом отрезке b -цепи тенденция к золотому сечению сохраняется.

Удивительное открытие Jean-Clode Perez позволяет сделать интересный вывод, касающийся аналогии между музыкой, поэзией и генетическим кодом. Несомненным является тот факт, что «гармония» этюдов Шопена, стихов Пушкина, в которых «золотое сечение» наблюдается многократно, сходна «гармонии» генетического кода, в котором «фибоначчиевые резонансы», лежащие в основе SUPRA-кода, многократно наблюдаются как во всей молекуле ДНК, так и в каждой ее части.