Особенности науки 19-го века

В 19 в. коренным образом меняется характер науки. Проблема структурного единства мира, выдвинутая еще в античности, постепенно возрождается в своем гносеологическом статусе, обеспечивается всем достоянием науки. Идея структурного единства мира подтверждается эволюционным учением в биологии (Ч. Дарвин), внесшим в естествознание идею развития, периодическим законом (Д.И. Менделеев), позволившем прогнозировать свойства еще неизвестных химических элементов, законом сохранения и превращения энергии (Р. Майер, Дж. Джоуль, Г. Гельмгольц), поставившем на единую основу все законы физики и химии, клеточной теорией (Т. Шванн, М. Шлейден), показавшей единообразную структуру всех живых организмов, и другими выдающимися научными открытиями науки 19-го века, доказавшими наличие внутренней связи между всеми известными видами вещества.

Последовательно проведенный в античности тезис о единстве человека и природы вновь возрождается на исходе 19-го и главным образом в первой половине 20-го века в ряде концептуальных построений, особенно в рамках так называемого «русского космизма» (В.И Вернадский, Н.Ф. Федоров, К.Э. Циолковский, П.А. Флоренский, А.Л. Чижевский и др.). Важнейшим направлением исследований становится поиск инвариантов бытия – особых устойчивостей, обнаруживающихся в целых классах внешне различных или разнородных явлений, способных вскрывать и выражать общую природу последних.

«Преобразования (вариации) и их инварианты — … важнейшие понятия и в сфере науки и в сфере искусства!» - такова оценка этого направления научного поиска, данная известными российскими специалистами в этой области А.В. Шубниковым и В.А. Копциком.

Это направление научного поиска с неизбежностью поставило вопрос в познании объективных законов гармонии, потребность в точном исчислении гармонических отношений. На данном фоне вновь пробуждается интерес к гармонической пропорции, к золотому сечению, числам Фибоначчи.

Проблема филлотаксиса

В 19 в. особый интерес вновь вызвала так называемая «проблема филлотаксиса», на которую одним из первых обратил внимание великий Кеплер. Этой проблеме будет посвящен специальный параграф моей книги. Уже в 19-м веке «филлотаксис» начали рассматривать «как загадку живой природы». Знаменитый математик Герман Вейль по этому поводу написал так:

«Я опасаюсь, что современные ботаники относятся ко всему учению о филлотаксисе менее серьезно, чем их предшественники».

«Всеобщий закон пропорциональности» Цейзинга

В 19-м веке большой вклад в развитие теории пропорциональности, которая является основой гармонии систем, внес немецкий ученый А. Цейзинг, книга которого «Neue Lehre von den Prportionen des menschlichen Korpers» (1854) является до сих пор широко цитируемой среди сочинений, посвященных этой проблеме.

Исходя из того положения, что пропорциональность есть отношение двух неравных частей между собой и к целому в наиболее совершенном их сочетании, Цейзинг формулирует «всеобщий закон пропорциональности» следующим образом:

«Деление целого на неравные части пропорционально, когда отношение частей целого между собой то же, что и отношение их к целому, т.е. то отношение, которое дает золотое сечение».

Пытаясь доказать, что все мироздание подчиняется этому закону, Цейзинг старается проследить его как в органическом, так и в неорганическом мире. В подтверждение этого он приводит данные об отношениях взаимных расстояний между собой небесных светил, отвечающих золотому сечению, устанавливает такие же отношения в строении человеческой фигуры, в конфигурации минералов, растений, в звуковых аккордах музыки в архитектурных произведениях.

Рассмотрев статуи Аполлона Бельведерского и Венеры Медицейской, Цейзинг устанавливает, что при делении общей высоты в указанном отношении линии деления проходят через естественные членения тела. Первый раздел проходит через пупок, второй через середину шеи т.д., то есть все размеры отдельных частей тела получаются путем деления целого по золотому сечению.

Останавливаясь на значении закона золотого сечения в музыке, Цейзинг указывает, что древние греки приписывали эстетическое впечатление аккордов пропорциональному делению октавы при помощи среднеарифметической и гармонической пропорции. Первой отвечает отношение основного тона к квинте и к октаве – 6:9:12; второй – отношение основного тона к кварте и к октаве – 6:8:12. Таким же образом греки объяснили гармонию и остальных созвучий. Базируясь на тех положениях, что только те соединения тонов красивы, интервалы которых находятся между собой и к целому в пропорциональном отношении, и на том, что соединение только двух тонов не дает полной гармонии, Цейзинг показывает, что наиболее приятные для слуха консонансы имеют такие интервалы, что соотношение частот, входящих в аккорд, в наибольшей степени близко к золотой пропорции. Например, соединению малой терции с октавой основного звука соответствует отношение частот 3:5, соединение большой терции с октавой основного звука – 5:8 (3, 5, 8 – числа Фибоначчи!).

Далее Цейзинг делает вывод, что, так как эти два соединения звуков между двузначными самые приятные для слуха, то этим, по-видимому, объясняется тот факт, что только ими заканчиваются музыкальные периоды. Этим же он объясняет, почему импровизированный народный напев и простая музыка двух валторн (или английских рожков) движется в секстах и их дополнениях – терциях.

Переходя к значению закона пропорциональности в архитектуре, Цейзинг указывает, что архитектура в области искусств занимает такое же положение, как и органический мир в природе, одухотворяя на почве мировых законов инертную материю. Планомерность, симметрия и пропорциональность при этом являются непременными ее атрибутами, откуда вытекает, что вопрос о законах пропорциональности в архитектуре стоит значительно острее, чем в скульптуре или в живописи.

Опыты Фехнера

Широкую известность в это период получают так называемые «психологические опыты Фехнера», одного из авторов «основного психофизического закона». «Опыты Фехнера» были направлены на выявление у взрослых людей чувства прекрасного, гармонии. Всем участникам опыта (228 мужчин и 119 женщин) предлагалось оценить эстетические качества десяти белых прямоугольников с отношением сторон от 1:1 (квадрат) до 2:5. Одним из них был «золотой» прямоугольник с отношением сторон 21:34 (что весьма близко к «золотому» прямоугольнику). Испытуемым предлагалось посредством сравнения упорядочить прямоугольники по степени привлекательности для восприятия, отобрав один из прямоугольников, наиболее удовлетворяющих «эстетическому критерию». Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для «золотого» прямоугольника.

Прямоугольники Фехнера

В 1958 г. «опыты Фехнера» были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на «золотой» прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% — верхняя фигура и 19% — нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.

Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.

Икосаэдр как главный геометрический объект математики

Среди пяти «платоновых тел» икосаэдр и додекаэдр занимают особое место. В Платоновой космологии икосаэдр символизировал атом воды, а додекаэдр – гармонию Мироздания. Эти два «платоновых тела» непосредственно связаны с «пентаграммой», а через нее – с золотой пропорцией. Додекаэдр и икосаэдр образуют основу так называемой «додекаэдро-икосаэдрической» доктрины, которая пронизывает историю всей человеческой культуры, начиная от Пифагора, Платона и до наших дней.

И наверное, нельзя считать случайным, что эта доктрина получила неожиданное развитие в трудах выдающегося немецкого математика Феликса Клейна.

Феликс Клейн родился в 1849 г., а умер в 1925 г. В 1865 г. он поступает в Боннский университет. В 1872 г. Клейн работает в Эрлангене, с 1875 г. – профессор высшей технической школы в Мюнхене, с 1880 г. – профессор университета в Лейцпиге. В 1886 он переехал в Геттинген, где он возглавил математический институт Геттингенского университета, который на протяжении первой четверти 20-го века был признанным мировым математическим центром. Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием «Эрлангенская программа».

Феликс Клейн

По Клейну, каждая геометрия является теорией инвариантов специальной группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия – это наука об инвариантах метрической группы, проективная геометрия – об инвариантах проективной группы. Классификация групп преобразований дает нам классификацию геометрий. Существенным достижением Клейна является доказательство непротиворечивости неевклидовой геометрии.

На русский язык переведены многие книги Клейна: «Высшая геометрия» (1939 г.); «Элементарная математика с точки зрения высшей» (1934-1935 гг.); «Неевклидова геометрия» (1936 г.); «Лекции о развитии математики в 19 столетии» (1937 г.).

Исследования Клейна касались также правильных многогранников. Этой проблеме посвящена его книга «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», опубликованная в 1984 г. Хотя книга посвящена решению алгебраических уравнений 5-й степени, но основная идея книги значительно глубже и состоит в том, чтобы показать роль «платоновых тел», в частности икосаэдра, в развитии математической науки.

Согласно Ф. Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, — своеобразная точка ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения.

Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра».

Икосаэдр, нарисованный Леонардо да Винчи для книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»

В чем же состоит значение идей выдающегося математика с точки зрения теории гармонии? Прежде всего, в качестве объекта, объединяющего «главные листы» математики выбрано «тело Платона» — икосаэдр, основанный на золотом сечении. Отсюда естественным образом вытекает мысль, что именно золотое сечение и является той главной геометрической идеей, которая, согласно Клейну, может объединить всю математику.

Современники Клейна не сумели по достоинству понять и оценить революционный характер «икосаэдрической» идеи Клейна. Ее значение было понято ровно через 100 лет, то есть только в 1984 г., когда израильский физик Дан Шехтман опубликовал заметку, подтверждающую существование специальных сплавов (названных квазикристаллами), обладающих так называемой «икосаэдрической» симметрией, то есть симметрией 5-го порядка, что строго запрещено классической кристаллографией.

Таким образом, еще в 19 в. гениальная интуиция Феликса Клейна привела его к мысли о том, что одна из древнейших геометрических фигур – икосаэдр – является главной геометрической фигурой математики. Тем самым Клейн в 19 в. вдохнул новую жизнь в развитие «додекаэдро-икосаэдрического представления» о структуре Вселенной, последователями которого были великие ученые и философы: Платон, построивший свою космологию на основе правильных многогранников, Евклид, посвятивший свои «Начала» изложению теории «Платоновых тел», Иоганн Кеплер, использовавший «Платоновы тела» в своей весьма оригинальной геометрической модели Солнечной системы, и многие другие.